山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2025年4月山东师大附中高二阶段性检测试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.在 的展开式中项的系数是( )
A． B．192 C．32 D．
2.曲线在处的切线与直线垂直，则( )
A．2 B． C． D．1
3.安排6名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，项工作需2人，项工作只需1人，则不同的安排方式共有( )
A．60种 B．20种 C．360种 D．45种
4.已知函数与的图象如图所示，则函数 （其中为自然对数的底数）的单调递减区间为( )
A． B． C. D．
5.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则( )
A．事件与事件互斥 B．
C．记的对立事件为，则 D．事件与事件相互独立
6.已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
7.若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则( )
A. B. C. D.
8.设为坐标原点，若曲线和曲线 上分别存在两点，使得
，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分.
9.五一假期即将来临，甲、乙、丙、丁、戊五名同学决定到济南的著名景点“大明湖”、“趵突泉”、“千佛山”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有( )
A．所有可能的方法有种
B．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种
C．若每个景点必须有同学去，且甲和乙不去同一个景点，则不同的安排方法有114种
D．甲同学去大明湖的概率为
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．第34行中第15个数与第16个数之比为
D．记“杨辉三角”第行的第个数为 ，则
11.对于函数，下列判断正确的是( )
A. B.
C. 当时，恒成立，则
D. 若函数有两个极值点，则实数
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为___________________.
13.某病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，这就是“持续人传人”，而A，B被称为第一代、第二代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有7名第一代传播者，3名第二代传播者．若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________．
14．已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是 ；若不等式的解集中有且只有四个整数，则实数a的取值范围是 ．
四．解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知的展开式中的第2项第3项和第4项的二项式系数成等差数列.
求n的值.
记，求被4除的余数.
16．某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总产量的百分比及所生产产品的不合格率如下表所示：
车间 甲车间 乙车间 丙车间
产量占比
不合格率 0.05 0.04 0.02
设事件“从该厂产品中任取一件，恰好取到不合格品”
（1）求事件A的概率；
（2）有一用户买了该厂一件产品，经检验是不合格品，但该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，判断该产品来自哪个车间的可能性最大，并说明理由．
17.已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围.
18．已知A，B两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.A袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从B袋中摸出一个红球的概率是.在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束.已知在每轮中甲选A，B两袋的概率均为.如果甲选A袋，则乙选B袋的概率为；如果甲选B袋，则乙选B袋的概率为.
（1）若，求在一轮中乙从B袋中摸出红球的概率.
（2）求在一轮中乙摸出红球的概率.
（3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由.
已知函数.
证明：当时，.
设，令.
讨论的单调性.
若存在两个极值点，证明：.
2025年4月山东师大附中高二阶段性检验试题
数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C A D D B C A BCD ABD BCD
三、填空题
12.4 13.0.87 14.
四、解答题
15．（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和，
由题意有，即，整理得，
因为，解得.
（2）因为，
所以
所以能被整除
因此被除的余数为.
16．（1）设事件“任取一件产品，生产于甲车间”，
“任取一件产品，生产于乙车间”，“任取一件产品，生产于丙车间”，
那么，．
（3）该产品来自乙车间的可能性最大．理由如下：
由（1）得
产品来自甲车间的概率为．
产品来自乙车间的概率为
产品来自丙车间的概率为
所以该产品来自乙车间的概率最大．
17. （1）的定义域为，
当时，，则在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知
当时， 在上单调递增，无最小值；
当时，有最小值，
依题意，，即，
因为，所以，
设，（），则，
因，则在上单调递增，
又，故由可得，
即，解得，
故实数a的取值范围是.
18. （1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”.
由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为
，
所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为
.
（2）设A袋中白球的个数为，
由已知可得，可得，
因为且，因此，
所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3.
所以，从A袋中摸出红球的概率是.
在一轮中，乙摸出红球的概率为
.
（3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为
，
设，则，
令，解得.
则当时，，单调递增，当时，，单调递减.
所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点.
19. （1）在定义域内是增函数
∴当时，
要证，只需证
设（）
∴
∵在上单调递增且
∴在上单调递减，在上单调递增
∴
故时，.
（2）（ⅰ）
当时，.定义域为
∴
①当时，在上恒成立（当且仅当，时取等号）
∴恒成立，故在上单调递减.
②当时，令，则有两不等正实根
当时，
当时，
∴在和上单调递减，在上单调递增.
（ⅱ）若存在两个极值点，由（ⅰ）知.
∵的两个极值点、为方程的两根.
∴，，∴，
要证等价于证明.
设（）
∴
∴在上单调递增
∴
∴.
即.