湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（二）（含解析）

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湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（二）
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3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
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5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．生活中有许多对称美的图形，下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．根据长沙市旅游局的数据统计，2024年五一假期首日客流量达到了149.4万人次，数据1494000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列算式中，运算结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：21，21，22，23，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．23，23 B．23， C．23，22 D．21，
6．将点向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若点在第二象限，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为的直径，弦于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解： ．
12．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌点考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得95分，精神面貌获得89分．则该参赛队的最终成绩是 分．
13．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ．
14．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ．
15．圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．已知，求代数式的值．
19．如图，在中，．
(1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若（1）中，，求的度数．
20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，
(1)求点与的水平距离的长；
(2)求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，）
21．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
22．某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94
八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94．
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 95 %
八年级 91 93 65%
(1)填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
23．如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、．
(1)若，求证：是的切线．
(2)连接，若，，求的半径长．
24．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
25．如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
《湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B C B A B C
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了有理数的加减法，以及化简多重符号，求一个数的绝对值，正确的计算是解题的关键．根据有理数的加减法，以及化简多重符号，求一个数的绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，不是正数，不合题意；
B. ，不是正数，不合题意；
C. ，不是正数，不合题意；
D. ，是正数，符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数与中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：∵21，21，22，23，23，23，
∴这组数据的众数是，这组数据的中位数是
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：将点先左平移3个单位长度，得到的坐标为，即，再向下平移5个单位长度，得到的坐标为，即，
故最终得到的坐标为．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正，则，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
∴四个选项中，只有B选项的函数图象符合题意，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据，可得，再根据三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据弦于点．得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：设的长为，
∵，
则，
∵弦于点．
∴，
在中，，
即，
解得，
故选：B．
10．C
【分析】作轴，轴，易证，进而得到，等角的余角相等，得到，进而得到，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上求出的值，进而求出点坐标，点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：作轴，轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则：，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵点，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
当时，，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为直线，
则：，解得：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握相关知识点，求出点的坐标是解题的关键．
11．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案为：．
12．91.7
【分析】本题考查了加权平均数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意知，该参赛队的最终成绩是（分）．
故答案为：91.7．
13．8
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，根据，，得出，再结合，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
∵是的内接正边形的一边，
∴，
故答案为：8．
14．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
直接利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】解：将点代入，得，
解得：，
故答案为：．
15．4
【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．
【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6L＝15，
解得：L＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．
16．
【分析】过点作于点，轴于点，证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，轴于点，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再根据分式的性质和运算法则对代数式进行化简，最后把代入化简后的结果中即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图——角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握种基本作图是解题关键．
（1）利用基本作图画出的平分线即可；
（2）先根据三角形的内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
20．(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据余弦的定义求解即可；
（2）过A作于K，根据正弦的定义求出，再证明是矩形，可得，再证明是等腰三角形，可得，进而可求．
【详解】（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
21．(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元
(2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．(1)92.5，94，60，补全统计图见解析
(2)八年级的学生成绩更好，理由见解析
(3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有1630人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；
（3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数，
八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数，
，即，
七年级组的人数为（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：92.5，94，60；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）解：
（人，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，解直角三角形的应用，掌握圆周角的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据圆周角定理，得到，则，即可证明结论；
（2）由直径可得，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得出，然后利用勾股定理求出，即可得到的半径长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
24．(1)3
(2)，证明见解析；
(3)或．
【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键．
（1）根据阿基米德折弦定理求解即可；
（2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可．
【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
25．(1)
(2)或或
(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
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