中档突破14 正方形的性质
1.如图,在正方形OABC中,O是坐标原点,点A 的坐标为( 则点 C 的坐标是( )
2.如图,G 是正方形ABCD 中 BC 边上一点,DE⊥AG 于点E,BF∥DE,交AG 于点F,若 BC=3,∠BAG=30°,则 EF 的长是( )
A.1
3.如图,E,F 分别为正方形ABCD 的边AD,CD上的点,且AB=12,AE=DF=3,AF 与BE 交于点G,M 为BF 的中点,则线段GM 的长为( )
A.6.5 B.7.5 C.8.5 D.9.5
4.(2019—2020武汉外校)如图,正方形 ABCD 的边长为4,G 是边 BC 上的一点,且 BG=3,连接AG,过点 D 作DE⊥AG 于点E,BF∥DE交AG 于点F,则EF 的长为( )
A.
5.如图,正方形 ABCD 的边长为4,点 E 在边AB 上,BE=3,过点 E作EF∥BC,分别交 BD,CD 于点G,F.若点 M,N 分别为DG,EC 的中点,则线段 MN 的长为( )
C.2.5 D.1.5
6.如图,在 中,E,F分别为AD,BC边上的点,
(1)求证:四边形AFCE 是矩形;
(2)若 ，四边形 AFCE 是正方形，直接写出 BC 的长.
7.如图,在正方形ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点E,F 满足 连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证:
(2)试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由.
8.如图,在正方形 ABCD 的对角线AC 上取一点E,使得. 连接BE.
(1)求证:
(2)延长BE 至点F,使 ,连接CF,求证:
中档突破14 正方形的性质
1. A 解:过点 C 作CD⊥x轴于点D,
过点 A 作AE⊥x轴于点 E,则△OCD≌△AOE(AAS),
∴CD=OE=1,OD=AE=
故选 A.
2. D 解:∵DE⊥AG,DE∥BF,
∴∠AED=∠DEF=90°=∠AFB,
∴∠ABF+∠BAF=90°,
∵四边形 ABCD 是正方形,BC=3,
∴AB=AD=3,∠DAB=90°,
∴∠BAF+∠DAE=90°,∴∠ABF=∠DAE,
∵AB=DA,∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴AF=DE,BF=AE,
∵∠BAG=30°,∠AFB=90°,
故选 D.
3. B 4. C
5. C 解:连接 ME,MF,MC,
∵在正方形ABCD 中,BD 为对角线,EF∥BC,AB=4,
∴∠BDC=45°,AB=BC=CD=EF=4,∠EFD=90°.
∵M为GD中点,
∴DM=MF,∠MFG=45°,∴△EMF≌△CMD(SAS),
∴∠FME=∠DMC,∴∠EMC=∠DMF=90°.
∵N为EC 中点,
在 Rt△EBC中,BE=3,BC=4,
∴EC=5,∴MN=2.5.故选 C.
6.解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,
∴AE=CF,∵AE∥CF,
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵AF⊥BC,∴∠AFC=90°,∴四边形 AFCE 是矩形;
(2)∵∠AFB=90°,∠B=60°,AB=2,
∵四边形 AFCE 是正方形,
7.解:(1)∵正方形ABCD,∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF,
∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS);
(2)四边形AECF 是菱形.
理由:连接AC 交BD 于点O,
∵正方形ABCD,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF.
∵BE=DF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF,
∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF,∴四边形AECF 是菱形.
8.证明:(1)连接BD 交AC 于点O,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC 垂直平分BD,∴BE=DE;
(2)∵BE=DE,OE⊥BD,
∴∠OEB=∠OED=∠DCA+∠CDE=60°,
∴∠CEF=∠OEB=60°,∠CED=120°.
∵BC=DC,CE=CE,BE=DE,
∴△BCE≌△DCE(SSS),
∴∠CBE=∠CDE=15°,
∵CF=CB,∴∠F=∠CBE=15°,∴∠F=∠CDE,在EF 上截取GE=CE,连接CG,则△ECG 是等边三角形,∴CG=CE,∠CGE=60°,
∵CF=CB=CD,∴△CGF≌△CED(AAS),
∴FG=DE,∴CE+DE=GE+FG=EF.中档突破10 直角三角形斜边上的中线
1.如图,在△ABC 中, 于点 D,E 是 AB 的中点,若∠A=25°,则∠DCE 的度数为 .
2.在 ABCD 中,∠ABC=75°,AF⊥BC,AF 交BD 于点E,DE=2AB,则∠AED 的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.如图,在△ABC 中,AB=AC,P 是BC 延长线上一点,( 于点 F,D,E 分别为 BC 和AC 的中点,连接 ED,EF,若 ,则∠DEF 的度数是 .
4.如图,在△ABC 中, 于点D， 于点E，连接DE,M,N 分别是BC,DE 的中点.
(1)求证:MN⊥DE;
(2)若∠A=60°,连接EM,DM,判定△EMD 的形状,并说明理由.
1.40° 解:∵∠ACB=90°,E 是AB 的中点,
∴∠DEC=∠A+∠ECA=50°,
∵CD⊥AB,∴∠CDE=90°,
2. B 解:取 DE 的中点 H,连接AH,
由题意知
∵DE=2AB,∴AH=AB,
∴∠AHB=∠ABH=2∠ADH.
∵∠ADH+∠ABD=75°,
∴∠ADH=25°,∴∠AED=65°.
3.100° 解:∵∠P=40°,∴∠FCP=90°-40°=50°.
在Rt△AFC中,AE=EC,∴AE=EF=EC,
∴设∠FAE=∠AFE=x,∴∠FEC=2x.
又·.
4.解:(1)连接EM,DM,在 Rt△BEC 中,M 是BC 的中点,
在 Rt△BDC 中,M 是BC 的中点,
.
∵N 是DE 的中点,∴MN⊥DE;
(2)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.
∵在 Rt△BEC 中,M 是BC 的中点,
∵在 Rt△BDC 中,M 是BC 的中点,
∴∠BEM+∠CDM=∠ABC+∠ACB=120°,
(∠BEM+∠CDM)=120°,
又∵EM=DM,∴△EMD 是等边三角形.中档突破2 平行四边形的性质(二)对角线互相平分
1.如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,AC=10,BD=6,AD=4,则□ABCD 的面积是( )
A.12 C.24 D.30
2.如图, ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O,若AC=8,BD=6,则AB 长的取值范围是( )
A.1
C
3.如图,□ABCD 的对角线交于点O,且AD>CD,过点O作OM⊥AC,交AD 于点M,如果△CDM 的周长为3,那么 ABCD 的周长是 .
