第十八章平行四边形选填题压轴突破 （含详解）2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十八章平行四边形选填题压轴突破
压轴突破1 构中位线或作高求边长
1.如图,在△ABC 中, ,D 是边AB 的中点,E是边BC 上一点.若 DE 平分△ABC 的周长,则 DE 的长是 .
2.在△ABC 中, ,D 为 内一点，以AD为腰作等腰△DAE,使∠DAE=∠BAC,连接BE,CD.若M,N 分别是 DE,BC 的中点,MN 1,则 CD 的长为 .
3.如图,在△ABC 中,AD 平分 交BC于点E.若 是AD 的中点,AB=7,则 AC 的长为( )
A.1 B. C.
4.如图,在矩形 ABCD 中, 将 绕 D 点旋转，使得点C的对应点 落在线段BD 上，得到 在边 上取点M，使得( 若 则 的面积是 .
5.如图, .以AB,PB 为边作平行四边形ABPD，连接CD，则CD的长为( )
C
6.如图,在 中， ,A,C,E 在一条直线上，且 ,连接BD,M,N 分别为AB,CE 的中点,连接 MN.
(1)求证:
(2)若 ,求 MN 的长.
压轴突破2 平行四边形与分类讨论
1.如图,在 中,AC与BD交于点M,点 F 在边AD上， ,点 E 是 BC 的中点.若点 P 以 1 cm/s的速度从点 A 出发,沿AD 向点F 运动;点 Q 同时以 2cm /s的速度从点C出发,沿 CB 向点 B 运动，点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动.当点 P 运动 s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
2.在面积为36的 中,M,F 分别为AB,AD 的中点,EF 为BC 边上的高，若 ,则 EM 的长为 .
3.在 ABCD 中,BC 边上的高为4, 则□ABCD的面积为 .
压轴突破3 平行四边形中的路径与最值(一)三边关系求最值
1.如图,四边形ABCD 中, 于点D， 、是AB 的中点,连接DE,则 DE 的最大值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.如图,四边形ABCD 中,点E,F 分别是边AB,CD的中点,且. 则线段 EF 的长可能为( )
A.7 B.8.5 C.9 D.10
压轴突破4 平行四边形中的路径与最值(二)垂线段最短求最值
1.如图,在 中,点 M,N 分别是AC 和BC 上的动点, ，在点 M，N运动的过程中， 的最小值为 .
2.如图是一张面积为10 的 纸片，其中 DE 是三角形的中位线，M，N分别是线段DE，BC 上的动点.沿着虚线MN 将纸片裁开，并将MN 两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点 D，E旋转 在同一平面内拼图，使得 BD 与AD 重合，CE 与AE 重合，则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 .
3.如图, 中， ,P 为边CD 上一点,则 的最小值为 .
压轴突破5 平行四边形中的路径与最值(三)瓜豆原理求路径长
1.如图,在 中， ,E 为 BC上一动点，以AE 为边在AE 右侧作等边 ,连接CF,G 为线段CF 的中点.若点 E 从点 B出发沿着BC方向运动到点C，则在此过程中，点G 运动的路径长为 .
压轴突破6 矩形中的计算
1.如图,矩形ABCD 中, ,点 E 从D 向C 以每秒1个单位长度的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG，同时垂直于 CD 的直线MN 也从C向D 以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为t 秒，当点 F 落在直线MN 上时,t 的值为( )
A.1 B.4
2.如图,在△ABC 中, ,CD 为边AB 上的中线,E 是线段CA 上任意一点,DF⊥DE,交直线 BC 于点F,G 为EF 的中点,连接CG 并延长交直线AB 于点 H.若AE=6,CH=10,则AC 的长为( )
A.16 B.11 C.14 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD 为AC 边上的高,E 为BC 边的中点,点 F 在AB 边上,且∠EDF=60°,若 则 BC 的长为( )
压轴突破7 矩形中的路径与最值
1.如图,在矩形ABCD 中, ,P 为 BC 上一点,以AP 为边构造等边△APQ(A,P,Q 按逆时针方向排列),连接CQ,DQ,则( 的最小值为 .
2.如图,在矩形ABCD 中, ,E 为AD 的中点,F 为线段EC 上一动点,P 为BF 中点,连接 PD,则线段 PD 长的取值范围是 .
