第五单元数学广角—鸽巢问题(知识梳理+拔高训练)一-2024-2025学年六年级数学下学期培优检测卷(人教版)

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名称 第五单元数学广角—鸽巢问题(知识梳理+拔高训练)一-2024-2025学年六年级数学下学期培优检测卷(人教版)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-05-08 17:49:15

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第五单元数学广角—鸽巢问题(知识梳理+拔高训练)一
知识梳理
知识点一:鸽巢问题(1)
1.把(n+1)个物体任意放进n个鸽巢中(n是非0自然数),一定有一个鸽巢中至少放进了2个物体。
2.把m个物体放入n个抽屉里(m>n),如果 m÷n=k……b,那么总有一个抽屉里放入(k+1)个物体。
知识点二:鸽巢问题(2)
运用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化成“鸽巢问题”,即什么看作“鸽巢”,什么看作“分放的物体”。
2.摸出的球数=颜色种数+1。
拔高训练
一、填空题(共20分)
1.(2分)向阳小学六年级共有379人,其中六(1)班有41名学生,六年级至少有   人是在同一天过生日,六(1)班至少有   人是在同一个月过生日。
2.(2分)袋中有同样大小的木质红球、黄球和蓝球各4个,一次至少摸出   个球,才能保证其中有3个是同色的。
3.(2分)4道单项选择题,每题都有、、、四个选项,其中每题只有一个选项是正确的,有800名学生做这四道题,至少有   人的答题结果是完全一样的。
4.(2分)箱子里有8个黄球、8个蓝球和8个红球,任意从箱子里取出一个,要保证取出的球一定有2个同色,至少要取   个球;要保证取出的球一定有一个是红色的,至少应取   个。
5.(2分)实验小学篮球队同学去借篮球,向管理员借30个,管理员说:“你们一次都拿走的话,一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有   名队员。
6.(2分)口袋里装有黑袜子10只、白袜子11只、红袜子9只、黄袜子8只,随机从中最少   只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
7.(2分)从这样的10张数字卡片中,至少要抽出   张卡片,才能保证有奇数又有偶数。
8.(2分)一副扑克牌有4种花色(大小王除外),每种花色有13张,从中任意抽牌,最少要抽   张牌,才能保证有4张牌是同一花色的。
9.(2分)一批9个零件中有3个次品,要保证取出的零件中至少有1个合格品,至少应取出   个零件。
10.(2分)四年级有208名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种,问至少有   学生订阅的杂志种类相同。
二、判断题(共10分)
11.把10个衣架挂在3个挂钩上,不管怎么挂,总有一个挂钩上至少挂了4个衣架。( )
12.盒子里有红、蓝、黄色小球各2个,一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
13.给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色,一个面只涂一种颜色,不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。( )
14.把43个乒乓球装进8个袋子里,其中总有一个袋子至少要装6个球。( )
15.把一些书放进5个抽屉中(任何一个抽屉不能空着),要保证总有一个抽屉至少有3本,那么这些书至少需要有11本。( )
三、选择题(共10分)
16.一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个,要想摸出的苹果一定有2个红苹果,至少要摸出( )个苹果。
A.3 B.10 C.12 D.15
17.把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的珠子(珠子的大小、形状完全相同)各10颗放到一个袋子里。至少取出几颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子?( )
A.7颗 B.8颗 C.10颗 D.11颗
18.盒子里有8个黄球,5个红球,一次摸出一球(摸出后不放回),至少摸( )次一定会摸到红球。
A.9 B.5 C.8 D.6
19.把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起,如果闭上眼睛拿,最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带?( )
A.2根 B.3根 C.4根 D.5根
20.青山小学四年级组有14位老师,他们中至少有( )人在同一个月过生日。
A.4 B.3 C.2 D.1
四、计算题(共6分)
21.(6分)解比例。
(1)=4∶2.4 (2)∶=15∶ (3)=
五、作图题(共6分)
22.(6分)在圆圈中画●,把这个●放在两个信封里,不管怎么放,总有一个信封里至少有4个●。
六、解答题(共48分)
23.(6分)把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛,从中最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子?如果要保证有2双不同色的筷子(指一双筷子为其中一种颜色,另一双筷子为另一种颜色)呢?
24.(6分)把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球,可以保证取到两个颜色相同的球?你知道吗?
25.(6分)把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道这是为什么吗?
26.(6分)将9个苹果放到8个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进了几个苹果?将25个苹果放到8个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进了几个苹果?
27.(6分)学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)学习班。某班有52名同学,至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同?
28.(6分)有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只,把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。
①至少要摸出几只,才能保证摸出一双袜子(颜色相同的两只为一双)?
②至少要摸出多少只,才能保证摸出两双颜色相同的袜子?
