2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟期中联考
数学试题参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A A C B D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的不得分。）
题号 9 10 11
答案 ACD ABC BD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． 13．（用集合形式表示也可得分） 14．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分，6+7）
解：（1）由题意知，，，，
因为，，成等比数列，
所以，
即，整理得，
解得或，
因为，
所以，
所以；
（2）由（1）知，，
则①
②
由①②得，
，
，
，
所以.
（15分，5+10）
解：（1）函数，
求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，
得，
所以.
函数的定义域为，且，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，
关于x的方程有两个正根，，，
当或时，；
当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（15分,5+5+5）
证明：取的中点，连接，
因为是的中点，
所以．
又因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以 ．
又因为平面平面，
所以 平面．
（2）①由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以点的坐标为，，，，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，由，
可得，令，则，
所以．
所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．
②设，且，，
则，
设平面的法向量为，
则，可得，
令，所以．
因为点到平面的距离为，
所以，
解得，
所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．
18.（17分,5+6+6）
解：（1）当时，，
即，
当时，，
两式相减有：，
，
经检验，也满足上式，
故.
因为，
则当时，，
累加可得：，
且，
.
经检验，也满足上式，
又因为是正项数列，故.
（2）
令，
则，
两式相减可以得到：
，
.
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
.
（3）证明：因为，
所以，
左边：
，
右边：
，得证.
19.（17分，7+10）
解：（1）定义域为，
，
令，
解得或，
当时，；当时，．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
的极大值为，极小值为．
（2）证明：由（1）知．
令，
则
．
令，
则．
令，
则．
在上恒成立，在上单调递增，
，在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，
．
又，
．
在上单调递增，，
，
即．
令，
则
．
在上单调递增，
在上恒成立，
在上单调递增，
，
对任意恒成立．
．又．
在上单调递增，且，
．
由，
得，
，
．2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟期中联考
高中二年级数学试卷
完卷时间：120分钟 满分：150分
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）
1．若，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数，是的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有（ ）种不同的选法.
A． B． C． D．
6．函数与函数公切线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
7．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种 B．42种 C．54种 D．72种
8．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（ ）
A. B. C. D. 4
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的不得分。）
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为5
C．的最大值为3 D．的最小值为8
10．若，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数（），（），，（e为自然对数的底数），则（ ）
A．在内单调递减
B．和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为
C．和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．展开式中的系数为 ．
13．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
14．已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和
16．（15分）
已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）讨论函数的单调性.
17．（15分）
如图，四棱锥中，平面，
是的中点．
（1）求证：平面；
（2），
①求平面与平面所成角的余弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（17分）
已知数列满足：，正项数列满足：，且.
求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）记为数列的前项积，证明：
19．（17分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若，求证：．