4.如图,□ABCD中, ,对角线 AC,BD 相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC 于点 E,F,且OE=3,则四边形 EFCD 的周长是( )
A.20 B.24 C.28 D.32
5.如图,在 中,点E,F 在对角线BD 上,且. DF,连接AF,CE.求证:AF∥CE.
1. C 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,且AC=10,BD=6,
∴△ADO是直角三角形,且∠BDA=90°,即AD⊥BD,
∴□ABCD 面积为AD·BD=4×6=24.故选 C.
2. A 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∵AC=8,BD=6,∴AO=4,BO=3,
∴4-33.6 解:∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AO=OC,CD=AB,BC=AD.
∵OM⊥AC,∴AM=MC,
∴MC+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD=3.
∴AB+CD+BC+AD=2(AD+CD)=6,
∴□ABCD 的周长为6.
4. B 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB=8,AD=BC=10,OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,在△AOE 和△COF 中,∠EAO =∠FCO,∠AEO =∠CFO,OA=OC,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OF=OE=3,CF=AE.故四边形 EFCD 的周长为CD+EF+AD=8+6+10=24.故选 B.
5.证明:连接AC 交BD 于点O,连接AE,CF.∵□ABCD中,BO=DO,AO=CO,且BE=DF,∴EO=FO.
∵EO=FO,AO=CO,∴四边形AECF 是平行四边形,∴AF∥CE.中档突破7 构三角形中位线
1.如图,在△ABC,△BED 中,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠EBD=50°,且A,B,D 三点在一条直线上,连接CE,分别取AD,AC,CE 的中点F,H,G,连接FH,FG,则∠HFG 的度数为( )
A.65° B.60° C.70° D.不能确定
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是AC 延长线上的一点,AD=12,E 是BC上一点,BE=6,连接DE,M,N分别是AB,DE 的中点,则 MN 的长为( )
A.6 B.8 D.3
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D 为△ABC 形内一点,以AD为腰作等腰△DAE,使∠DAE=∠BAC,连接BE,CD.若M,N 分别是 DE,BC的中点,且MN=1,则CD 的长为 .
1. A 解:连接GH,连接AE 交FH 于点Q,连接CD,分别交GH,AE 于点 P,M,
∵∠ABC=∠EBD=50°,
∴可证△ABE≌△CBD,
∴∠AEB=∠CDB,AE=CD,
∵∠AMC = ∠EAB +∠CDB,∠EBD = ∠EAB +∠AEB,∴∠AMC=∠EAB+∠AEB=∠EBD,
∵∠EBD=50°,∴∠AMC=50°,
∵点 F,H,G分别是AD,AC,CE 的中点,
∴∠GHF=∠AQH=∠AMC=50°,GH=FH,
65°,故选 A.
2. D 解:连接BD,取 BD 的中点F,连接MF,NF.
∵M,N,F分别是AB,DE,BD 的中点,
∴NF,MF 分别是△BDE,△ABD 的中位线,
∵∠ACB=90°,∴AD⊥BC,
∵MF∥AD,∴MF⊥BC,∵NF∥BE,∴NF⊥MF,在Rt△MNF中，由勾股定理得 故选 D.
3.2 解:连接BD,取 BD 的中点F,连接FM,FN.
∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,
即∠BAE=∠CAD,∵AE=AD,AB=AC,
∴△AEB≌△ADC(SAS),
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD.
∵M 是ED 的中点,F 是BD 的中点,
∴FM 是△BED 的中位线,
∴∠DFM=∠EBD,同理得
∴FM=FN,∠FNB=∠DCB,
∵∠DFN=∠DBC+∠FNB=∠DBC+∠DCB,
∴∠MFN =∠DFM+∠DFN =∠EBD+∠DBC +∠DCB=∠ABE+∠ABC+∠DCB=∠ACD+∠DCB+∠ABC=∠ACB+∠ABC=180°-120°=60°,
∴△FMN 是等边三角形,∴MN=FN=1,∴CD=2.中档突破1 平行四边形的性质(一)边、角关系
1.如图,将 ABCD 沿对角线AC 折叠,使点 B 落在点E 处,若∠1=∠2=44°,则∠B 的度数为 .
2.在 ABCD 中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点 F,若∠C=110°,则∠BAE 的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.70°
3.如图,E 为 ABCD 的边AD 上一点,将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE,点 F 在BD 上,且EF=DF,∠C=52°,那么∠ABE 的度数为( )
A.38° B.48° C.51° D.62°
4.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，BD是 ABCD 的对角线,点E 在 BD上,DC=DE=AE,∠1=25°,则∠C 的度数是 .
5.如图,E,F 是□ABCD 对角线BD 上的点,
(1)求证:BE=DF;
(2)求证:AF∥CE.
中档突破1 平行四边形的性质(一)边、角关系
1.114° 解:在 ABCD中,CD∥AB,
∴∠DCA=∠BAC,根据折叠,可得∠EAC=∠BAC,
∴∠DCA=∠EAC,
∵∠1=∠DCA+∠EAC,∠1=∠2=44°,
∴∠EAC=22°,∴∠BAC=22°,
2. A 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∠C=110°,
∴∠B=70°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,
.故选 A.
3. C 解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C=52°.由折叠的性质得:∠BFE=∠A=52°,∠FBE=∠ABE.
∵EF=DF,∴∠EDF=∠DEF= ∠BFE=26°,
故选C.
4.105° 解:∵DE=AE,∠1=25°,
∴∠ADE=∠1=25°,
∴∠AEB=∠1+∠ADE=50°.
又∵□ABCD中,AB=CD,
∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=50°,
∴∠BAE=80°,∴∠BAD=80°+25°=105°.
又∵∠BAD=∠C,∴∠C=105°.
5.解:(1)∵□ABCD 中,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF,AB=CD.
∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFD,
∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF;
由△ABE≌△CDF 得AE=CF,
又∵∠1=∠2,∴AE∥CF,
∴四边形AECF 是平行四边形,∴AF∥CE.中档突破8 矩形的性质
1.如图,在矩形 ABCD 中, 那么∠BDC 的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
2.如图,在矩形ABCD 中,∠ADB=23°,E 是AD上一点,将矩形沿CE 折叠,点 D 的对应点 F 恰好落在BC上,CE 交 BD 于点 H,连接 HF,则∠BHF 的度数是 .
3.如图,在矩形 ABCD 中,对角线AC 与 BD 相交于点O,过点 A 作AE⊥BD,垂足为E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE 的度数为( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
C
4.如图,在矩形 ABCD 中, =6,E 为 BC 边上一点,ED 平分∠AEC,则CE 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起.若AB=AF=2,AE=BC=6,则图中重叠(阴影)部分的面积为( )
A. B.203 D.8
6.如图,延长矩形ABCD 的边 BC 至点 E,使 若 则 的度数为 .
7.如图,以 的边AB 为对角线构造矩形ADBE，连接 DE 分别交AB,AC 于点O,F.若F 为AC 的中点, ,则 EF 的长为 .
8.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O,过点 A 作AE⊥BD,垂足为E,若∠EAD=3∠BAE,则∠EAO 的度数是( )
A.60° B.67.5° C.45°
9.如图,在矩形纸片ABCD 中,AD=4cm,把纸片沿直线AC 折叠,点 B 落在点E 处,AE 交DC 于点O,若AO=5cm ,则AB 的长为( )
A.6 cm B.7 cm C. 8cm D.9 cm
10.如图,在矩形ABCD中,AB=12,E是AD上的一点,AE=6,BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F,连接EF 交CD 于点G.若G 是CD 的中点,则 BC的长是 .
11.如图,四边形 ABCD 为矩形,E,F 在线段AC 上,且 求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
D
12.如图,已知E 是矩形ABCD 的边AD 上一点,沿CE 折叠矩形,使点D 落在对角线AC上的点F 处. G为BC 上一点，且 连接 FG.
(1)求证:
(2若 ,求四边形 EFGC 的面积.
13.在矩形 ABCD 中, 的平分线交直线BC 于点E，交 AB的延长线于点 F,G 是EF 的中点,连接AG,CG.
(1)求证:
(2)请判断△AGC 的形状，并说明理由.
14.如图,在矩形ABCD 中,M 为AD 的中点,N 为AB 的中点, 2.若 求BC 的长.
C
1. C 解:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AO=DO=AD,∴∠ADO=60°,
2.44° 解:连接DF,由折叠知,DH=HF,DC=CF,
∴∠HFD=∠HDF,∠CDF=∠CFD=45°,
∴∠HDF=45°-∠ADB=22°,
∴∠BHF=∠HDF+∠HFD=44°.
3. D 解:∵OA=OD,
∴∠CAD=∠ADB.易证∠BAE=∠ADB,
∴∠BAE=∠CAD.
∵∠BAE+∠EAC+∠CAD=90°,∠EAC=2∠CAD,∴∠BAE=22.5°.
4. B 解:∵ED 平分∠AEC,
∴∠AED=∠CED=∠ADE,∴AE=AD=10,
5. B 解:设 BC 交AE 于点G,AD 交CF 于点 H.
∵四边形ABCD、四边形AECF 是全等的矩形，
∴AB=CE,∠B=∠E=90°,AD∥BC,AE∥CF,
∴四边形 AGCH 是平行四边形,在△ABG 和△CEG 中,∠B=∠E,∠AGB=∠CGE,AB=CE,
∴△ABG≌△CEG(AAS),∴AG=CG.设AG=CG=x,则 BG=BC-CG=6-x,在 Rt△ABG 中, 解得
∴重叠(阴影)部分的面积 选 B.
6.17° 解:连接AC 交BD 于点O.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴OA=OD,∠E=∠DAE,∴∠ADB=∠CAD=34°,
∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE,
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,
∴∠E+∠E=34°,即∠E=17°.
7.1 解:∵四边形ADBE 为矩形,
∴∠ADB=90°,DE=AB,OA=OB=OD=OE,
在Rt△ABD 中,
∴DE=10,OA=OB=OD=OE=5,
∵O,F 分别是AB,AC 的中点,BC=8,
8. C 解:∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAD=90°,OA=OB,∴∠BAE+∠EAD=90°,
∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°,
∴∠BAE=22.5°,∵AE⊥BD,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,故选 C.
9. C 解:由折叠知OC=OA=5,在 Rt△ADO中,
10.10.5 解:∵G是CD 的中点,DG=CG=6.
易证△EDG≌△FCG,
∴DE=CF,EG=FG.设DE=CF=x,
则BF=BC+CF=AD+CF=6+2x.
∵HF 垂直平分BE,
在 Rt△EDG 中,.
,解得x=4.5,∴BC=6+x=10.5
11.证明:连接BD 交AC 于点O,
∵四边形ABCD 为矩形,∴AO=CO,BO=DO,
∵AE=CF,∴AO-AE=CO--CF,∴OE=OF,
∵BO=DO,∴四边形 BEDF 是平行四边形.
12.解:(1)延长 EF 交BC 于点 H,
∵∠HCE=∠CED=∠CEH,∴HE=HC.
又∵CG=DE=FE,∴FH=GH,
(2)∵∠DAC=30°,∴∠ECD=∠ECA=30°,
又∵CD=4,
13.解:(1)由 DF 平分∠ADC 可知∠ADF =∠CDE=∠CED=∠BEF=∠F=45°,可得BE=BF;
(2)连接 BG,AC.易证△AFG≌△CBG(SAS),得AG=CG,∠AGC=90°,所以△AGC 为等腰直角三角形.
14.解:延长CM 交 BA 延长线于E,
∵M 为AD 的中点,N 为AB 中点,
∴AN=BN=2,AM=MD,∴AB=CD=4.
∵AE∥DC,∴∠E=∠MCD.
在△AEM 和△DCM 中,
∴△AME≌△DMC(AAS),∴AE=CD=4.
∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD,
∴∠NCE=∠ECD=∠E,
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6.中档突破9 矩形的判定
1.如图,在 中,CD 是边AB 上的中线,E 是CD 的中点,过点 C作AB 的平行线交AE 的延长线于点F，连接BF.