3.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为AB 上一点,连接DE,将△ADE 沿DE 折叠,点 A 落在A'处,连接A'C,若 F,G 分别为A'C,BC 的中点,则 FG 的最小值为( )
A.2 D.1
4.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点 P 为边 BC上一动点,PE⊥AB 于点E,PF⊥AC 于点 F,点 M 为EF 的中点,则 PM 的最小值为( )
A.5 B.2.5 C.4.8 D.2.4
5.如图,在矩形ABCD 中, ,E 是AB 边的中点,F是线段BC 上的动点，则. 的最小值是( )
B.6 D.4
6.如图,在矩形ABCD 中,AB=7,AD=5,E 为对角线BD 上的一动点,以 E 为直角顶点,AE 为直角边做等腰 Rt△AEF(A,E,F 按逆时针方向排列),当点E 从点D 运动到点 B 时，点F 的运动路径长是( )
A.12 C.18
7.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,AB=8,对角线AC,BD交于点O,E 是线段OC 上一动点,F 是射线AD 上一动点,若∠BEF=120°,则在点 E 运动的过程中，EF 长度为整数的个数有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
8.如图,在矩形ABCD 中,AB=1,BC= ，E为AD 边上的动点，连接BE,AF⊥BE 于点F,G为BC 的中点,连接 FG,以 FG 为边向右上方作等边△FGH,连接CH，则CH 长度的最小值为( )
压轴突破8 矩形多结论
1.如图,在矩形 ABCD 中, 的平分线交BC于点E,过点 D 作AE 的垂线,垂足为 H,连接BH 并延长,交CD 于点 F,连接DE 交BF 于点O.下列结论:①△ABE≌△AHD;②∠AED=∠CED;③BH=FH;④CD=FH;⑤BC--CF=HE.其中结论正确的是 (填序号).
2.如图,MB 为I )的角平分线， 交MN于点C， 于点D， 于点E,则下列结论:①BE=CD;②CE=MD;③BC=BN;④若 则 .其中结论正确的有 (填序号).
3.如图,将矩形纸片ABCD 沿 EF 翻折,使点 A 与点C 重合,E,F 分别在AB,CD上,下列结论:①△ECF 为等腰三角形;②若 则 ③若△ECF 为等边三角形，则 ④延长GF，则GF 必经过点 A.其中正确的结论有 (填序号).
压轴突破9 菱形中的计算
1.如图,矩形 AEFG 的顶点E,F 分别在菱形ABCD 的边AB 和对角线BD 上,连接EG,CF,若EG=5,则CF 的长为( )
A.4 B.5 C. D.
2.如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,AC=6,过点 D 作DE⊥BA,交BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为( )
A B C.4 D
3.如图,△ABC 为等边三角形,菱形 ADFE 的边AE 在线段AC 上,且AD∥BC.若AD=4,AC=6,连接BF 并取中点G,则AG的长为( )
C.3 D.5
4.如图,四边形 ABCD 为菱形,E 为BC 的中点,点 F 在CD 上,若∠DAB=60°,∠DFA=2∠EAB,AD=4,则CF 的长为( )
A. C. D.
5如图,在菱形ABCD 中,AB=BD,点E,F 分别在BC,CD 边上,且CE=DF,BF 与DE 交于点G.若BG=3,DG=5,则CD 的长为 .
压轴突破10 菱形中的路径与最值
1如图,在菱形ABCD 中, ，点Q，K分别为线段CD,BD 上的动点,则CK+QK 的最小值为( )
A.1 C.2
2.如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O, 点 P 在BC 上,且点 P 不与点B,C 重合,过点 P 分别作 PE⊥AC 于点E, 于点F,连接EF,则 EF 的最小值为 .
3.如图,在边长为2 的菱形ABCD 中, 将 沿射线BD 的方向平移得到△EFG,连接EC,ED,FC,则EC+FC 的最小值为 .
