湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（三）（含解析）

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湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（三）
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1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ）
A． B．2 C．5 D．
8．如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
10．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则 （填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定．
12．小华有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，则上衣和裤子不同色的概率是 ．
13．若分式有意义，则的取值范围为 ．
14．如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为 ．
15．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ．
16．某校举办足球比赛，共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．若两队分别积6分和5分，则队最多能积 分．
三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
20．为了响应市政府号召，某校开展了“创文明城市与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
(1)本次随机调查的学生人数是 人；
(2)在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于 度；
(3)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
21．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，．
(1)证明：；
(2)若，求的度数．
22．随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
(1)求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
23．如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，．
(1)若，求的长；
(2)若，求平行四边形的面积．
24．现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为．
(1)当，，，时，求抛物线和的解析式；
(2)当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围；
(3)当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式．
25．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形．
(1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”）
①四边形一定是平行四边形；（ ）
②四边形可能是正方形；（ ）
③四边形的四条边的数量关系为．（ ）
(2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：；
(3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值．
《湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷（三）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B C C A B B
1．A
【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解．
【详解】解：根据题意可知点P表示的数为，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：主视图为：
故选B．
4．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】此题主要考查了弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是：
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵重力的方向竖直向下，
∴，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可．
【详解】解：设方程的一根为，则另一根为，
，
解得：，
又，
，
解得：，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，连接，可得，即得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的半径与弦互相垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．B
【分析】根据图中的函数关系，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据图像，可得甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，故①正确；
当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误；
当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故③正确；
当温度为时，甲、乙的溶解度相同，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据图象得到信息，学会看图是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了矩形的性质全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，连接交于，可证，得，由勾股定理求得的长，求得的长，再根据，可得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接交于，如图，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
即，
解得，
∴，
故选：．
11．乙
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵两班学生测试成绩的平均分都是90分，，，
∴乙的方差小于甲的方差，
∴乙班的成绩更稳定．
故答案为：乙班．
12．
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先依据题意画树状图，分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，上衣和裤子不同色的有种情况，
∴上衣和裤子不同色的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义，得出，即可作答．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，设的半径为r，先由圆周角定理得，再利用扇形面积公式求解．
【详解】解：设的半径为r，
∵，
∴，
∵扇形的面积为，
∴，
解得（负值已舍去），
即的半径为3，
故答案为：3．
15．80
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据题意可得为的中位线，则．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∴点距离地面的高度为，
故答案为：80．
16．4
【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意得出甲胜场输场，B胜场，平场，分析即可得出答案．
【详解】解：解：∵共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，
∴这四支球队每支球队比赛场，
∵胜一场积分，平一场积分，负一场积分，且A、B两队分别积分和分，
∴A胜场输场，B胜场，平场，
∴比赛中，B胜，比赛中A胜，比赛中A胜，比赛中双方打平，比赛中双方打平，
∴当比赛时，C胜D时，C队获得的积分最多，最多能积分，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、负整数指数幂、化简二次根式、去绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法，除法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可.
【详解】解：
，
当时，原式．
19．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（）用组人数除以它的百分比即可求解；
（）用乘以组人数的占比即可求解；
（）画出树状图，根据树状图解答即可求解；
本题考查了扇形统计图和条形统计图，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：本次随机调查的学生人数是；
故答案为：；
（2）解：在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
答案为：；
（3）解：画树状图如图所示：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有种，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
（1）根据可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）由得到，推出是等腰直角三角形，得到，则，最后根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元
(2)该商场最少购进甲种纪念品件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
23．(1)8
(2)12
【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，从而求出，，即，，从而求出，，，根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵,
∴，，
∴，
∴．
24．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）首先配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，进而求解即可；
（2）根据题意分情况讨论，然后分别画出图象求解即可；
（3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可．
【详解】（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，
如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴，，，
如图所示，
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
【点睛】此题考查了二次函数的轴对称和中心对称变换，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点．
25．(1)①×；②√；③√
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出，即可证明．再根据平行四边形、正方形的性质判断①②③即可．
（2）连接，如图，根据圆周角定理得出，再根据四边形为圆正直四边形，得出，判断出，证明，即可得，即可证明．
（3）证明，得出，再证明，得出，根据三角形内角和定理得出，即，，勾股定理证出，根据四点共圆得出，证明，得出，结合，设，则，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，根据列出方程即可得出关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果．
【详解】（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则，
，
．
故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形；
①四边形一定是平行四边形；（×）
②四边形可能是正方形；（√）
③四边形的四条边的数量关系为．（√）
（2）证明：连接，如图，
∵是的直径，
，
∵四边形为圆正直四边形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
，
又 ∵，
∴，即，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
，
又 ∵，
设，则，
，
∴在中，，
，
则利用勾股定理可得，
在中，，
，
则利用勾股定理可得，
∵，
∴，
即有，
∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为，
即的最小值为：．
【点睛】此题考查的是圆的综合，主要考查了新定义圆正直四边形的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，二次函数的最值，四点共圆的性质等知识点，多次证明相似三角形是解答本题的关键．
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