(1)求证:CF=AD;
(2)若CA=CB,试判断四边形CDBF 的形状,并说明理由.
2.如图,在 ABCD 中,过点 A 作. 于点E,点 F 在边 AB上,且DE=BF.
(1)求证:四边形 AFCE 是矩形.
(2)若BE 平分∠ABC,且BF=1,CF=3,求 CE 的长.
3.如图,在△ABC 中,BD,CE 分别是边AC,AB 上的中线,BD与CE 相交于点O,M 和N 分别为OB,OC 的中点,连接ED,EM,MN,ND.
(1)求 的值；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 DEMN 是矩形 给出你的结论并证明.
4.如图, ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E,G为AD 的中点,连接 CG 并延长,交 BA 的延长线于点F,连接 FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形 ACDF 的形状,并证明你的结论.
5.如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,
(1)若 求证：四边形 ABCD 为矩形；
(2)若AE⊥BD 于点E,CF⊥BD 于点F,求证:AE=CF.
6.如图,将 ABCD 的边AB 延长至点 E,使BE=AB,连接DE,EC,DE与 BC 交于点 O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)连接 BD,若∠BOD=2∠A,求证:四边形 BECD 是矩形.
1.解:(1)∵AB∥CF,∴∠EAD=∠EFC,∠ADE=∠FCE.∵E 是 CD 的中点,∴DE =CE,∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF;
(2)四边形CDBF 是矩形.理由:
∵CD 是边AB 上的中线,
∴AD=BD.又∵AD=CF,∴BD=CF.
又∵BD∥CF,∴四边形CDBF 是平行四边形.
∵CA=CB,AD=BD,∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,∴四边形CDBF 是矩形.
2.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD∥AB.
又∵DE=BF,∴CE⊥AF.
∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴四边形AFCE 是矩形;
(2)在 Rt△BCF 中,
∵CD∥AB,∴∠CEB=∠ABE.
∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠CEB=∠ABE,∴∠CEB=∠CBE,
3.解:
∴DE∥MN,且DE=MN,
∴四边形 DEMN 为平行四边形，
(2)当AB=AC时,四边形 DEMN 为矩形.
理由如下:可证△BEC≌△CDB,则∠DBC=∠ECB,
∴OB=OC,∴OM=ON,
由(1)可知MD=NE,又四边形 DEMN 为平行四边形,∴四边形 DEMN 为矩形.
4.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,∴△AGF≌△DGC,
∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)四边形ACDF 是矩形.理由:
∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形 ACDF 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°.
∵AB=AG=AF,∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF.
∵在 ACDF中,AD=2AG,CF=2GF,
∴AD=CF,∴四边形ACDF 是矩形.
5.解:(1)在平行四边形ABCD 中,
∵AO= BD,∴AO=OC=BO=OD,即AC=BD,
∴四边形 ABCD 为矩形;
(2)由(1)知AO=OC.∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO.∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.
6.解:(1)∵AB=BE,∠EBC=∠A,AD=BC,∴△ABD≌△BEC;
(2)易证四边形BECD 为平行四边形.
∵∠A=∠CBE,∠BOD=2∠A=∠OBE+∠OEB,
∴∠OBE=∠OEB,∴OB=OE,则BC=DE,∴四边形 BECD 为矩形.中档突破11 矩形的折叠
1.如图,在矩形 ABCD 中, ,E 是BC 的中点,连接AE,若将△ABE 沿AE 翻折,点 B 落在点 F 处,连接FC,则CF 的长是 .
2.如图,在矩形 ABCD 中, ，E是AD 上一点，将矩形沿CE 折叠,点 D 的对应点F 恰好落在BC上,CE 交BD 于点H,连接HF,则 的度数为
3.如图,将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3：1，则 的值为( )
A. B. C.
4.如图,在矩形 ABCD 中,E 为AD 上一点,将△CDE 沿CE 翻折至△CFE,EF 交AB 于点G,且GA=GF,若CD=10,BC=6,则AE 的长是 .
C
1. 解:连接BF交AE于点O.
∵四边形ABCD 是矩形,∴BC=AD=6,∠ABE=90°,
∵E 是BC 的中点,
∵AE 垂直平分BF,
∵BO=OF,BE=CE,∴CF∥AE,∴∠BFC=∠BOE=
2.42° 解:由题可得,∠CDH=∠CDE--∠HDE=90°-
∵矩形沿CE 折叠，点 D 的对应点 F 恰好落在BC 上，
∴∠CFH=∠CDH=66°,
∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=24°,
∴∠BHF=∠CFH-∠CBD=66°-24°=42°.
3. D 解:如图,将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合,
∴ED=BE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,
∵原矩形的长宽之比为3:1,∴设AD=BC=3x,AB=x,
∴AE=3x-ED=3x-BE,∵AE +AB =BE ,
解得
故选 D.
4. 解:设CF与AB交于点H.
∵将△CDE 沿CE 翻折至△CFE,
∴∠F=∠D=∠B=∠A=90°,DE=EF.
∵AG=FG,∠AGE=∠FGH,
∴△AGE≌△FGH(ASA),∴FH=AE,EG=GH,
∴AH=EF=DE,设AE=x,则AH=DE=EF=6-x,
∴BH=10-(6-x)=x+4,CH=10-x,中档突破4 平行四边形的判定与性质
1.如图，四边形ABCD 的对角线交于点O，下列不能判定四边形AB-CD 为平行四边形的是( )
A. AB=CD,AD=BC
B.∠ABC=∠ADC,AB∥CD
C. OA=OC,OB=OD
D. AB∥CD,AD=BC
2.不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A. AB=CD,AD=BC
C. AB=CD,AD∥BC
3.如图,在 中,D,F 分别是AB,AC上的点,且. ，E是射线DF 上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形 DBCE 为平行四边形的是( )
A.∠ADE=∠E B.∠B=∠E
C. DE=BC D. BD=CE
4.如图，四边形ABCD 是平行四边形， ,BE 平分∠ABC 交AD 于点 E,F 是边 BC 上一点, .求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
5.如图,E,F 是 对角线BD上的两点，且. 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
6.如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E,F 是对角线BD 上两点,且BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC 与BD 交于点O,求证:OA=OC.