压轴突破11 菱形多结论
1如图，在 ABCD 中， 于点E,F,G分别是AD,BC的中点,连接CF,EF,FG,下列结论:①CE⊥FG;②四边形 ABGF 是菱形;③EF=CF;④∠EFC=2∠CFD.其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
压轴突破12 正方形的有关计算
1如图,在正方形 ABCD 的边 BC 上取一点 F,连接AF,线段 AF 的垂直平分线交对角线 BD 于点 Q，连接 FQ，若正方形 ABCD 的边长为4，. ,则 FQ 的长是
2.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点， ,连接AE,BF,P,Q 分别为AE 和BF 的中点,则 PQ 的长为 .
3.如图,在正方形ABCD 中,O为对角线BD 的中点,E 为边AB 上一点， 于点F， 则正方形的边长为()
A.3
4.如图,在 中， ，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知 则边 BC 的长为 .
5.如图,分别以 的边AB，AC 为边向外作正方形ABEF 与正方形ACGD,连接BD,CF,DF,若 则 的值为 .
6.如图,四边形 是边长为1的正方形，以对角线 为边作第二个正方形OA A B ,连接AA ,得到. ；再以对角线( 为边作第三个正方形OA A B ,连接A A ,得到. ；再以对角线 为边作第四个正方形( 连接A A ,得到 设 …的面积分别为 S ,….依此下去,则 S 的值为( )
压轴突破13 正方形多结论
1.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,∠ADB 的平分线交AB 于点E,交AC 于点G.过点 E 作EF⊥BD 于点F,∠EDM 交AC 于点 M.下列结论：( ;②四边形 AEFG 是菱形;③BE=2OG;④若∠EDM=45°,则GF=CM.其中结论正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图,P 是正方形ABCD 的对角线 BD 上的一点, CD,垂足分别为E,F,连接AP,EF.给出下列四个结论:①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③PD= EF；④△APD一定是等腰三角形.其中正确的结论个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG中,A,D,E 在同一条直线上, M为BC 的中点,延长 FG 交AB 于点 N,连接MN,CN,CF,连接 FM 分别交CN,CD 于点 P,Q,下列说法:①△FQG≌△MQC;②∠BCN=∠MFG;③S△CFQ : S四边形BMPN=3:7;④FQ=2PQ,其中结论正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
压轴突破14 正方形中的路径与最值
1.如图,M,N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点,满足 BN,连接AC 交BN 于点E,连接 DE 交AM 于点 F,连接CF,若正方形的边长为2,则线段CF 的最小值是( )
A.2 B.1
2.如图,正方形ABCD 的边长为6,P 为BC边上一动点,以 P 为直角顶点，AP 为直角边作等腰 M 为斜边AE 的中点，当点 P 从点 B 运动到点 C 时，点M 运动的路径长为 .
3.如图,正方形 ABCD 的边长为8,M 为边 BC 的中点,线段 EF 在边AD 上滑动, 且 则 的最小值是 .
第十八章 平行四边形
压轴突破1 构中位线或作高求边长
1. 解:延长BC至点M,使CM=CA,连接AM,过点 C作CN⊥AM于点 N,
∵DE 平分△ABC的周长,∴ME=EB,又AD=DB,
∴DE= AM,∵∠ACB=60°,∴∠ACM=120°,
∵CM=CA,∴∠ACN=60°,AN=MN,∴∠CAN=30°,
2.2 解:连接BD,取BD 的中点F,连接FM,FN,
∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,
即∠BAE=∠CAD,在△AEB 和△ADC 中,AE=AD,∠BAE=∠CAD,AB=AC,
∴△AEB≌△ADC(SAS),∴BE=CD,
∵M是ED 的中点,F 是BD 的中点,
∴FM 是△BED的中位线,
∴∠DFM=∠EBD,同理得
∴FM=FN,∠FNB=∠DCB,
∵∠DFN=∠DBC+∠FNB=∠DBC+∠DCB,
∴∠MFN =∠DFM+∠DFN =∠EBD +∠DBC +
∴△FMN 是等边三角形,∴MN=FN=1,∴CD=2.
3. D 解:延长 AC,BD 交于点 F,取 BC 的中点 M,连接DM.易证△ADB≌△ADF,
∴DF=DB,AF=AB=7.
∵M为BC 的中点,∴CF∥DM,CF=2DM.
