青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试—高二数学试题
时间: 120分钟 满分: 150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ ), 且P(X>2)=0.7, 则P(3
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
2.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y (颗)的关系，某小组采集了9组数据，绘制散点图如右图，并对x，y进行线性回归分析.若在图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. x，y不具有线性相关性 B.决定系数R 变大
C.相关系数r变小 D.残差平方和变小
3.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有( )
A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种
4.已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某小组收集了一组x，y的样本数据如右表所示，根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )
A. y=0.21x+0.53 B. y=0.25x+0.21
C. y=0.28x+0.16 D. y=0.31x+0.11
5.某篮球运动员每次投篮投中的概率是 ，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 设 则( )
A. a7.某校高二年级有5名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游.已知5名同学中有2名男生，3名女生.每个景点至少有1名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这5名同学游玩行程的方法数为( )
A. 30 B. 36 C. 42 D. 54
8. 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x), 不等式( 恒成立，且 则不等式 的解集为( )
A. (0,3) B. (-3,3) C. (-3,6) D. (3,6)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若 则下列结论中正确的是( )
A.展开式中二项式系数最大项为第3项 B. 当x=-8时, 除以8的余数是1
10. 有个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子; …;以此类推, 记“从i号盒子取出的球是白球”为事件A (i=1, 2, 3, ……,n),则( )
11.已知函数 在x=2处取得极值，且在 上单调，则下列结论中正确的是 ( )
A. a的取值范围是(-2,+∞)
B. f(x)不可能有两个零点
C. 当a=2时, 过点 作曲线y=f(x)的切线有且仅有两条
D. 当a=2时, f(x)的图象与 图象交点的纵坐标之和为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
展开式中x 的系数为 .
13.已知函数 若f(x)有两个零点，则实数k的取值范围 .
14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，…，12，从盒中任取3个球，记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的期望为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如右图的频率分布直方图：
(1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于[60,80)和[80,100)的两组学生中抽取9名学生,再从这9名学生中随机抽取3人，用X表示这3人中属于[60，80)的人数，求X的分布列和数学期望：
(2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”。以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数Y的均值和方差。
16.(15分)某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x (单位：千辆)与年使用人次y(单位：千次)的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型 或指数函数模型 对两个变量的关系进行拟合。请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由) 并求出y关于x的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%.请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
参考数据：
参考公式：对于一组数据(x ,y ), (x ,y ), …(x ,y ), 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
其中
P(x ≥k) 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
k 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17. (15分) 已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x>0时, 恒成立，求实数a的取值范围.
18.(17分)甲、乙两名象棋学员进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为 且每局比赛结果相互独立.
(1)若 求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当 时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值.
19. (17分)已知函数
(1)当 时，求f(x)的最大值；
(2)当 时，证明：
(3)若 且 证明：青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高二数学试题参考答案
16.【详解】(1)由散点图判断，y=c·d适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型
题号
2
5
9
10
由y=cd,两边同时取常用对数得gy=g(cd)=gc+xgd.
答案
B
D
BCD
BCD
ACD
设gy=v,则v=lgc+xlgd
12.-10
因为x=4,可=1.54，
2x-140,2xy=50.12,
13.k>1.
u
立w-可
所以gd=
50.12-7×4×1.547
=0.25
∑x-7
140-7×428
15.【详解】(1)因为体育活动时间位于[60,80)和[80,100)的频率分别为0.2和0.16，
0.2
把(4,1.54)代入-lgc+lgd,得gc=0.54,
所以抽取的9名学生中位于[60,80)的有9×02+0：165人，
所以=0.54+0.25x,所以lg=0.54+0.25x,
位于[80,100)的有9-5=4人，
则少-10054+02x-3.47×10025r,
所以随机变量X所有可能取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布，
故y关于x的回归方程为少=3.47×105.
做Px-是7X=答碧品
C8414
(2)设零假设H。:是否报废与是否保养无关.
x-小答会P号0
由题意，报废电动车中保养过得共20×30%=6台，未保养的电动车共20-6=14台，补充2×2列联
C8421'1
表如下：
所以X的分布列为：
保养
未保养
合计
X
0
1
2
3
报废
6
14
20
1
5
10
21
14
2
42
未报废
54
26
80
10
所以E(X)=0×。
+
+2
273x
5-
3
合计
60
40
100
42
(2)由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为：
n(ad-be)
100×46×26-14x54=9.375>6.635,
20×40×60×80
20×(0.014+0.010+0.008+0.003)=0.7.
则x=(a+bjc+a(a+cb+d0
则Y-B(10,0.7),
根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为是否报废与保养有关
17.(1)当a≤0时，f(x)在R上单调递增：当a>0时，f(x)在(-o,lna)上单调递减，在(na,+∞)上单
E(Y)=p=7,D(Y)=p(1-p)=2.1
调递增。
(2)a≤e-2
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