2025年中考数学考前复习专题08：二次函数（含解析）

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2025年中考数学考前复习专题08：二次函数
一、单选题
1．已知，，都是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列结论：①点在抛物线上；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴上，正方形的顶点B和顶点D在抛物线上．若点B、D两点的横坐标分别为m、n，其中，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．二次函数的最小值为 ．
10．1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可）
11．若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ．
12．用配方法将写成的形式是 ．
13．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ．
14．在矩形中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，在射线上取一点，使得，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
15．二次函数经过点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若是该二次函数与轴交点的横坐标，记，求的值．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
17．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线G的解析式；
(2)已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积．
19．如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
(3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
20．太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯．
信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯；
素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨；
素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示：
建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________；
问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）；
（3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数．
《2025年中考数学考前复习专题08：二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A C C B A
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是将二次函数的表达式化为顶点式，根据函数的顶点式分析函数的对称轴和增减性．先将抛物线的表达式改写为顶点式，确定函数对称轴和开口方向，再根据二次函数的对称性即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为直线：，
∴当时，函数取最大值，
∵点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴3个单位长度，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】该题考查了二次函数图象平移，根据“上加下减，左加右减”的法则求解即可．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为
联立
解得：或
∴，
由，则，对称轴为直线，
设，则点在上，
∵且，
∴点在点的左侧，即，，
当时，
对于，当，，此时，
∴，
∴
∵对称轴为直线，则，
∴的取值范围是，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
5．C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：当时，点在上，
，
时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，D错误，
当时，点在线段上，
，
时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项C正确，选项B错误，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．
易得抛物线过点，对称性得到抛物线过点，①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．
【详解】解：①∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线过点，
故①正确；
②抛物线的对称轴为，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．
由图知时，，
∴时，．
即．故③错误；
④由图知时二次函数有最小值，
，
，故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时
，故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，
故选C．
7．B
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵当球出手后水平距离为时，到达最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵球出手时离地面高，
∴把代入中得：，
解得：，
∴，
故①正确；
当时，，
∴此球能投中，
故②不正确；
当时，，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过点D和点两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．
【详解】解：分别过点D和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将D，两点的横坐标代入函数解析式得，
点D坐标为，点坐标为，
∴，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．
【分析】本题考查求二次函数的最小值，解题关键在于把一般式化成顶点式．把二次函数化成顶点式，可直接得出二次函数最小值．
【详解】二次函数变形可得，，
∴二次函数的最小值为，
故答案为：．
10．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴点关于直线，的对称点为，
∵，
∴或，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
11．3
【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积．
【详解】解：对于，
当时，，
解得，，
所以；
当时，，所以，
所以，
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解
【详解】解：．
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移，由二次函数的图象交y轴于点P，可得，又将点P向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解．
【详解】解：∵二次函数的图象交y轴于点P，
∴，
∴将点P向右平移4个单位得到，
又∵此时在二次函数上，
∴，
解得．
故答案为：2．
14．/
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作交的延长线于点，作于点，设，证明，求得，，在中，由勾股定理得，得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：作交的延长线于点，作于点，设，
则，
∵矩形，
∴，，，四边形是矩形，
由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴的最小值是，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及其变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键．
（1）将点代入，求出的值，即可求解；
（2）根据题意，得，整理，得，利用完全平方公式变形为，再将变形为，将代入即可求解．
【详解】（1）解：把代入，解得：，
二次函数解析式为．
（2）解：根据题意，得：，
，
，
，
，
．
16．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．
（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：抛物线对称轴为，
①若，
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
，
，
设点M关于对称轴的对称点为，
则，
，
，
（i）当时，有，
，
，符合题意；
（ii）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（iii）当时，令，
，
，不符合题意；
②若，
则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
（i）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（ii）当时，令，
，
，
，不符合题意；
（iii）当时，有，
，
，符合题意，
综上所述，a的取值范围是或．
17．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）平移直线l至，使与抛物线唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值，先求出，则；再求出，，得到，证明，解直角三角形可得，；
（3）可得，平移后的抛物线对称轴为直线则；再分，且时，有，，且时，有，时， 三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：如图所示：平移直线l至，使与抛物线有唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值，
设，联立方程组，整理得①，
当，得，
把代入①解得，
，
∴，
把代入直线l解析式得：，即，
把代入直线l解析式得：，即，
∴，
∵轴，
∴，
，即，，
解得，
；
（3）解：∵原抛物线解析式为，
原抛物线的顶点坐标为，
将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，
∴，平移后的抛物线对称轴为直线，
∴；
∵，，
∴当，且时，有，
∵，
∴，
∴，
解得或；
当，且时，有，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
如图所示，当时，设直线与y轴交于H，
∴此时有，
∵，
∴，
∴，
∴此时与相似，即有或，
∴或，即此时情形与时t的值相同．
综上所述：当与相似时，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于确定什么情形下有最小值，解（3）的关键在于利用分类讨论的思想求解即可．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数和四边形的综合问题，解出二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出，，利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令，求出，再根据矩形的面积求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）解：∵令，
解得：，
∴
矩形的面积为：
19．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】利用待定系数法把点的坐标代入，即可求出的值，把点和点的坐标代入，求出、的值即可得到二次函数的解析式；
根据平行线的性质可证，根据相似三角形的性质可得，设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，把的长度用含的代数式表示出来，可得：，从而可得：，利用二次函数的数质可知的最大值是；
利用待定系数法分别求出、的解析式，根据直线的解析式和直线的解析式可以求出点的坐标，然后分四种情况求重叠部分面积的解析式，第一种情况、点下方时，第二种情况、线段与线段相交时，第三种情况、线段与线段相交时，第四种情况、点在点上方时．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：
，
抛物线的解析式为；
（2）解：由可知直线的解析式为，
如下图所示，分别过点 、 作 轴平行线分别交 于点 、，
，
，，
，
，
，
，
设点的坐标是，
则点的坐标是，点的坐标是，
，
由点和点的坐标，
可得：，，
，
，
整理得：，
当时，有最大值，最大值是；
（3）解：在的条件下，点的坐标是，
设过点和点的直线的解析式为，
可得：，
解得：，
过点和点的直线的解析式为，
设直线的解析为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析为，
解方程组，
可得：，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标是，则点的坐标是，
则点的坐标为，
当时，与公共部分的面积为的面积，
；
如下图所示，当轴时，线段与直线相交时，
则有，
解得：，
当时，线段与相交，
点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为，
则，
重叠部分的面积是的面积，
点的坐标为，
当点的纵坐标为时，可得：，
解得：，
，
，
整理得：；
当点的坐标为时，点到达点的位置，
当时，线段与线段相交，
如下图所示，
点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为，
当时，可得：，
此时重叠部分原面积为，
整理得：；
当点与点重合时，点的坐标是，点的坐标是，
此时记与公共部分的面积为．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，难度较大，解决本题的关键是根据动点移动的情况确定两个三角形重叠部分的图形的形状，借助规则图形的面积公式求出不规则图形的面积．
20．（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式；
（2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可；
（3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可．
【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数，
设y与x之间的函数关系式为：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：一次；；
（2）设销售总额为元，由题意，得
，
根据题意，且，
所以．
因为，
所以有最大值，
当时，销售总额最大
答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期；
（3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得
，
根据题意，且，
所以，
因为，
所以有最大值，
由题意，得当时，
，
因为，
所以，
解得，，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去），
所以，，，
答：的值是400，相应的存储星期数为6星期．
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