易证△ACE≌△DME,∴AC=DM,∴CF=2AC,
∴AF=AC+CF=3AC=7,∴AC=
解:连接CC',过点 C 作CH⊥B'C',交 B'C'的延长线于点 H，∵将△BCD 绕D 点旋转，使得点 C 的对应点C'落在线段BD 上，
∵BD=2AB=2CD=2
是等边三角形，
∴△MCD 的面积
5. A 解:过点 D 作DE⊥BC 于点E,交AP 于点G,过点 P作 PF⊥BC 于点 F,
∵∠PBC=∠PCB=∠APB=30°,
∴DE=DG+GE=1+1=2,PG=2-
∴DE=CE,∴△CDE 为等腰直角三角形,
6.解:(1)延长AE 至点G,使 NG=AN,连接BG,
∵AM=MB,AN=NG,∴MN= BG,MN∥BG,
∵N 为CE 的中点,∴CN=NE,∴AE=GC,
∵∠AED=∠GCB=90°,DE=BC,
∴△DAE≌△BGC(SAS),
∴AD=BG,∴AD=2MN;
(2)设 BC=DE=x,在 Rt△ACB 中,∠ABC=45°,
∴AC=BC=x,∵BC=DE,BC∥DE,
∴四边形 BCED 为矩形,
∴CE=BD=2,∴AE=x+2,
在 Rt△ADE 中,∠ADE=60°,
∴∠DAE=30°,∴AD=2DE=2x,
由勾股定理，得
则 解得
压轴突破2 平行四边形与分类讨论
1.3或5 解:易证AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,
∵∠FBM=∠CBM,∴∠FBD=∠FDB,
∴FB=FD=12cm,∵AF=6cm,∴AD=18cm,
∵E 是 BC 的中点,
要使以点 P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ 即可,设当点 P 运动t s时,以 P,Q,E,F 为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，得6-t=9-2t或6-t=2t-9,解得t=3或t=5.
2.5或 解:∵EF·AD=36,∴6EF=36,∴EF=6.
(1)当点 E 在 BC 上时,如图1,延长EM,DA 交于点 N,则△EBM≌△NAM,
∴MN=EM,AN=BE=6-1=5,
∴NF=NA+AF=5+3=8,
(2)当点 E 在 BC 的延长线上时,如图 2,由△EBM≌△NAM,∴MN=EM,AN=BE=6+1=7,
∴NF=NA+AF=7+3=10,
故EM=5或
3.20或4 解:分两种情况:
①如图1所示:∵在 ABCD中,BC 边上的高AE 为4,AB=5,AC=2
∴BC=2+3=5,
∴□ABCD 的面积=BC·AE=5×4=20;
②如图2所示,同①得:EC=2,BE=3,∴BC=3-2=1,∴ ABCD 的面积=BC·AE=1×4=4,
综上所述,□ABCD的面积为20 或4.故答案为20或4.
压轴突破3 平行四边形中的路径与
最值(一)三边关系求最值
1. A 解:连接AC,取AC 的中点为M,连接DM,EM,
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.∵AD=8,CD=6,
∵M是AC 的中点,.
∵M是AC 的中点,E 是AB 的中点,
∴EM 是△ABC 的中位线,
(当且仅当点 M 在线段DE 上时,等号成立),∴DE≤6,∴DE 的最大值为6.故选 A.
2. A 解:连接BD,取 BD的中点 H,连接 HF,HE,∵点 E,H 分别是边AB,BD 的中点,
∴EH 是△ABD 的中位线,. 同理可得FH= BC=5,∴EF≤FH+EH=8,故选 A.
压轴突破4 平行四边形中的路径与最值(二)垂线段最短求最值
1.3 解：延长 BA 到点E,使 EA=AB,过点 E作EH⊥BC 于点 H,连接 EM,EC.在□ABCD中,∠D=60°,
∴∠ABC=∠D=60°,
∵△ABC中,AB=3,EA
=AB=3,∴BE=BC=6,∴△EBC是等边三角形,
∴EC=BC=6.∵EA=AB,∴CA⊥AB,
∴EM=BM,BM+MN=EM+MN≥EH.
