江苏省连云港市海州区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（含答案）

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测
数学试题
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．，若，则实数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设的内角所对的边分别为,若,则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）
A． B．
C．或 D．
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9．已知复数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．是的充分不必要条件
D．，，，则
10．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
11．已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则的外接圆面积为
B．若，则
C．若，则
D．当，时，
三、填空题（每小题5分 满分15分）
12．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ．
13．在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是 .
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
四、解答题（共5大题 满分77分）
15．设复数，.
(1)若是实数，求；
(2)若复数满足，求的最小值.
16．（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
17．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)若，求的值．
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，且边边上的中线长，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围.
19．为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求的值和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B D B A ABC BCD
题号 11
答案 BD
12．1
13．
14．
15．（1）由是实数，
所以，
则
（2）设，
则由，
引入参数，可得，
所以
，其中，
此时
16．（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
17．（1）
故周期为，
令，
，
所以的增区间为.
（2），
故
.
18．（1）在中，因为，
所以根据正弦定理得，
又，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）由，由余弦定理得，解得.
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
所以的面积.
（3）因为是锐角三角形，且由（1）知.
所以，即，解得.
由正弦定理得：
.
因为，所以，所以，
所以，
所以的范围为.
19．（1）由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为.
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以.
（2）由（1）可知，，且,
则，
可得，
则矩形的面积为
，
又因为，则，
可知当，即时，，
所以矩形取得最大值