高台一中2025年春学期3月月考试卷
高二数 学
考查范围：《导数、立体几何》 试卷满分150分
2025年3月29日
一 单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.
【详解】因为，所以，由题意可得，
所以，则．
故选：C.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可．
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：D．
3. 已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）
A. B. 8 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得，所以，所以.
故选：C.
4. 已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设切点为，易知，则，解之得，
故选：A
5. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A 2 B.
C. 或 D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案.
【详解】由题意，向量，
得，解得或，
故选：C
6. 函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据函数的单调性求解.
【详解】由题意可得.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
故选：D.
7. 已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若，则直线平面
D. 若，则直线平面
【答案】A
【解析】
【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.
【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，,，，，，,则，，，，，,
当时，，
设平面的法向量为，
则取，则，，
则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．
当时，，
设平面的一个法向量为，
则，取则，，
则为平面的一个法向量，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
当时，，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．
故选：A．
8. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
二 多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A. 是的极小值点 B.
C. 函数在上有极大值 D. 函数有三个极值点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由图像可得有三个零点，但附近导函数同号可知不是极值点从而判断AD；由在上，上的单调性可以判断BC.
【详解】当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确；
当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确；
当时，，单调递增，于是附近导函数不变号，因此不是的极值点，只有当和时函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确，
故选：ACD
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A. 若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由的关系式即可判断B；由的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.
【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，
所以，所以共线，又直线，不重合，
所以，故A正确；
因为直线的方向向量，平面的法向量是
且，所以，故B不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，
则有，所以，故C正确；
平面经过三点，，，
所以
又向量是平面的法向量，
所以
则，故D正确，
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A. 一定有极大值 B. 当时，有极小值
C. 当时，可能无零点 D. 若在区间上单调递增，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】求得，当，得到在定义域上单调递增，无极值，可判定A错误；若时，得到函数的单调区间，结合极值的概念，可判定B错误；由时， 在定义域上单调递增，结合时，，当时，，可判定C错误；结合函数的单调性，列出不等式，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误；
若，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，所以B错误；
若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误；
若在区间上单调递增，由时，恒成立，满足题意；
当时，则满足，即，综上可得，故D正确.
故选：ABC.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解.
【详解】根据题意知道，，则切点为：.
求导，则切线斜率为，
则切线方程为：，即.
故答案为：.
13. 在棱长为2的正方体中，直线与直线间的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间距离的向量求法运算即可得解.
【详解】解：
如上图，以D为坐标原点，、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
∴，
∴直线与直线间的距离即为点到的距离，
设，，则，，
∴点到的距离为.
∴直线与直线间的距离为.
故答案为：.
14. 已知函数有极值，则a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数在其定义域上单调递增和单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围．
【详解】∵，
∴．
①若函数在上单调递增，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
由于在上无最大值，
∴函数在上不单调递增．
②若函数在上单调递减，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
∴．
综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是，此时有极值．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数过点.
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）增区间为，，减区间为．
（2），
【解析】
【分析】（1）利用在函数图像得到，再利用导数求出函数的单调区间；
（2）利用（1）中的单调性可求函数在的最值．
【详解】(1)点在函数的图象上，
∴，解得，
∴，∴，
当或时，，当时，．
所以的增区间为，，减区间为．
(2)由(1)可得：函数区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴，又，，
∴．
【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
16. 已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求a的值；
（2）若曲线y=在处的切线方程为求a和m的值；
（3）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由函数在处取得极值得到，求出的值，再检验即可；
（2）由切线斜率得，求出的值，再写出切线方程，对应的得到的值；
（3）利用导数研究的单调性，分和两种情况讨论，并用零点存在定理说明即可．
【小问1详解】
，由题：，即，
经验验：此时在处取得极小值，故．
【小问2详解】
由题：，即，此时，
y=在处的切线方程为，即，
．
故．
【小问3详解】
，
当时，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
若有两个零点，则，解得：，
此时，则在上有且只有一个零点；
令，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以最大值为，，
所以，则在上有且只有一个零点；
故有两个零点．
综上：.
17. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求的长；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量基本定理即可；
（2）利用模长公式求解即可；
（3）利用向量夹角公式求解即可
【小问1详解】
，
，
，
【小问2详解】
，，，
，，，
因
，
所以，即的长为；
【小问3详解】
因为，，
同理可求得，，
又因
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18. 如图，四棱锥中，平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）在平面内找一条直线与平行即可；
（2）建系，利用空间向量和数量积公式即可求解二面角的余弦值；
（3）根据设点，根据点到平面的距离列出方程，方程存在上的解则存在点，反之则不存在.
【小问1详解】
取的中点，连接，因为是的中点，所以．
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
【小问2详解】
由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，，
所以平面的法向量为，设平面的法向量为，
，由，
可得，令，则，
所以．
所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．
【小问3详解】
设，且，，则，
设平面的法向量为，
则，可得，
令，所以．
因为点到平面的距离为，
所以，解得，
所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．
19. 已知，.
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解；
（2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可；
（3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可.
【小问1详解】
因为，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
与两坐标轴的交点分别为，
故围成的三角形的面积为.
【小问2详解】
因为，故，
令，
当，则，故在上单调递减；
当，则时，，所以在单调递减；
时，，所以在单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，单调递增.
【小问3详解】
即，
即对一切实数恒成立，
令
当时，单调增；
当时，单调减；故最大值为，
则，
故实数的取值范围是.
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高二数 学
考查范围：《导数、立体几何》 试卷满分150分
2025年3月29日
一 单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B 若，则
C. 若，则
D 若，则
3. 已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（ ）
A. B. 8 C. 3 D. 2
4. 已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
5. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A. 2 B.
C. 或 D. 2或
6. 函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ）
A 若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若，则直线平面
D. 若，则直线平面
8. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A. 是的极小值点 B.
C. 函数在上有极大值 D. 函数有三个极值点
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A. 若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
11. 已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A. 一定有极大值 B. 当时，有极小值
C. 当时，可能无零点 D. 若在区间上单调递增，则
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处切线方程为__________.
13. 在棱长为2正方体中，直线与直线间的距离为________.
14. 已知函数有极值，则a的取值范围是____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数过点.
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
16. 已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求a的值；
（2）若曲线y=在处的切线方程为求a和m的值；
（3）若有两个零点，求a的取值范围.
17. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求的长；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
18. 如图，四棱锥中，平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知，.
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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