∴BM+MN 的最小值即为 EH 的长,Rt△EBH 中,∠BHE=90°,∠ABC=60°,BE=6,
∴BM+MN 的最小值为3
解:由旋转的性质可知,BC=N'N",M'M"=2DE,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,BC=2DE,
∴四边形 M'M"N"N'是平行四边形,
∴四边形 M'M'N"N'的周长=2MN+10,如图,连接BE,过点A 作AH⊥BC 于点H,取 HC 的中点J,连接EJ,则 ∵S△ABC= ·BC·AH=10,BC=5,∴AH=4,
∵∠ABC=45°,∴AH=BH=4,
∴CH=CB-BH=5-4=1,∴JH=JC=
当 MN⊥BC时，MN 的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值为14，当 MN 与线段BE 重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的值最大，最大值为 ∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为
3.6 解:过点 P 作PH⊥AD,交AD 的延长线于点H,∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,∴∠A=∠CDH=60°,
∵HP⊥AD,∴∠DPH=30°,
∴当点 H, P,B 三点共线时,HP+PB 有最小值,
即 有最小值,此时BH⊥AH,∠A=60°,
则 最小值为6
压轴突破5 平行四边形中的路径与最值(三)瓜豆原理求路径长
压轴突破6 矩形中的计算
1. C 解:过点 F 作 FH⊥CD,交直线 CD 于点 H,则∠EHF=90°,∵四边形ABCD 为矩形,∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠EHF,在正方形 AEFG 中,∠AEF=90°,AE=EF,∴∠AED+∠HEF=90°,
∵∠HEF+∠EFH=90°,∴∠AED=∠EFH,
∴△ADE≌△EHF(AAS),∴EH=AD=2,
∵AB=CD=8,根据题意,得t-2+2t=8,
故选 C.
2. C 解:连接DG,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∵∠ACB=90°,G 是EF 的中点,
∵AC=BC,∠ACB=90°,且CD 为边AB 上的中线,
∴CD⊥AB,CD=AD,
∴∠CDG+∠HDG=90°,∠DCH+∠DHC=90°,
∵CG=DG,∴∠HCD=∠CDG,∴∠CHD=∠HDG,
∵CH=10,∴CG=5,∴EF=10,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=45°,∠ACD=45°,∠DCF=45°,
∴∠A=∠DCF,∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴CF=AE=6,在△ECF 中,根据勾股定理,得CE=8,
∴AC=AE+CE=6+8=14,故选C.
3. D 解:过点 D 作DM⊥AB,垂足为M,取AB 的中点H,连接EH,DH,
∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,
∵∠A=60°,∴∠ABD=90°-∠A=30°,
∵点 H 是AB 的中点,
∴AD=AH,∴△ADH 是等边三角形,
∴AD=DH,∠ADH=∠AHD=60°,
∵点 H 是AB 的中点,点 E 是BC 的中点,
∴EH 是△ABC 的中位线,
∴EH∥AC,∴∠DHE=∠ADH=60°.
∵∠EDF=∠ADH=60°,
∴∠ADH-∠FDH=∠EDF-∠FDH,
∴∠ADF=∠HDE,∴△ADF≌△HDE(ASA),
故选 D.