29.(6分)箱子里有大小形状一样的卡片,其中红卡30张,白卡20张,黄卡15张,蓝卡25张,那么最少要从箱子里摸出多少张卡,才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
30.(6分)38名学生进行答题游戏,每人答2道题,规定答对一题得2分,不答不得分,答错扣1分,则至少有几名学生的成绩相同?
参考答案
1.【分析】考虑最坏的情况,假设379人是在闰年的不同日期出生的,则至少366人生日不相同,剩下的人中,至少有1人的生日是366天中的某一天,即至少有(人在同一天过生日。同理可求六(1)班至少有几人是在同一个月过生日。
【解答】解:(人(人
(人
(人(人
(人
答:六年级至少有2人是在同一天过生日,六(1)班至少有4人是在同一个月过生日。
故答案为:2;4。
【点评】本题考查了抽屉原理的应用。
2.【分析】由题意可知,袋中共有红球、黄球和蓝球各4个,最坏的情况是:摸出6个,三种颜色各有2个,此时只要再任意摸出一个球,就能保证其中有3个是同色的。
【解答】解:(个
答:一次至少摸出7个球,才能保证其中有3个是同色的。
故答案为:7。
【点评】本题考查了抽屉原理问题之一,要注意从最不利情况进行分析解答。
3.【分析】4道单项选择题,每题都有、、、四个选项,共有(种不同的选法,看作256个抽屉,把800名学生看作800个元素,然后根据抽屉原理解答即可。
【解答】解:(种
(人(人
(人
答:至少有4人的答题结果是完全一样的。
故答案为:4。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用,关键是构造物体和抽屉,也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
4.【分析】从箱子任意里取出一个,要保证取出的球一定有2个同色,根据最糟糕的情况,每种颜色的球各取出1个,此时再取1个,即至少要取4个球保证取出的球一定有2个同色;同理,要保证取出的球一定有一个是红色的,最坏的情况是8个黄球、8个蓝球全部取出,此时只需再取1个,即至少应取17个。由此解答即可。
【解答】解:(个
(个
答:任意从箱子里取出一个,要保证取出的球一定有2个同色,至少要取4个球;要保证取出的球一定有一个是红色的,至少应取17个。
故答案为:4,17。
【点评】此题考查抽屉原理的应用。
5.【分析】用借的篮球的总数减去,再除以3,即可求出篮球队最多有多少名队员。
【解答】解:
(个
(名
答:篮球队最多有9名队员。
故答案为:9。
【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意,找出数量关系,列式计算即可。
6.【分析】要想摸出的袜子有2只同色的,根据最不利原则,当摸出黑色、白色、红色、黄色袜子各1只后,此时再任意摸出一只袜子,摸出的袜子一定有2个同色的,所以至少要摸只袜子。
【解答】解:(只
答:随机从中最少5只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
故答案为:5。
【点评】本题考查鸽巢问题,采用最不利原则进行分析是解题的关键。
7.【分析】中奇数有5个,偶数有5个,用偶数或者奇数的个数再加上1,即可求出至少要抽出几张卡片,才能保证有奇数又有偶数。
【解答】解:(张
答:少要抽出6张卡片,才能保证有奇数又有偶数。
故答案为:6。
【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意,找出数量关系,列式计算即可。
8.【分析】把4种花色看作4个抽屉,利用抽屉原理1即可解答。
【解答】解:建立抽屉:4种花色看作4个抽屉,
考虑最差情况:抽出12张扑克牌,每个抽屉都有3张,那么在任意摸出1张,无论放在哪个抽屉都会出现一个抽屉里有4张牌,
所以(张
答:至少要抽13张牌,才能保证有4张牌是同一花色的。
故答案为:13。
【点评】此题考查了抽屉原理的灵活运用,这里要注意考虑最差情况。
9.【分析】根据题干,考虑最差情况,取出3个零件全是次品,再任意取1个,那么取出的零件中就至少有1个合格品,据此解答。
【解答】解:(个
答:所以至少应取出4个零件。
故答案为:4。
【点评】此题属于抽屉问题,关键是找出“最坏情况”,然后进行分析进而得出结论。
10.【分析】订阅杂志中的一种有3种选法、订阅二种有3种选法、订阅三种有1种选法,共有(种;把7种选法看作7个抽屉,把订阅杂志的人数看作元素,从最不利情况考虑,每个抽屉先放29个元素,共需要203个,还余5个,无论放在那个抽屉里,总有一个抽屉里至少有(个,据此解答。
【解答】解:(名(名
(名
答:至少有30名学生订阅的杂志种类相同。
故答案为:30名。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是:要从最不利情况考虑,准确地建立抽屉和确定元素的总个数,然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数(有余数的情况下)”解答。
11.√
【分析】把10个衣架挂在3个挂钩上,10÷3=3(个) 1(个),即平均每个挂钩上挂3个衣架,还剩下1个衣架,根据抽屉原理可知,总有一个挂钩上至少挂3+1=4个。据此解答。
【详解】10÷3=3(个) 1(个)
3+1=4(个)
故答案为:√
【点睛】在此类抽屉问题中,至少数=物体数除以抽屉数的商+1(有余数的情况下)。
12.×
【分析】由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个,如果一次取4个,最差情况为把其中1种颜色的球取完,又取了另外两种颜色的球各一个,此时没有两种颜色个数相同的球,所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
