三角函数与解三角形高频考点 预测练 2025年高考数学三轮复习备考

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三角函数与解三角形高频考点 预测练
2025年高考数学三轮复习备考
1．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)，，D为AC的中点，求.
2．已知，，分别为三个内角A，，的对边，且．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的值．
3．的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为边上一点，且，求.
4．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求；
(3)若为上一点，且的面积为，求．
5．已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，角的平分线交于点，且，求.
6．在中，角所对的边分别为，若，
(1)若为内的一点，且，求；
(2)求角的最大值.
7．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值.
8．在中，角、、所对的边分别为、、.从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：①；②；③.
(1)求的值；
(2)当时，求的面积.
9．已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若 ，证明：是等腰三角形.
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求．
11．已知三内角A B C的对边分别为a b c，且.
(1)求角A的值；
(2)在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围.
12．已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
(1)求角；
(2)若点在上，满足，且，，解这个三角形.
参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角及辅助角公式即可求解.
（2）根据余弦定理即可求得的长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得.
因为，所以，所以，
整理得，即.
因为，所以，所以，即.
（2）
在中，由余弦定理得，
即，解得或.
若，则，则为钝角，舍去，
所以，，因为，根据正弦定理，角最大，所以为锐角三角形，符合题意.
因为为的中点，所以，
所以，在中，，
所以.
在中，.
2．(1)；
(2).
【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得，接着由两角差的正弦公式得到即可求解角A；
（2）结合（1）求出角C，接着由即可求解.
【详解】（1）由题和正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，即；
（2）由题意可得，，
解得．
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）依题意可得，再由计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，
所以，
即，解得.
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在和中，分别用余弦定理得到方程，结合，得到，求出答案；
（2）由（1）可知，故，在中，由正弦定理得到方程，求出，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；
（3）由的面积和三角形面积公式得到方程，求出．
【详解】（1）在中，
由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得
，②
又，
所以，③
由①②③得，
所以，
又，所以；
（2）由（1）可知，
又，所以，
在中，由正弦定理得，即，
解得，所以，
所以．
（3）由的面积为，得，
解得．
5．(1)
(2)
【分析】（1）应用同角三角函数关系计算得出求解即可；
（2）由正弦定理可得，再应用余弦定理得.
【详解】（1）由，平方得
可得，且，
所以．
（2）因为，，
在中，由正弦定理可得：，
所以，，所以，
所以，
因为角的平分线交于点，，
所以，所以，所以,
由余弦定理得，所以．
6．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，由化简计算可得答案；
（2）利用余弦定理结合不等式求解即可.
【详解】（1）可化为，
在中，，得，
又，所以，因为，所以，
因为，
所以，
则；
（2）化为边的关系，
又，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以.
7．(1)
(2)3
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
由得，
所以，即.
因为，所以.又，
所以.因为，所以.
（2）
由，
得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，
从而，当且仅当取等号.
则，
当且仅当取等号，则长的最大值为3.
8．(1)
(2)
【分析】（1）选①②，可知角或，结合可推出矛盾；选②③，由正弦定理得出，由此可推出矛盾；选①③，由正弦定理推出，结合已知条件可得出，可知存在，然后利用余弦定理可求出的值；
（2）求出、的值，结合三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）若选择①②，由可知，或，因此或，
结合可知，选择①②时，不存在；
若选择②③，由利用正弦定理可得，
又因为，则，可得，显然不成立，
即选择②③，也不存在；
若选择①③，由利用正弦定理可得，
又因为，则，可得，即，
由，可得，所以，，，此时存在，
所以可得.
（2）由可得，由可得,
所以的面积为.
9．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理、二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得到，即可求解；
（2）利用余弦定理得到，结合得到，即可证明.
【详解】（1）由和正弦定理，
可得
因为，
所以，
即得，即.
又因是钝角三角形，，故，
因，即.
（2）由，及余弦定理得：
解得，
又，解得，
所以是等腰三角形.
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由正弦定理得到，推出，进而可求证；
（2）由（1）得到，再结合余弦定理，及基本不等式即可求证；
（3）由同角三角函数关系，及两角和的正弦公式即可求解；
【详解】（1）由及，
得，
由正弦定理得，即，
所以，
则或（舍去），
所以，即，
所以．
（2）由（1）知，，所以，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
整理得．
（3）因为，，所以，所以，
．
．
11．(1)
(2)
【分析】（1）因为，由正弦定理将边化成角，利用和差公式即可化为，结合辅助角公式即可求解；
（2）利用余弦定理化为关于的一元二次方程，结合方程根的分布列不等式求解即可．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又
即，
因为sinC≠0，得，
所以.
所以或（舍去），
故．
（2）由（1）和余弦定理得，又，所以，
即，要使有两解，则方程有两个正实数根，
即，
即.
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再利用三角函数的性质求A；
（2）利用平面向量的基本定理及数量积计算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C.
【详解】（1）由
由题意及三角函数的性质可知：，即，
又，∴；
（2）

如图所示，易得，
∴(负值舍去)，
由余弦定理可得：，，
显然：，由勾股定理逆定理可得.
综上.
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