压轴突破7 矩形中的路径与最值
1.3 解:连接AC,取AC 的中点O,连接BO,OQ.在矩形ABCD 中,∠ABC=90°,AD=BC=3 ,AB=3,
∵点O是AC 的中点,∠ABC=90°,
∴AO=BO=CO=3,∴AB=AO=BO=3,
∴△ABO 是等边三角形,∴∠BAO=60°,
∵△APQ 是等边三角形,
∴AP=AQ,∠PAQ=∠BAO=60°,
∴∠BAP=∠QAC,
∵AB=AO,AP=AQ,∴△ABP≌△AOQ(SAS),
∴∠ABP=∠AOQ=90°,
∴OQ 是AC 的垂直平分线,
∴AQ=CQ,∴CQ+DQ=AQ+QD,
∴当A,Q,D 三点共线时,CQ+DQ 的最小值为AD 的长,
∴CQ+DQ 的最小值为3
解:取 BE 的中点M,BC 的中点 N,连接 MN,则 MN 必过点P,
∴点 P 在线段 MN 上运动.当点 F 与点C重合时，点 P 与点N 重合，此时 DP 的最小值为DN= ；同理 DP 最大值为
3. D 解:连接A'B,则 连接 BD,在△A'BD中， ∴FG 的最小值为1.
4. D 解:连接AP,∵四边形 AEPF 为矩形,则 AP 必过点M,AP=EF=2PM,当AP⊥BC 时,AP 最小为 ∴PM 的最小值为2.4.
5. A 解:
6. B 解:当点 E 与点D 重合时,点 F 在CD 的延长线上, 当点 E 与点 B 重合时,点 F 在 BC 的延长线上， ∴当点 E 从点 D 运动到点 B 时,点 F 从F 运动到点.
7. B 解:过点 E 作EM⊥AB 于点M,EN⊥AD 于点 N,则EM=NE,可证△EMB≌△ENF,
∴EF=EB;当点 E 在线段OC 上运动时,EB 的最小值为OB=4,EB的最大值为BC=8,
∴4≤EF≤8,故 EF 长度为整数是4,5,6,7,8,共5个.
8. A 解:取AB 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MF,NH,MG,NG,可求 MG=NG=1,∠MGN=60°,
∴∠MGF=∠NGH,又FG=HG,∴△MFG≌△NHG,
连接(CN,则
∴CH的最小值为
压轴突破8 矩形多结论
1.①②③ 解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=DC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,
∵∠BAD 的平分线交 BC 于点E,
∴∠BAE=∠DAH=45°,
∵AD= AB,∴AD=AE,AB=AH=DH=DC,
∴∠ADE=∠AED,∴∠AED=∠CED,
∴②正确;可证△ABE≌△AHD(AAS),故①正确;
∴BE=DH,∵AB=AH,∵∠AHB= (180°--45°)=67.5°,∴∠OHE=∠AHB=67.5°,
∴可证△BEH≌△HDF(ASA),∴BH=HF,故③正确;
∵∠AHB=67.5°,∠BAE=45°,∴∠BAE≠∠AHB,
∴AB≠BH,∴CD≠HF,故④错误;过点 H 作 HK⊥BC于点K，可知 由上知 HE=EC, 又 ，故 BC=HK+HE,∴BC=2HK+2HE=FC+2HE,故⑤不正确；故答案为①②③.
2.①②④ 解:∵∠AMB=∠EMB,BA⊥AM,BE⊥MN,∴BE=AB=CD,①正确;
可证△MDC≌△CEB,∴CE=MD,②正确;
设AB=BE=a,则.
故△BCN 为等腰直角三角形,∴CE=NE,④正确;
③不一定正确，故选①②④.
3.①②④ 解:由折叠知,AE=EC,∠AEF=∠CEF =∠CFE,∴CF=CE,①正确;
设AB=2a,则BC=a,设AE=CE=x,
即AE= a,BE= a,∴AE:BE=5:3,②正确;
当△ECF 为等边三角形时,∠CEB=60°,设BE=t,
则CE=AE=2t,BC= t,
∴AB=3t,故 ,③错误;
连接AF，可证四边形AECF 为平行四边形，
∴AF∥CE,又FG∥CF,
∴GF 必过点A,④正确.故答案为①②④.
压轴突破9 菱形中的计算
1. B 解:连接AF,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABF=∠CBF,AB=BC,
又∵BF=BF,∴△ABF≌△CBF(SAS),∴AF=CF,
∵四边形AEFG 为矩形,∴EG=AF,∴EG=CF,
∵EG=5,∴CF=5,故选B.
2. D 解:设AC交BD 于点O,则OA⊥OB,
3. B 解:连接AF,DE 交于点O,
∵△ABC 为等边三角形,∵
∵AD∥BC,∴∠BCA=∠DAE=60°,
∵四边形AEFD 是菱形,
∴AO=OF,EO=DO,AF⊥DE,∠DAF=30°=∠EAF,
∴AF=2AO=4
∵∠FAB=90°,G 是BF 的中点,
故选 B.