【详解】4+1=5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个,一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为:×
13.√
【分析】此题根据抽屉原理,把两种颜色看作两个抽屉,把6个面看作6个元素,那么不管怎么涂至少有三个面的颜色相同。
【详解】6÷2=3(个)
则不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
故答案为:√
【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用,关键是从最差情况考虑。
14.√
【分析】根据题意,先把43个乒乓球平均放进8个袋子里,每个袋子里放5个,还剩下3个,这3个乒乓球,无论放进哪个袋子里,总有一个袋子至少有6个乒乓球。
【详解】43÷8=5(个)……3(个)
5+1=6(个)
总有一个袋子至少要装6个球。
原题说法正确。
故答案为:√
【点睛】本题考查鸽巢问题(抽屉问题),根据“至少数=物体数÷抽屉的个数+1(有余数的情况下)”解答。
15.√
【分析】抽屉原理(鸽巢原理):m÷n=a……b(m>n>1),把m个物体放进n个抽屉里,不管怎么放总有一个抽屉至少放进(a+1)个物体。由抽屉原理可知:要使其中一个抽屉至少有3本,则这些书的本数至少要比抽屉数的(3-1)倍多1本,即抽屉数×(其中一个抽屉至少有的本数-1)+1=这些书至少的本数。
【详解】5×(3-1)+1
=5×2+1
=10+1
=11(本)
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为:√
【点睛】解决抽屉原理问题,要分清“要放的物体数和抽屉数”。
16.C
【分析】由于盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个,如果一次取10个,最差情况为这10个苹果全是青苹果,所以只要再多取2个苹果,就能保证取到2个红苹果。据此解答。
【详解】10+2=12(个)
即至少要摸出12个苹果。
故答案为:C
【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。
17.B
【分析】把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色看做7个抽屉,利用抽屉原理,考虑最差情况,摸出7个球,分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫不同的颜色,再任意摸出1个球即可。
【详解】7+1=8
所以,至少取出8颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子。
故答案为:B
18.A
【分析】根据题意,盒子里有8个黄球,5个红球,运气最差的情况为先摸出的8个球都是黄球,此时再从盒子里任意摸出一个,一定是红球,所以至少要摸(8+1)次一定会摸到红球。
【详解】8+1=9(次)
至少摸9次一定会摸到红球。
故答案为:A
【点睛】本题考查鸽巢问题(抽屉问题),采用最不利原则(运气最差原则)来解题。
19.C
【分析】根据抽屉原理,如果取出的头3根分别是3种不同的颜色,那么第4根取出后,能得到一双同色的鞋带。据此解题。
【详解】3+1=4(根)
所以,如果闭上眼睛拿,最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。
故答案为:C
【点睛】本题考查了抽屉原理,关键是要从最差情况去考虑。
20.C
【分析】在此类抽屉问题中,至少数=被分配的物体数除以抽屉数的商+1(有余的情况下)。在本题中,被分配的物体数是14,抽屉数是12(一年有12个月),据此计算即可。
【详解】14÷12=1(人)……2(人)
1+1=2(人)
他们中至少有2人在同一个月过生日。
故答案为:C
【点睛】从最不利的情况出发考虑,最不好的情况就是其中12个人的出生月份都不同。
21.(1)=0.12;(2)=8;(3)=25
【分析】比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
(1)先根据比例的基本性质把比例方程转化成4=0.2×2.4,然后方程两边同时除以4,求出方程的解;
(2)先根据比例的基本性质把比例方程转化成=15×,然后方程两边同时除以,求出方程的解;
(3)先根据比例的基本性质把比例方程转化成1.2=75×0.4,然后方程两边同时除以1.2,求出方程的解。
【详解】(1)=4∶2.4
解:0.2∶=4∶2.4
4=0.2×2.4
4=0.48
=0.48÷4
=0.12
(2)∶=15∶
解:=15×
=6
=6÷
=6×
=8
(3)=
解:1.2=75×0.4
1.2=30
=30÷1.2
=25
22.见详解
【分析】至少数=被分配的物体数除以抽屉数的商+1(有余数的情况下);本题中,抽屉数是2,不管怎么放,总有一个信封至少有4个●,则被分配的物体数是2×(4-1)+1,据此求出●的数量,画图即可。
【详解】2×(4-1)+1
=2×3+1
=6+1
=7(个)
【点睛】本题考查抽屉原理的应用,要从最不利情况考虑,准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
23.4根;6根
【分析】考虑最不利的情况,红、蓝、黄各拿一根,再拿一根,无论什么颜色,都可保证一定有2根同色的筷子;根据前边的分析,拿4根能保证一定有2根同色的筷子,假设前4根是2红1蓝1黄,再拿2根,无论是红蓝、红黄、蓝蓝、蓝黄、还是黄黄,都可再组成一双同色的筷子,据此分析。
【详解】3+1=4(根)
4+2=6(根)
