龙岩市 2025 年高中毕业班五月教学质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B C C A C D A B
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
题号 9 10 11
选项 ACD AC ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．32 13． 14．
8． ，
令 ， ，
当 时， 单调递增，则若 ，则 单
调递减， 单调递增，由已知可得 和 分别是函数
的极大值点和极小值点，此时 ，不合题意
当 时， 单调递减，若 ，则 ，
单调递增， 单调递减，
，即 ，故 ，
∴ ，此时符合题意，∴ . 选 B.
11． 双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，
渐近线为 ，在 中，
由正弦定理可知 ，
显然 均为锐角且随着 的增大分别减小与增大，
即 随着 的增大分别减小与增大且均为正数，
∴ 的值随着 的增大而减小，故 A 正确；
由 ，则 ，因为左顶点为 ，右顶点为 ，
高三数学答案 第 1页（共 9页）
即 ，所以 ，故 B 正确；
显然 且 ， 故 C 错误；
对于 D，可设双曲线 ，
在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，
联立 可得 ，
∴
∴点 为线段 的中点，即 ，故 D 正确；
14．【略解】在正方体中作出正四面体 ，
作其中过 三个顶点的互相平行的平面，如图，
由于相邻平面间距离都相等，
不妨求平面 与平面 间的距离，
其中， 为正方体棱上的中点，
过 作 于 ，
则 即为两平行平面间的距离，
因为 ，
所以 ，所以 ，
即相邻平行平面间的距离为 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．
15．（本题满分 13 分）
高三数学答案 第 2页（共 9页）
解：（1）由题意得 ..................................... 2 分
................................................................................................... 4 分
∴相关系数 ........... 7 分
（2）由（1）知， , ......................... 9 分
, ........................................... 11 分
∴所求的线性回归方程是 .
当特征量 为 12 时,可预测特征量 . ............ 13 分
16．（本题满分 15 分）
解：（1）由 ， ，得： ，又∵
∴数列 是首项为 ，公差 的等差数列， ..........3 分
∴ ，即 ， ....................................5 分
当 时， ，且 满足 ，
∴ ，
∴数列{ }的通项公式为 ..........................8 分
（2）由（1）得
................11 分
..................................15 分
高三数学答案 第 3页（共 9页）
17.（本题满分 15 分）
解：（1）方法一：坐标法(利用共面向量基本定理）
在 内作 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
.....................1 分
设
∵AB∥DC， ， ,
∴ , ,
又 分别为 的中点
∴ ......3 分
∵ .......4 分
共面，∴存在实数 ，使得
即 ....... 5 分
∴ 解得 ............................6 分
方法二：坐标法（利用法向量）
在 内作 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， .................1 分
设
∵AB∥DC， ， ,
∴ ， ,
∵
又 分别为 的中点
∴ ......3 分
设平面 的法向量为
∴ ..................5 分
又 共面
∴
解得 ............................6 分
方法三：几何法
高三数学答案 第 4页（共 9页）
延长 交 于 ,连接
分别为 的中点
∥
,
∥ .............2 分
又∵
∴ ∥ ................................................3 分
∴ ∥ ， ∥
∴四边形 是平行四边形
∴
∴ ................................................4 分
过 作 交 于
∴
又
∴ ..............................................6 分
（2）由法二得
又∵
设平面 的法向量为
解得
∴ ...............................................8 分
设平面 和平面 所成的角为
整理得
，即 2 ....................................10 分
方法一：利用向量法求三棱锥 的高
∵平面 的法向量为 ,
设点 到平面 的距离为
∴ = .......................................1 分
∵ ，
又∵
高三数学答案 第 5页（共 9页）
又 分别为 的中点
∴ ∥ ，
，又∵
∴ ...................13 分
∴
.....................................14 分
...........................15 分
方法二：几何法
∵ 分别为 的中点 ∴ ∥
∵ ,
∴ ∥平面
..................13 分
平面
.................................15 分
18．（本题满分 17 分）
解：（1） ，设 ，则 ，
∴ ..........................................2 分
得： ，解得 或 （舍）， .................3 分
∴抛物线 的方程为 . ..............................4 分
（2）（ⅰ）由 得 ，圆心 半径为 1，
抛物线 的焦点与 的圆心重合，即为 ，
显然，直线斜率存在，设直线 方程为 ，设点 、
，
高三数学答案 第 6页（共 9页）
联立方程 ，消去 并整理得 ，
，由韦达定理得 ， . ..........6 分
由抛物线的定义可知 ， ， ， .
，
即 为定值 1； .....................................8 分
（ⅱ） 由（ⅰ）可知：
，∴ 的方程为 ，
由 可得 ， ..............................10 分
同理 的方程为 ，由 可得 ， ......11 分
∴
， ..........................................13 分
设 ，∴ ，
∴
， ...................15 分
∴当 ，即 ，即 时， 的最小值是
............................................17 分
19．（本题满分 17 分）
解：（1）∵ ， ............................................1 分
∴当 时， ，当 时 ，
高三数学答案 第 7页（共 9页）
∴ 在 上递减，在 上递增. ..................3 分
∴ 的最小值为 ，又∵
设 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减，∴ ，又∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，又
∵ ，∴ ， .
∴ . .............................................7 分
（2）∵ ，
∴ 有一个零点 ，记 .
而 ，∴ ，∴ .
又∵ ，
且 ，故 在 上还有一个零点，记为 .
由 的单调性知， 恰有两个零点 ，且
....................................................10 分
而 为 的子集，它们各有 个元素，且 ，
∴ 至少有 个元素.
而 的元素只可能在 之中，这表明它们两两不等，
且 .
∴ 包含 个正数， 个负数.
而 为 的子集，它们各有 个元素，且 ，
∴ ， .
设 包含 个负数， 个正数，则 包含 个负数， 个正数
........................................12 分
∵ ， ， ， .
∴ ， .
从而 . . ...........................................13 分
∵ ，∴ .
设 ，则 ，
设 ，则 ，
∴ 单调递增，∴ ，又∵ ，
，所以 .
由（1）知， 在 上单调递减， 上单调递增.
∴ ，即 ....................................15 分
高三数学答案 第 8页（共 9页）
∴
,
∴
.....................................17 分
高三数学答案 第 9页（共 9页）