4. D 解:延长AE 交DC 的延长线于点G,
可证△ABE≌△GCE,
∴CG=AB=4,∠G=∠EAB,
又∠DFA=2∠EAB=∠G+∠FAG,∴∠G=∠FAG,
∴FG=FA,设CF=x,则DF=4-x,AF=x+4,过点 A 作AH⊥CD 交其延长线于点 H,
∴DH=2,AH=2
在 Rt△AHF 中, 即
5.7 解:∵CE=DF,∠ECD=∠FDB=60°,CD=DB,
∴△CED≌△DFB,∴∠BFD=∠DEC,
∴∠DGF=60°,过点 D 作DH⊥BF 于点 H,
压轴突破10 菱形中的路径与最值
1. D 解:作 CQ'⊥AD 于点Q',交 BD 于点 K',当 K 与K'重合时,CK+QK 最小,其值为
2.4.8 解:连接OP,∵四边形 ABCD 是菱形,AC=12,BD=16,
∵PE⊥AC,PF⊥BD,AC⊥BD,
∴四边形OEPF 是矩形,∴FE=OP,
∵当OP⊥BC 时,OP 有最小值,此时
∴EF 的最小值为4.8.
解:∵EF∥DC,∴四边形F CDE为 平行四边形,FC=ED,FC+EC=EC+DE,D,C为定点,E 为动点,作点 D 关于AE 的对称点.
压轴突破11 菱形多结论
D 解:∵AF∥BG,AF=BG,
∴四边形AFGB 为平行四边形,∴FG∥AB,
∵CE⊥AB,∴CE⊥FG,①正确;∵AD=2AB,∴AF=AB,
∴四边形 AFGB 为菱形,②正确;∵FG⊥CE,FG平分CE,
∴EF=CF,③正确;∵∠EFC=2∠CFG,
∵四边形CDFG 为菱形,∴∠CFG=∠CFD,
∴∠EFC=2∠CFD,④正确,故选 D.
压轴突破12 正方形的有关计算
解:连接AQ,CQ,过点 Q 作QE⊥CF 于点E,
∵BD 为正方形ABCD 的对角线,
∴∠ADQ=∠CDQ=45°,AD=CD,
∵DQ=DQ,∴△ADQ≌△CDQ(SAS),∴AQ=CQ,
∵点Q 在AF 的垂直平分线上,∴AQ=FQ,∴FQ=CQ,
∵QE⊥CF,正方形ABCD 的边长为4,BF=1,
2. 解:连接 BP 并延长交AD 于点G,连接GF,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
∵P 为AE 的中点,∴AP=PE,
∴△APG≌△EPB(ASA),∴BP=PG,AG=BE,
∵Q为BF 的中点,
∵E 是BC 的中点,
3. B 解:连接AC 交ED于点M,则AC过点O,过点O作ON⊥OF 交FD 于点N,
∵四边形ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,OD=OA,
∵AC⊥BD,OF⊥ON,∴∠FON=∠AOD=90°,
∴∠AOF=∠DON=90°-∠AON,
∵AF⊥DE,∴∠AFM=90°,∴∠FAO+∠AMF=90°,
∵∠AOD=90°,∴∠NDO+∠DMO=90°,
∵∠AMF=∠DMO,∴∠FAO=∠NDO,
∴△AFO≌△DNO,∴DN=AF=1,ON=OF= ，在Rt△FON 中,由勾股定理得 ∴DF=FN+DN=2+1=3,在 Rt△AFD 中,由勾股定理得 即正方形 ABCD 的边长是 选 B.
4. 解:过点O作OF⊥BC 于点 F,过点 A 作AM⊥OF于点M,∵∠ACB=90°,∴∠AMO=∠OFB=∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°,∴四边形ACFM 是矩形,
∴AM=CF,AC=MF= 易证△AOM≌△OBF,
∴AM=OF,OM=FB,∴OF=CF,
∵∠CFO=90°,∴△CFO 是等腰直角三角形,
由勾股定理得CF=OF=2,
5.10 解:连接 BF,CD,设 BD 与CF 相交于O 点,CF与AD 交于点P,
∵四边形ABEF 和四边形ACGD 为正方形,
∴AB=AF,AC=AD,∠BAF=∠CAD=90°,
∵∠BAF =∠CAD,∴∠BAF +∠DAF =∠CAD +∠DAF,即∠BAD=∠FAC,
∴△ABD≌△AFC(SAS),∴∠ADB=∠ACF,
∵∠PDO +∠POD +∠DPO =∠PCA +∠PAC +∠APC,而∠DPO=∠APC,
∴∠POD=∠PAC=90°,在 Rt△CDO 中,( CD ,同理
故答案为10.