7.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE 平分∠ABC 交AD 于点E,DF 平分∠ADC 交BC 于点F,求证:四边形 DEBF 是平行四边形.
8.如图1,E,F 分别为 ABCD 的边AB,DC 上的点,且BE=DF.
(1)求证：四边形 AECF 是平行四边形；
(2)如图2,当DE 平分∠ADC,AF⊥DC时,DF=3,AE=5,求 ABCD的面积.
中档突破4 平行四边形的判定与性质
1. D 2. C 3. D
4.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∠C=∠BAD=110°,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵BE 平分∠
∴∠CBE=∠CFD,∴BE∥FD.
又∵BF∥DE,∴四边形BEDF 是平行四边形.
5.证明:连接AC,交 BD 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形 AECF 是平行四边形.
6.证明:(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵AB=CD,BE=DF,∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL);
∵AB=CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO.
7.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC,∴∠EDF=∠CFD,
∵BE 平分∠ABC,DF 平分∠ADC,
∴∠CBE=∠ADF=∠CFD,∴BE∥DF,
∵DE∥BF,∴四边形 DEBF 是平行四边形.
8.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵BE=DF,∴AB-BE=CD--DF,即AE=CF.
∵AE∥CF,∴四边形AECF 是平行四边形;
(2)∵AB∥CD,∴∠AED=∠CDE.
∵DE 平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE=5,由(1)可知,四边形AECF 是平行四边形，
∴FC=AE=5,∴CD=DF+FC=3+5=8.
∵AF⊥DC,∴∠AFD=90°,
∴S□ABCD=CD·AF=8×4=32.中档突破12 菱形的性质
1.已知菱形的一个内角为30°，周长为8，则此菱形的面积是( )
A.2 B.2 C.2 D.4
2.如图,在菱形 ABCD 中,AC,BD 交于点O,AC=4,E 为AD 边中点,菱形 ABCD 的面积为4 ,则OE 的长为 .
3.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点H,连接CH,若. ,则CH 的长是( )
A. B.3 C. D.4
C
4.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥BC 于点 H,连接OH,若OA=4,OH 的长为3,则
A.12 B.24 C.36 D.48
5.如图,在菱形 ABCD 中,过顶点 C 作CE⊥BC 交对角线 BD 于E点,已知∠A=134°,则∠BEC 的大小为( )
A.23° B.28° C.62° D.67°
6.如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片ABCD 分别沿AM，AN 所在直线进行折叠，使得菱形的两边 AB，AD 重合于AO.若此时 则 的度数为 .
7.如图,菱形 ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O,分别过点C,D 作 ,CE 和DE 交于点E.
(1)求证:四边形ODEC 是矩形;
(2)当 时,求 EA 的长.
8.如图,在菱形ABCD 中, 于点E.
(1)如图1,作 于点F,连接EF,BD,求证:
(2)如图2,设 AE 与对角线BD 相交于点G,若 6,四边形 CDGE 和 的面积分别是( 和 求 的值.
中档突破12 菱形的性质
1. A 解:在菱形ABCD 中,设∠A=30°.过 D 作DH⊥AB于点H,∵菱形ABCD的周长为8,∴AB=AD=2, ∴菱形的面积=AB·DH=2×1=2.故选A.
2. 解:∵菱形ABCD 的面积为4 ,AC=4,
∵在菱形ABCD 中,AC⊥BD,∴∠AOD=90°,
∵E 为AD 边中点,∴OE 的长为
C 解:∵四边形 ABCD 是菱形,AB=2,AC=2
∴∠ADC=2∠BDA,AD=CD=AB=2,OA=OC= OB=OD,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,
∴BD=2OB=2,∴AB=AD=BD,
∴△ABD 是等边三角形,
∴∠BAD=∠BDA=60°,∴∠ADC=2∠BDA=120°,
在 Rt△ADH 中,由勾股定理得:DH =
°,
故选 C.
4. B 解:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,OB=OD.
∵OA=4,OH=3,∴AC=2OA=8.
∵DH⊥BC,∴BD=2OH=6,
故选 B.
5. D 解:∵四边形 ABCD 为菱形,∠A=134°,
∵CE⊥BC,∴∠BEC=90°-23°=67°,故选 D.
6.30° 解:∵四边形ABCD 为菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,又∵BM=DN,
∴△ABM≌△ADN,∴∠BAM=∠DAN.
由折叠的性质可知,∠B=∠AOM,∠D=∠AON,
∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN= ∠BAD,
∵∠MON=80°,
∴∠B=∠AOM=140°,
7.解:(1)∵DE∥AC,CE∥BD,∴DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形OCED 是平行四边形.∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∴四边形ODEC 是矩形;
由勾股定理得
8.解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠ABE=∠ADF,AB=AD=BC=CD,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF,
∵BC=CD,∴CE=CF,
(2)连接CG,∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠ADG=∠CDG,AD=CD,∵DG=DG,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴AG=CG,△ADG 和△CDG 的面积相等,
∴S -S =S△CGE,AB=BC=CE+BE=6+4=10.
设EG=x,则AG=CG=8-x,
解得x=3,即中档突破18 正方形中的 倍问题
1.如图,在正方形ABCD 中,P 为AB 边上任意一点, 于点E，点F 在 DP 的延长线上，且. 连接AF,BF, 的平分线交DF 于点G，连接GC.
(1)求证: 是等腰直角三角形；
(2)求证:
2.如图,P 是正方形ABCD 边BC 上一个动点,线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点 F，连接CF.
(1)如图1,已知
①求 的度数；
②求证：
(2)如图2，探究 BE 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
中档突破18 正方形中的 倍问题
1.证明:(1)∵DE=EF,AE⊥DP,
∴AF=AD,∴∠AFD=∠ADF,
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°,
∴∠AFD=∠PAE,
∵AG平分∠BAF,∴∠FAG=∠GAP.
∵∠AFD+∠FAE=90°,
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°,
∴2∠GAP+2∠PAE=90°,即∠GAE=45°,
∴△AEG 为等腰直角三角形；
(2)证法1:作CH⊥DP,交 DP 于点 H,∴∠DHC=90°.∵AE⊥DP,∴∠AED=90°,∴∠AED=∠DHC.