答:从中最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子,从中最少拿出6根才能保证一定有2双不同色的筷子。
24.5个
【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个,此时再摸出1个,一定有2个同色的,所以至少需要摸出5个球。
【详解】4+1=5(个)
答:至少取5个球,可以保证取到两个颜色相同的球。
25.见详解
【分析】总有1个笔筒里至少有2支铅笔,总有表示一定发生,至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2。①采用枚举法列举所有可能发生的情况;②采用假设法,尽可能平均分,则每个笔筒里铅笔的数量最少,据此解答。
【详解】总有1个笔筒里至少有2支铅笔,总有表示一定发生,至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2,即一定有1个笔筒里铅笔的数量大于或等于2支。
①枚举法:把4支铅笔放进3个笔筒中,一共有四种放法,每种放法中,一定有1个笔筒中至少有2支铅笔。
②假设法:把4支铅笔放进3个笔筒中,如果每个笔筒中放1支铅笔,那么3个笔筒放了3支铅笔,还剩下1支,放入任意1个笔筒中,那么这个笔筒中至少有2支铅笔。
综上所述,把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至少有2支铅笔。
26.2个;4个
【分析】抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:(1)当n不能被m整除时,k=[]+1个物体。(2)当n能被m整除时,k=个物体。
【详解】9-8=1(个)
25÷8=3(组)……1(个)
3+1=4(个)
答:将9个苹果放到8个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进了2个苹果;将25个苹果放到8个抽屉里,总有一个抽屉里至少放进了4个苹果。
【点睛】关键是构造物体和抽屉,也就是找到代表物体和抽屉的量,然后依据抽屉原则进行计算。
27.5人
【分析】本题同学参加情况共11种,不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器;这里可以把这11个情况看做11个抽屉,考虑最差情况,每个抽屉的人数尽量平均,52÷11=4(人)……8(人),每个抽屉都有4人,还剩下8人,由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11=4(人)……8(人)
4+1=5(人)
答:至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用;根据题干,找出学生参加学习班的所有可能情况,是解决本题的关键。
28.①4只;②10只
【分析】①要求至少要摸出几只,才能保证摸出一双袜子(颜色相同的两只为一双),要考虑到各种可能性的发生,因为有红、绿、紫三种颜色,有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子,因为有可能这三种颜色各1只,所以至少要摸出4只,才能保证摸出一双袜子。
②要求至少要摸出多少只,才能保证摸出两双颜色相同的袜子,从最极端情况分析:假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只,这时再摸出1只,才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【详解】①因为有可能摸出3只袜子时,这三种颜色各1只,
所以至少要摸出4只,才能保证摸出一双袜子。
答:至少要摸出4只,才能保证摸出一双袜子(颜色相同的两只为一双)。

(只)
答:至少要摸出10只,才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【点睛】此题主要考查了抽屉原理的应用,要熟练掌握,解答此题应从最极端情况进行分析。
29.76张
【分析】根据题意,要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡,按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张;根据最不利原则即运气最差,把数量多的卡依次摸出来,即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡,此时再任意摸一张,一定是黄卡,这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡;据此解答。
【详解】30+25+20+1
=55+20+1
=75+1
=76(张)
答:最少要从箱子里摸出76张卡,才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【点睛】本题考查鸽巣问题,采取最不利原则解题。
30.7名
【分析】抽屉原理:m÷n=a……b(m>n>1),把m个物体放进n个抽屉里,不管怎么放总有一个抽屉至少放进(a+1)个物体。2道题全答对可得2×2=4(分);1道题答对,另1道题不答,可得2×1=2(分);1道题答对,另1道题答错,可得2×1-1×1=1(分);2道题全不答可得0分;1道题不答,另1道题答错可得﹣1分;2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38,抽屉数为6。
【详解】38÷6=6(名)……2(名)
6+1=7(名)
答:至少有7名学生的成绩相同。
【点睛】解决抽屉原理问题,要分清“要放的物体数和抽屉数”。
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