6. C 解:∵四边形OAA B 是边长为1的正方形,
同理可求：
(n为正整数)， 故选 C.
压轴突破13 正方形多结论
1. A 解:∵DE 平分∠ADB,EF⊥BD,AE⊥AD,
∴AE=EF,∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠ABD=45°,∴EF=BF,设AE=x,则
故①正确;易知△ADE≌△FDE,△AEG≌△FEG(SAS),
∴AG=FG,∠AEG=∠FEG,
∵AG∥EF,∴∠FEG=∠AGE,∴∠AGE=∠AEG,
∴AE=AG,∴四边形AEFG 是菱形,故②正确;
由①②知,
故③正确；
∵四边形AEFG 是菱形,∴∠EFG=∠BAC=45°,
∴∠DFG=45°=∠DCM,∵∠EDM=45°=∠ODC,
∴∠GDF=∠MDC,∴△GDF≌△MDC(ASA),
∴GF=CM,故④正确.故选 A.
2. B 解:连接 PC,则AP=PC=FE,∠PFE=∠PCE=∠BAP,故①②正确;. ,而 EF>PF,故③错;④无法说明.故选 B.
3. B 解:①∵四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形,
∴AD=BC,DE=GF,
∵AD=2DE,M为BC的中点,∴GF=CM,
∵∠FGQ=∠MCQ=90°,∠FQG=∠MQC,
∴△FQG≌△MQC,故①正确;
②连接BG,∵GF∥BM,∵BM=CM=FG,
∴四边形 BMFG 是平行四边形,∴∠CBG=∠MFG,
∵∠NBC=∠BCG=∠CGN=90°,
∴四边形 BCGN 为矩形,∴BN=CG,
∵BC=CB,∴△BCN≌△CBG(ASA),
∴∠CBG=∠BCN,∴∠BCN=∠MFG,故②正确;
③∵GF∥CM,∴∠MFG=∠CMF,
∴∠BCN=∠CMF,∴PC=PM,
∵∠PMC+∠PQC=90°,∠PCM+∠PCQ=90°,
∴∠PQC=∠PCQ,∴PC=PQ=PM,
设BM=CM=FG=CG=x,
则
∵△FQG≌△MQC,∴MQ=FQ,
③不正确；
④∵PM=PQ,∴MQ=2PQ,∵FQ=MQ,∴FQ=2PQ,故④正确.故选 B.
压轴突破14 正方形中的路径与最值
1. C 解:易知△DAM≌△CBN,△CDE≌△CBE,∴∠DAM=∠CBN=∠CDE,
可得∠AFD=90°,取AD 的中点O,连接OF,OC,则
在 Rt△ODC 中, 根据两点之间，线段最短，得OF+CF≥OC,∴当O,F,C 三点共线时,CF 的长度最小, 故选 C.
2.3 解:连接AC,BD 交于点O,连接 EC,过点 E 作 ET⊥BC 交BC 的延长线于点 T.
∵△APE 为等腰直角三角形，
∴∠APE=90°,AP=PE,
∵∠ABP=∠PTE=90°,
∴∠APB+∠EPT=90°,∠EPT+∠PET=90°,
∴∠APB=∠PET,∴△ABP≌PTE,
∴AB=PT,PB=TE,
∵AB=BC,∴BC=PT,∴BP=CT=ET,
∴∠ECT=∠ACB=45°,
∴∠ACE=∠AOD=90°,∴OD∥CE,
∵AO=OC,∴OD 与AE 的交点即为AE 的中点M,
∴点 M 移动的距离就是OD 的长，
∵四边形ABCD 是正方形,∴OA=OD,
∵正方形ABCD的边长为6,
解：作点F 关 于BC的对称点 F',连接 MF',过点 G 作 GK⊥F'F,交 F'F 的延长线于点K,由对称性可知, MF = MF', ∴ MG + 当G,M,F'三点共线时,MG+MF 的值最小.∵AB=8,∴FF'=16.
,且∠EGF=90°,
∴EF=2,∴GK=KF=1,
在 Rt△GKF'中,F'K=17,GK=1,
∴MG+MF 的最小值为