∵∠ADE+∠CDH=90°,∠CDH+∠DCH=90°,
∴∠ADE=∠DCH.∴△ADE≌△DCH(AAS),
∴CH=DE,DH=AE=EG.∴EH+EG=EH+HD,即GH=ED,∴GH=CH.∴CG= GH.
即
证法2:过 D 作DM⊥DG 交GA 延长时于M,证△ADM≌△CDG,
∴CG=AM,∴AG+CG=MG= DG.
2.解:(1)①∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAD=90°,AD=AB=BC,∵∠BAP=30°,
∴∠DAP=∠BAD-∠BAP=60°,
∵线段 AE 与AD 关于直线AP 对称,
∴∠DAP=∠EAP=60°,AD=AE,
∴∠BAE=∠EAP-∠BAP=30°,AB=AE,
∴∠E=∠ABE=75°,
②过点 B 作BG⊥AP 于点G,由①知∠AFE=45°,
∴△BFG 是等腰直角三角形，
证明如下:过点 A 作AH⊥BE 于点 H,过点 C 作CG⊥EF 交EF 的延长线于点G.
∵在正方形 ABCD 中,∴∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=AD.∵∠AHB=∠ABC=∠G=90°,
∴∠BAH=∠CBG,∴△ABH≌BCG,
∴BH=CG,AH=BG.设∠BAP=x,
∵线段 AE 与AD 关于直线AP 对称,
∴AH=FH=BG,∴GF=BH=CG,
∴△CGF 为等腰直角三角形，
∵BE=2BH=2CG,∴BE= CF.中档突破17 正方形中的 角问题
1.如图,在正方形ABCD 中,点 E 在 BC 上,点 F 在 CD 上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°,BE=3,CF=4,则正方形的边长为 .
2.如图,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AB 上一点,AE,CF 交于点O.若 ,则 BF 的长为 .
3.如图,在正方形ABCD中,E 是BC 的中点,F 是边CD 上一点,AE 交BD 于点 N,AF 交BD 于点M,
(1)求 DF:CF 的值;
(2)连接 EM,求证:
中档突破17 正方形中的45°角问题
1.6 解:设正方形边长为x,则CE=x-3,DF=x-4,由半角模型可得 EF=BE+DF=x-1,在Rt△CEF 中, 解得x=6,∴正方形边长为6.
2. 解:取AD 的中点G,连接CG,FG,则∠FCG=45°,由夹半角模型可知FG=BF+DG,
设BF=x,则AF=4-x,FG=2+x,在 Rt△AFG中,由勾股定理可得 解得
3.解:(1)设BE=CE=1,DF=x,由半角横型可知,EF=BE+DF=1+x,CF=2-x,在Rt△CEF中, 解得
(2)过点 E 分别作 EG⊥BC 交BD 于点G,EH⊥AE 交AF 的延长线于点 H,连接GH.
则△ABE≌△HGE,可得GH=AB=AD,GH∥AD,∴M 为AH 的中点,又∵AE=EH,∴EM⊥AF.中档突破15 正方形的判定
1.如图,在 中,P 是AC 的中点,过点 P 的直线MN∥BD,∠ACB,∠ACD 的平分线分别交MN 于点E,F.
(1)请判断四边形 AECF 的形状，并说明理由；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形，请说明理由.
2.如图,在 中,对角线A C,BD相 交于点O ,
(1)求证:平行四边形 ABCD 是矩形;
(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形.
3.如图,在 中， 的平分线交于点G,GE⊥BC 于点E,GF⊥AC 于点 F.
(1)求证:四边形GECF 是正方形;
(2)若AC=4,BC=3,求四边形GECF 的面积.
1.解:(1)四边形 AECF 为矩形.理由如下:
∵MN∥BD,CE 平分∠ACB,
∴∠PCE=∠BCE=∠PEC,
∴PC=PE,同理可证PC=PF,又∵P 是AC 的中点,
∴PA=PC=PE=PF,∴四边形AECF 为矩形;
(2)∠ACB=90°.理由如下:
∵∠ACB=90°,CE 平分∠ACB,CF 平分∠ACD,
∴∠PCE=∠PCF=45°,由(1)知 PE=PC=PF,
∴∠CEP=∠CFP=45°,∴CE=CF,
由(1)知四边形AECF 为矩形,
∴四边形 AECF 为正方形.
2.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴BD=AC,
∴平行四边形 ABCD 是矩形；
(2)AB=AD或AC⊥BD,答案不唯一.
理由:∵四边形 ABCD 是矩形,AB=AD,
∴四边形 ABCD 是正方形.
或∵四边形ABCD 是矩形,AC⊥BD,
∴四边形 ABCD 是正方形.
3.解:(1)过点 G 作GD⊥AB 于点D,∵∠CAB,∠CBA 的平分线交于点G,GE⊥BC,GF⊥AC,
∴DG=EG,DG=FG,∴EG=FG,
∵∠C=90°,GE⊥BC,GF⊥AC,
∴∠C=∠CEG=∠CFG=90°,
∴四边形GECF 是矩形,
∵EG=FG,∴四边形GECF 为正方形;
(2)连接CG，由勾股定理，得 设EG=x,则 -S△BCG,
.四边形GECF 的面积:中档突破6 用三角形中位线
1.如图，是吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知E，F 分别是边AB，AC 的中点，量得EF=5m，他想把四边形 BCFE 用篱笆围成圈放养小鸡，则需要篱笆的长至少是( )
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
C
2.如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,P 是边 BC 的中点,若△ABC 的周长为30,则△OPC 的周长为( )
A.10 B.12 C.15 D.16
3.(2021—2022硚口期末)如图,在四边形ABCD 中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H 分别是BD,AC 的中点.若AB=CD,∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠GEF 的度数是( )
A.25° B.30° C.45° D.35°
4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,若 DE 是△ABC 的中位线,延长 DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点 F,则线段 DF 的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.如图,在△ABC 中,D,E分别为AB,AC 的中点,CF 平分∠ACB,交 DE 于点F,若BC=10,AC=4,则 DF 的长为 .
6.如图,在△ABC 中,BD,CE 分别是边AC,AB 上的中线,BD 与CE相交于点O,M,N分别是OB,OC 的中点,连接ED,EM,MN,DN,AO.若四边形DEMN 的周长为10,BC=7,则AO的长是 .
