江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（二）（含解析）

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江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（二）
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的值等于
A．4 B．- 4 C．±4 D．8
2．百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①③
5．计算结果为的式子是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．5的算术平方根是 ．
8．计算的结果是 ．
9．化简的结果是 ．
10．方程的解是 ．
11．周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图．
某题得分情况条形统计图
这道题该班学生得分的众数和中位数分别是 分， 分．
12．不等式的最小整数解是
13．在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当时， ．
14．如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则
15．已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2：
表1 表2
x 1 2 3 x 1 2 3
m n
则 ．（填“”“”或“”）
16．如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并写出整数解．
18．化简：．
19．某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
20．不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
21．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中A的圆心角度数为　　　；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数为　　　；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
22．如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：．
23．如图，港口B位于港口A的北偏西方向，港口C位于港口A的北偏东方向，港口C位于港口B的北偏东方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为，求港口C到航线的距离．（参考数据：．）
24．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，在的延长线上取一点F，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
25．如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法．
26．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
27．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，是的外接圆，点D在上（），连接．
【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　；
【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示）
《江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D D B A
1．A
【详解】试题分析：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫算术平方根.
=4，故选A.
考点：算术平方根
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成.
2．C
【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，把用科学记数法表示时，需要把小数点向左移动位，所以的指数是．
【详解】解：．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，如果函数图象经过点，那么这个点的坐标一定使函数的解析式成立．把点的坐标代入函数表达式中，如果表达式成立，则函数的图象经过这个点，否则不经过这个点．
【详解】解：A选项：当时，，的图象经过点，故A选项不符合题意；
B选项：当时，，的图象经过点，故B选项不符合题意；
C选项：当时，，的图象经过点，故C选项不符合题意；
D选项：当时，，的图象不经过点，故D选项不符合题意．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了旋转变换，平移变换和轴对称变换，根据旋转变换、平移变换和轴对称变换逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：一条“鱼”可以通过绕图案中心旋转与另一条“鱼”重合，故①正确；
通过平移变换无法使一条“鱼”与另一条“鱼”重合，故②错误；
将一条“鱼”沿一条通过图案中心的直线进行轴对称变换，然后沿另一条垂直于第一条直线的通过图案中心的直线进行轴对称变换，可以与另一条“鱼”重合，故③正确；
∴正确的结论为①③，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、，该选项不合题意；
、，该选项符合题意；
、，该选项不合题意；
、，该选项不合题意；
故选：．
6．A
【分析】如图：连接，由圆周角定理可得，则从A到C其旋转角为；取的中点F，连接，由垂径定理可得，，再解直角三角形可得，取的中点G，连接，进而确定点E的轨迹，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∴点从沿运动到的过程中，从A到C其旋转角为，
取的中点F，连接，
∵是弦的中点，
∴，，
在中，，
∴，
取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴点E的轨迹为以G为圆心，为半径画圆弧，由于点D旋转，则点E也旋转，
∴点经过的路径长为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、垂径定理、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
7．
【分析】本题主要考查了算术平方根．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键，如果一个正数x的平方根是a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定0算术平方根为0．注意非负数的算术平方根只有一个，算术平方根与平方根的区别．
根据算术平方根的定义解答，注意算术平方根只有一个．
【详解】∵，
∴5的算术平方根是 ；
8．/0.5
【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的运算，根据同度数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查的是二次根式的加减法．先把各二次根式化为最简二次根式，再合并二次根式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点．
先将分式方程化成整式方程求解，然后检验即可解答．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得：
，
，
,
，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
11． 4 3.5
【分析】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法．
根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可．
【详解】解：得分为4分的人数有20人，次数最多，
∴众数为4；
∵将数据排序后，第20个和第21个数据分别为3，4，
∴中位数为：；
故答案为：4，3.5．
12．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再写出其最小整数解即可．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
，
所以不等式的最小整数解是．
故答案为：．
13．50
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合图象，先求出反比例函数的解析式，再把，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：设，由图象可知，点在函数图象上，
∴，
∴，
∴当，；
故答案为：50．
14．105
【分析】本题主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、三角形内角和、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：设，，则，由如图：设，，则可得、、、；然后根据三角形内角和定理列方程组求解即可．
【详解】解：如图：设，，则，
∴，，，
∵内接于半圆O，
∴，
∴，即①，
，即②，
①②联立：解得：，
∴．
故答案为：105．
15．
【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征．
利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数过点，
，
解得：，
过点，
，
解得：，
，
故答案为：．
16．
【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可．
【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离，
点A，B之间的最大距离，
故答案为：．
17．；，，
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式得，；
解不等式得，，
所以不等式组的解集为：．
不等式组的整数解为，，．
18．
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键．先计算括号内的分分式的减法，再将除法转化为乘法，结合平方差公式化简分式即可．
【详解】解：
．
19．型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
20．(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）解：摸到红球的概率为：；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
21．(1)图见解析；
(2)85分
(3)120人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
（1）用频数分布直方图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得抽取的人数，进而可得C等级的人数，补全频数分布直方图即可；用360度乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用360乘以样本中A等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，抽取的人数为（人），
∴C等级的人数为（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中A的圆心角度数为．
（2）解：∵，
∴将抽取的30名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第15和16名的成绩为84分，86分，
∴所抽取的学生成绩的中位数为（分）．
（3）解：（人）．
∴估计成绩为A等级的人数约120人．
22．见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵相交于点，
∴．
23．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作航线于点，过点作，过点作于点，设，分别解，进行求解即可．
【详解】解：过点作航线于点，过点作，过点作于点，则四边形为矩形，
∴，
由题意，得：，设，则：
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
即：港口到航线的距离为．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是直径，是弦，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．见解析
【分析】本题考查中线的定义和利用尺规作图，作一条线段的垂直平分线和作一条线段等于已知线段．根据中线的定义：连接一个顶点和它对边的中点的连线段叫做三角形的中线．即找到对边中点即可．第一种方法：作的垂直平分线即可，原理是垂直平分线垂直且平分其所在直线段；第二种方法：分别以B、C点为圆心，、为半径画弧，连接A点和两弧的交点，即可，原理：平行四边形的对角线互相平分．
【详解】解：如图1，如图2， 为所求．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
27．（1）；（2），理由见解析；（3）当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时，
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质解答即可；
（2）延长至点E使，连接，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在同侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得；②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用①的方法解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）若，点C、D在同侧，与的数量关系为：，理由：
延长至点E使，连接，如图，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）①当点C、D在同侧时，
延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图，
∵，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图，
∵，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
综上，若满足的数量关系为：当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时，．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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