空间向量与立体几何高频考点 预测练 2025年高考数学三轮复习备考

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空间向量与立体几何高频考点 预测练
2025年高考数学三轮复习备考
1．如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．
(1)证明：；
(2)若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积．
2．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
3．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心.
(1)证明：；
(2)求线段长；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
4．如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求平面与平面的夹角的大小．
5．如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心.

(1)证明: 四边形是正方形;
(2)设分别为的中点, 求二面角的正弦值.
6．在三棱锥中，为中点，为中点，设平面与平面交于直线.
(1)证明：；
(2)若，取中点，证明：平面；
(3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
7．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为梯形，，，四边形ABCD是菱形，，，，.

(1)证明：平面平面BDF；
(2)求平面BDF与平面BCE的夹角的余弦值.
8．如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点O．

(1)求证：；
(2)若，求直线和平面的距离．
9．如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
10．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
11．在正三棱台中，，，分别是，的中点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.
12．如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)证明：在翻折过程中，总有.
(2)若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
（1）因为四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）方法一：因为，所以是等边三角形，
取中点M，连接，则，
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为x轴，y轴和z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，．
所以，．
设平面的法向量为，则，
即，令，得．
由条件知为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，易知为锐角．
则，解得．
因为三棱柱的高为，且，
所以其体积．
方法二：因为，所以．
过B做交的延长线于O，连接，
因为，所以面，所以，
所以是二面角的平面角．
所以，所以，即，
因为，所以．
在中，解得．
又平面，所以三棱柱的高为，
所以其体积．
2．(1)证明见解析
(2)
（1）因为是平行四边形，所以，
又，，，
所以，解得（负值已舍去），
所以，即，所以，
又，即，又，平面，
所以平面，
又是平行四边形，所以，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）因为，设，则为的中点，
连接，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
在平面中，作交于点，
而平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
作，交于点，连接，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，又平面，
所以，所以即为平面与平面夹角，
又，
在中，由等面积法可得，
所以，则，
所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.
3．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，∴，
又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
， ，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
4．(1)证明见解析；
(2).
（1）由题意在圆锥中，平面，
又平面，所以，
因为为的中点，，所以，
因为平面，所以平面.
（2）在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
因为，，所以，，
由（1）知平面的一个法向量为，
又，，所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
所以平面与平面的夹角为．
5．(1)证明见解析
(2)
（1）设点为的中心，连接，连接并延长交于点，
则平面，因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，且，
所以四边形是矩形，因为，
所以四边形是正方形.
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
因为为的中点，所以，

所以，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，即，
取，则，所以，
易知，平面的法向量沿轴方向，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为.
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）因为为中点，所以，且.
因为平面平面，所以平面.
因为平面，平面平面，所以
（2）因为是中点，所以.
在中，，故
.
已知，可得：.
在中，，解得，所以.
在中，，所以，所以.在中，.
因为，且，所以
，得.在中，，所以.
因为平面，所以平面.
（3）过作交于，过作交于，由题意知.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则.
由，得，.
设平面与平面的法向量为别为和.
有，令，则，所以.有，令，则，所以.
设平面与平面的夹角为，有.
所以平面与平面的夹角的余弦值为
7．(1)证明见解析
(2).
（1）因为四边形是菱形，且，所以.
又因为，，所以，所以.
因为，所以.
又因为四边形是菱形，所以，又平面，且，所以.
因为平面，所以平面.
（2）记，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，平行向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，
则，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，.
.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
8．(1)证明过程见解析
(2)
（1）

一方面：因为在底面内的射影为点O，而平面，
所以，
故要证，只需证；
另一方面：取的中点分别为，连接，
因为为边长为3的正三角形，所以也是边长为3的正三角形，
又点是的中点，
从而，因为，所以，
因为四边形为正方形，的中点分别为，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又点是的中点，
所以；
综上所述，；
（2）一方面：注意到平面，平面，
所以平面，
要求直线和平面的距离，只需求点到平面的距离即可；
另一方面：若，则点为三角形的外心，从而三点共线，
过点作交于点，易知，
因为平面，平面，
所以，
从而两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，
，从而，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可取，
所以点到平面的距离为；
综上所述，直线和平面的距离为.
9．(1)证明见解析
(2)；
(3).
（1）解：连接，交于点，可得是的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
可得，，
设平面的法向量为，则有，
取，可得，，所以，
又由，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
则，
故平面与平面夹角余弦值为.
（3）解：由（2）知：平面的法向量为，
又由， 则，
所以点到平面的距离为.
10．(1)证明见详解
(2)
（1）如图，在平面ABC内过点作直线，
∵平面，平面，∴，，
∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵为的中点，∴，
∴，，，
∴，即，
又∵平面，平面，，
∴平面.
（2）设，即
则，
，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，
即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，，
11．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结.
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，四边形是平行四边形.
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以.
又平面，平面，所以.
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以.
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，.
所以.
所以四边形是矩形.

（2）法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结.
由（1）可知，平面，即平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面.
所以为直线与平面所成角.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，.
在等腰中，.
在中，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：
过作.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，.
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以.
故，又，
所以,.
设为平面的法向量，
即，取，得，，
所以是平面的一个法向量.
又，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件.
显然，当，时，，.
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得.
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
可得.
12．(1)证明见解析
(2)存在，点在线段的中点处，.
（1）证明：因为四边形是菱形且，所以，.
因为分别是边的中点，，所以.
因为，所以，.
即在五边形中，；在中，.
在折叠过程中，，又因为，所以.
又平面，所以平面.
连接，因为平面，所以.
又，所以垂直平分线段，所以.
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.因为平面，所以.
又因为，所以两两垂直，故以为坐标原点建立如图所示的
空间直角坐标系.
不妨设菱形的边长为，则，
，
所以，
.
假设线段上存在符合题意的点，设，
则.
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
因为，
所以
可取.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
因为，所以点到平面的距离
，即，即，
化简得，解得舍去）.
综上，当点到平面的距离是菱形边长的时，
点在线段的中点处，此时平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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