安徽省2025届高三数学模拟试题(A2)(含详解)

安徽省2025届高三数学模拟试题(A2)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一，传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，底面圆半径为已知该陀螺由密度为克的合成材料做成，则此陀螺质量最接近注：物体质量密度体积
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
4.随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为同一组的数据用该组区间的中点值作代表( )
A. 万人 B. 万人 C. 万人 D. 万人
5.已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为，其中且，将满月分成部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示部分数据，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天即农历十五会出现满月．已知在月相数列中，前项构成等比数列，第项到第项构成等差数列，则第天可见部分占满月的( )
A. B. C. D.
7.黄鹤楼地处蛇山之濒临万里长江，是武汉市地标建筑已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点三点共线处，测得楼顶楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为则地面上两点之间的距离约为( )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数例如，则，，，，，，若，则的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线和的焦点分别为，，动直线与交于，两点，与交于，两点，其中，，，，且当过点时，，则下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 已知点，则的最小值为
C.
D. 若，则与的面积相等
10.已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上递增 B. 当时，
C. 函数在上只有一个零点 D. 函数在上存在极小值点
11.阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为不全为零的平面的方程为根据阅读材料，解决问题：已知，，，，，则( )
A. 直线与平面所成角的正弦值为
B. 三棱锥的体积为
C. 平面的方程为
D. 在上的投影向量的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.某学校社会实践小组共有名成员，该小组计划前往该地区的三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有两名成员前往，且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地，则不同的服务方案共有 种．
14.已知为第一象限角，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
杭州市某中学一研究性学习小组为了了解杭州市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名杭州市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布：
组别
支出费用
频数
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率
若杭州市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
假定杭州市常住人口为万人，试估计杭州市有多少市民每年旅游费用支出在元以上
若在杭州市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若∽，则，，．
16.本小题分
如图，已知圆，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
一组平行直线的斜率为，当它们与曲线有两个公共点时，证明这些直线被曲线截得的线段的中点在同一条直线上
设曲线与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，过点的直线、分别与曲线交于、两点若的面积是的面积的倍，求的最大值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若，证明：当时，；当时，；
证明：当时，；当时，；
若是的极大值点，求实数的值．
19.本小题分
设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和，能满足，则称和是幸运数对．
求数列的通项公式；
若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；
证明：对于任意的正整数，在数列中总存在两个数和，使得．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
等价于，解得或，
，
，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】因为，
所以，
则．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意可得，该陀螺的体积为，
所以陀螺的质量为克．
故选：．
4.【答案】
【解析】由于，解得，
所以该市今年日接待游客量的平均数约为
，
故选A．
5.【答案】
【解析】因为平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为等边三角形，
所以渐近线的倾斜角为，
所以，则，
离心率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，
解得，
所以，
成等比数列，且
，由题意，
，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】由题意得，，
在中，，，
所以，又米，
由正弦定理，得，解得米，
所以米
故选：．
8.【答案】
【解析】根据题意，
，
其中的系数是．
故选：．
9.【答案】
【解析】由题意可知，，
当过点时，设，如图所示，
联立，可得，
因为，故，解得，
则，，故A错误；
过点向的准线引垂线，垂足分别为，如图所示，
则点到的准线的距离，
由抛物线定义可知，
当且仅当点为与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；
设，由，可得，
则，，，
由，可得，
则，，，
故，，
所以，
，故C正确；
由，可知，
故，即，
注意到，可得，
所以，从而与的面积相等，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，先求导可证得，上恒成立，则函数在上递增，所以A正确；
对于，由选项A可得函数在上递增，又，所以在上恒成立，故B正确；
对于，由可知，当时，，
当时，令函数，
则在恒成立，故在上递减，
又，，
所以函数在上有一个零点，故在上有一个零点，故C正确；
对于，由可知函数在上有一根，设，则函数在上递增，在上递减，故函数在处取得极大值，故D错．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】选项A：，
设平面的法向量为，则，令
所以，
则，所以直线与平面所成角的正弦值为，错
选项B：，
，错
选项C：若平面的方程为，则平面的法向量，
为平面的法向量，对
选项D：在上的投影向量为，对
故答案为：
12.【答案】
【解析】因为，所以，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】根据题意，分步进行分析：
将甲、乙、丙分步安排到三个基地，有种安排方法，
将甲、乙、丙之外的人分为组，一组人，其余组各人，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个基地，有种安排方法，
则有种安排方法，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】是第一象限角，
，
又，
所以，
则，
所以
．
故答案为：．
15.【解析】样本中总共人，其中旅游支出均不低于元的有人，
所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于元的概率为
，
所以，，服从正态分布，
，
万，
所以估计杭州市有万市民每年旅游费用支出在元以上
由知，，则，
所有可能的取值为，，，．
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
均值为．
16.【解析】依题意可知，
所以点的轨迹是椭圆，
设其方程为，其中，，，
所以曲线的方程为
设这组平行直线的方程为，
联立得，由得．
设两交点分别为，，的中点为．
则，，
消得即这些直线被曲线截得的线段的中点在同一条直线上．
因为，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
所以点
所以点到直线的距离为．
联立，得，
所以
所以，
所以，
所以，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．
17.证明：
取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，
所以平面；
由题意：平面，且，
则两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以点的坐标为，，，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，
由，
可得
令，得，
故平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
设，且，，
则，
设平面的法向量为，
则，可得
令，得，
所以平面的一个法向量为，
因为点到平面的距离为，
所以，解得，
所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．

18.证明：当时，，．
令，则，
可得时，，时，
在递减，在递增，
，
即，
在上单调递增，
又．
当时，，当时，．
证明：由知，
当时，，可得；
当时，，可得
由，
得
令，
．
当，时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时，令
，
显然单调递减，
令，解得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
单调递减，又，
当时，，即，
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，符合题意；
若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，不符合题意；
若，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，在上单调递减，
，在上单调递增，
，即，
在上单调递减，不符合题意．
综上，．
19.【解析】由题意，任意的，都有，
所以
，
则当时，
，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式；
设从该数列中任意选取两个不同的数和，且，
则，
由，且，
可得，，
则，
即恒成立，
所以从数列中随机选取两个数，
这两个数构成“幸运数对”的概率为；
证明：
由任意，可知，
数列是递增数列，
所以，
故，
且，
即数列是以为首项，
为公差的等差数列，也是递增数列，
且当，
对于任意的正整数，存在，
使，
故任意，，
都有，
令，得，
此时恒成立，
若为奇数，则为整数，
故数列中第项后的任意两项都满足题意，
若为偶数，则为整数，且，
故数列中从第项起之后包含第项的任意两项都满足题意，
例如，任意正整数，取，
则
恒成立，
故对于任意的正整数，在数列中存在第项与第项，
即满足条件，故得证．
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