7.如图,E 为 ABCD 的边 DC 延长线上的一点,且CE=DC,连接AE 分别交 BC,BD 于点 F,G,连接AC 交 BD 于点O,连接OF.求证:AB=2OF.
8.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 分别是AB,AC 的中点,连接DE,CD,过点 E 作EF∥DC,交 BC 的延长线于点F.
(1)求证：四边形CDEF 是平行四边形；
(2)若四边形CDEF 的周长是25 cm,AC 的长为5cm ,求CF 的长.
9.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长,使 BF =BE,连接EC 并延长,使CG=CE,连接FG. H 为 FG 的中点,连接AF,DH.
(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；
(2)若CB=CE,∠BAE=70°,∠DCE=20°,求∠CBE 的度数.
中档突破6 用三角形中位线
1. C 2. C
3. A 解:∵E,G分别是AD,BD 的中点,
∴EG 是△ADB 的中位线,.
∴∠EGD=∠ABD=20°,同理可得
CD,∴∠DGF=180°-∠BDC=110°,
∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=130°,
∵AB=CD,∴EG=FG,
故选 A.
4. C
5.3 解:∵D,E 分别为AB,AC的中点,BC=10,AC=4,
∴∠EFC=∠BCF.∵CF 平分∠ACB,
∴∠ECF=∠BCF,∴∠EFC=∠ECF,
∴EF=EC=2,∴DF=DE--EF=5-2=3.
6.3 解:∵BD,CE 分别是边AC,AB 上的中线,
∵M,N 分别是OB,OC 的中点,
∴MN= BC= ,MN∥BC,∴DE=MN,DE∥MN,
∴四边形 DEMN 为平行四边形,∴ME=DN,
∵四边形 DEMN 的周长为10,
∵CE 是边AB 上的中线,M 是OB 的中点,
∴AO=2ME=3.
7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD.又∵CE=CD,
∴AB=CE.∵∠BAF=∠E,∠ABF=∠ECF,
∴△ABF≌△ECF,∴BF=CF.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO,
∴OF 是△ABC 的中位线,∴AB=2OF.
8.解:(1)∵D,E分别是AB,AC 的中点,∴DE∥BF.
又∵EF∥DC,∴四边形 CDEF 是平行四边形;
(2)设
在 Rt△CEF 中,(
即CF 的长为 6 cm.
9.解:(1)易证:
又∵AD∥BC,∴FH∥AD,
∴四边形 AFHD 为平行四边形；
(2)∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴∠DCB=∠BAE=70°.
∵∠DCE=20°,∴∠ECB=70°-20°=50°.
∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB=65°.中档突破5 平行四边形的面积
1.如图,在 中， ,EF,GH 的交点 P 在 BD上，则图中面积相等的平行四边形有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.0对
2.□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,△OAB 是等边三角形,且AB=3.则□ABCD 的面积是( )
C.9
3.一个平行四边形的一条边长为9，两条对角线的长分别是12和 ，则它的面积是 .
4.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 交于点O,且. DO,AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；
(2)若AD=12,OD=5,AC=26.①求∠ADB 的度数;②S四边形ABCD= .
1. A 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴S△ABD=S△CBD.
∵BP 是 BEPH 的对角线,
∵PD 是 GPFD 的对角线,.∴S△GPD=S△FPD.
即S□AEPG = S□HCFP, ∴ S□ABHG = S□BCFE,同理 S□AEFD =S□HCDC.即S□ABHG=S□BCFE,S□AGPE=S□HCFP,S□AEFD=S□HCDG.故选 A.
2. D 解:∵△AOB 是等边三角形,AB=3,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
故选 D.
3.36 解：如图，
∴∠AOB=90°,∴ ABCD 为菱形,
4.解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,
∵OD=OB,∠AOD=∠COB,
∴△AOD≌△COB(ASA),∴AD=BC,
∵AD∥BC,∴四边形ABCD 为平行四边形;
(2)120 ①∵四边形ABCD 为平行四边形,AC=26,∴OA=OC=13,
∴△AOD 是直角三角形,∠ADO=90°,即∠ADB=90°;
②由①可知,∠ADB=90°,∴BD⊥AD,
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BD=2OD=10,∴S四边形ABCD=AD·BD=12×10=120.中档突破13 菱形的判定
1.在 中,D 是边 BC 上的点(与 B,C 两点不重合),过点 D作 ，分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形 AEDF 是矩形
B.若AD 垂直平分BC,则四边形 AEDF 是矩形
C.若BD=CD,则四边形 AEDF 是菱形
D.若AD 平分∠BAC,则四边形AEDF 是菱形
2.如图,O为矩形ABCD 对角线的交点,过点 D 作 于点E，过点 B 作BF∥AC,交 DE 的延长线于F,在 BF 的延长线上取 连接AG,OF.
(1)求证:四边形 AOFG 为菱形;
(2)若AD=5,DF=8,求 BG 的长.
3.如图,四边形 ABCD 的对角线AC,BD 交于点O, OD,且
(1)求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)E 为AO 上一点,连接BE,若. 求 AO的长.
4.如图,在 中， ,E,F分别是BC,AD 的中点,AE,BF 交于点O,连接EF,OC.
(1)求证:四边形 ABEF 是菱形;
(2)若 ,求 OC 的长.
5.如图,在四边形 ABCD 中, 18 cm,CD=21 cm,点 M 从点A 出发,以 的速度向点 B 运动；同时点 N 从点C 出发，以 的速度向点 D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 t s.
(1)当 时,四边形 BMNC 为矩形;
(2)当 时，求t 的值；
(3)当在点 M，N运动过程中，四边形 AMND 能构成菱形.
1. D
2.解:(1)∵四边形 ABCD 为矩形,∴OA=OB=OD,∵DE⊥AC,BF∥AC,∴OF=OD=OA.
又∵FG=OD,∴FG=OA.
又∵FG∥OA,∴四边形AOFG为菱形;
(2)∵AD=5,DF=8,易证DE=EF=4,AE=3.
在 Rt△DEO中,设OD=x,则OE=x-3,
3.解:(1)∵AO=OC,OB=OD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠2=∠ACB,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠ACB∴AB=CB,
∴平行四边形ABCD 是菱形；
(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,在 Rt△ABO 和 Rt△EBO 中,根据勾股定理,得 ,设OE=x,
∵AE=4,AB=6,EB=2 ,AO=4+x,
解得x=1,
∴AO=AE+OE=4+1=5.
4.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD.
∵E,F 分别是BC,AD 的中点,
∴BE=AF,∴四边形ABEF 是平行四边形.
∵BC=2AB,∴AB=BE,
∴平行四边形 ABEF 是菱形；
(2)过点O作OG⊥BC 于点G,
∵E 是BC的中点,BC=2AB,∴BE=CE=AB=4.
∵四边形 ABEF 是菱形,∠ABC=60°,
∴∠OBE=30°,∠BOE=90°,∴OE=2,∠OEB=60°,
5.解:(1)由题意,得AM=t cm,CN=2t cm,则BM=(18-t) cm,
∵AB∥CD,BC⊥CD,
∴当CN=BM 时,四边形BMNC 为矩形,
∴2t=18-t,∴t=6;
(2)∵AB∥CD,∴当MN=AD时,分两种情况:
①当四边形 AMND 是等腰梯形时,过点 A 作AG⊥CD于点G,过点 M 作MH⊥CD 于点H,
如图1,则GH=AM=t cm,CG=AB=18 cm,NH=DG=CD-AB=21--18=3(cm),
∴DN=DG+GH+NH=(6+t) cm,
又∵DN=CD-CN=(21-2t) cm,
∴6+t=21-2t,∴t=5;
②当四边形 AMND 是平行四边形时,AM=DN,即t=21-2t,∴t=7.
综上所述,当MN=AD 时,t的值为5 或7;
(3)∵四边形 AMND 为菱形,∴AD=DN=MN=AM,由(2)可知,当MN=AD时,t=5或t=7,
∵t=5时，四边形 AMND 是等腰梯形，不符合题意，舍去，
∴t=7,∴AM=7cm,
∴AD=7 cm,如图2,过点 A 作AG⊥CD 于点G,则AG=BC,CG=AB=18cm,
∴DG=CD-CG=3cm,在 Rt△ADG 中,由勾股定理,
得中档突破3 平行四边形的性质(三)平分线+平行线→等腰
1.如图,在 ABCD 中,已知AD=7 cm,AB=3cm,AE 平分∠BAD交BC 边于点 E,则 EC 的长为( )
A.1 cm B. 2cm C. 3cm D.4 cm
2.如图, ABCD 的两内角∠BAD,∠ADC 的平分线AE,DF 分别交BC 于点E,F.若EF=2,AB=5,则AD 的长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.如图,在□ABCD 中, 的平分线DE 与BC 交于点E.若BE=CE,则∠DAE= 度.
4.如图,在 ABCD 中, 的平分线交AD 于点E，连接CE,若BE=AD,则∠ECD 的度数为 .
5.如图,四边形 ABCD 为平行四边形, 的角平分线 BE 交AD 于点E,连接AC 交BE 于点 F.
(1)求证:BC=CD+ED;
(2)若AB⊥AC,AF=3,AC=8,求AE 的长.
1. D 解:∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠BEA,∴BE=AB=3cm
∵BC=AD=7cm,
∴EC=BC-BE=7-3=4(cm),故选 D.
2. C 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,CD=AB=5,
∴∠AEB=∠DAE.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB=5.同理CF=CD=5,
∴EC=CF--EF=5-2=3,
∴AD=BC=BE+EC=5+3=8,选故C.
3.50 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,CD=AB,
∴∠ADE=∠DEC.∵DE 平分∠ADC,
∴∠ADE=∠EDC,
∴∠DEC=∠EDC,∴CD=CE.
∵BE=EC,CD=AB,∴AB=BE,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA=50°.
4.36° 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BCD=∠A,∠A+∠ABC=180°.
∵∠A=108°,∴∠ABC=72°.
∵BE 是∠ABC 的平分线,
∵BE=AD=BC,∴∠ECB=∠BEC=72°,∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=∠A-∠ECB=108°-72°=36°.
5.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴AE=CD,
∵AD=AE+ED,∴BC=AD=CD+ED;
(2)∵AF=3,AC=8,
∴CF=AC-AF=8-3=5,过点 F 作FH⊥BC 于点 H,
∵FA⊥AB,BE平分∠ABC,
∵BF=BF,FA=FH,∴Rt△BFA≌Rt△BFH,
∴BH=BA.设BA=x,则BH=x,BC=x+4.
∴x=6,∴BA=6.∵AE=BA,∴AE=6.中档突破16 正方形中的分类讨论
1.在正方形ABCD 中,点 E 在直线BC 上,( 连接AE，则 的度数是 .
2.若正方形 ABCD 的边长为8,E 为BC 边上一点, M 为线段AE 上一点，射线 BM 交正方形的一边于点 F，且. ,则 BM 的长为 .
3.在边长为6的正方形ABCD中,E 是AD的中点,F 为CD 上一点,且 在BC上找点G，使 ,则 BG 的长是 .
中档突破16 正方形中的分类讨论
1.22.5°或112.5° 解:①如图1,当点 E 在 BC 的延长线上时，
∴∠EAD=∠E=22.5°;
②如图2，当点 E 在CB 的延长线上时，连接AC，∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=67.5°+45°=112.5°.故答案为22.5°或112.5°.
2. 或5 解:当点 F 在 AD 边上时,则 Rt△ABE≌Rt△BAF(HL),∴AF=BE,则四边形ABEF 为矩形,
∵AB=8,BE=6,
当点 F 在CD 边上时,Rt△BCF≌Rt△ABE,可得 BM⊥AE,∴BM·AE=AB·BE, .综上所述，BM 的长为5或
3.1或5 解:过点 E 作EH⊥BC 于点 H,则AB∥EH∥CD,当点G在点 H 的左侧时,∵E是AD的中点,∴BH=CH=3,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD=EH,∠D=∠EHG=90°,
∵EG=AF,∴Rt△ADF≌Rt△EHG(HL),
∴GH=DF=2,∴BG=BH-GH=3-2=1;由对称,得当点G 在点 H 的右侧时,CG=1,BG=5.故 BG 的长为1 或5.