江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（一）（含解析）

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江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（一）
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．-2025的倒数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
6．用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．计算： ； ．
8．若式子有意义，则的取值范围是 ．
9．计算的结果是 ．
10．正八边形每个外角的度数为 ．
11．如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为 ．
12．在中，，．若为钝角，则的取值范围是 ．
13．学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过 ．
参赛班级 服装 动作技巧 感染力
九（1）班 70 80 88
九（2）班 80 75
14．一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ．
15．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ．
16．在扇形中，，内接于扇形，，位置如图所示．若，，则扇形的面积为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程．
18．计算．
19．圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据：
游泳次数x 1 2 3 4 5 …
总花费y/元 230 260 290 320 350 …
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？
20．今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图．
冰川条数折线统计图 冰川面积折线统计图
(1)根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数）
(2)从图（2）中可以看出，我国冰川进入 （填“扩张”或“退缩”）阶段．
(3)冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议．
21．证明定理“矩形的对角线相等”．
如图，矩形的对角线，相交于点O．
求证：．
22．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
(1)若投入一个小球，求它通过管道的概率．
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
最先填满的是甲盒；
个盒子中的小球的数量一样多；
甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
23．如图，已知和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
24．如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发．
(1)当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ；
(2)当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，）
25．已知二次函数的图像经过点．
(1)求m的值；
(2)当时，求y的取值范围；
(3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离．
26．已知在菱形中，，过点A，B，D作．
(1)如图（1），当时，求证：，都与相切；
(2)如图（2），当时，与交于点E，连接．
①随着度数的增大，下列说法正确的是（ ）
A．的半径与的长都增大
B．的半径增大，的长先增大后减小
C．的半径先增大后减小，的长增大
D．的半径与的长都先增大后减小
②当时，求的半径．
27．身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为．
(1)如图（1），步道为直线型（记为直线）．
①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ；
②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变．
(2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长．
《江苏省南京市2025年中考数学考前练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B A A C
1．C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
2．C
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【详解】解：．
故选：C．
3．B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
4．A
【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，

∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．
【详解】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故选：C．
7．
【分析】本题考查了绝对值的性质，负整数指数幂，根据绝对值的性质和负整数指数幂直接计算即可，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，，
故答案为：，．
8．
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解．
【详解】解：若式子有意义，则，
解得，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10．/45度
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是求解即可．
【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是，
所以正八边形的每个外角的度数是：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，即得，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运营相关知识成为解题的关键．
如图，过A作， 则，由三角形的内角和定理可得，则，即，然后求得的取值范围即可．
【详解】解：如图：过A作， 则
∵为钝角，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
13．90
【分析】本题主要考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程成为解题的关键．
先根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
所以他们的感染力得分应超过90分．
故答案为：90．
14．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∵,
∴当时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解．
【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，
上半部分的体积为：，
下半部分的体积为：，
故杯中水的体积为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，扇形的面积等，延长，相交于点，可得是的直径，利用勾股定理及线段垂直平分线的性质可得，即得，进而得，即可得，最后根据扇形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长，相交于点，
∵，
∴是的直径，
∵，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：原方程可变形为．
∵是1的平方根，
∴．
解得，．
18．
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号，再计算乘法法则，即可求解．
【详解】解：原式
．
19．(1)
(2)20
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将代入与之间的函数表达式，求出对应的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，设y与x之间的函数表达式为．
由，，得．
由，，得．
解方程组，得．
所以．
（2）解：当时，．
解这个方程，得．
所以当总花费为800元时，圆圆游泳的次数是20．
20．(1)平方千米
(2)退缩
(3)见解析
【分析】本题考查了折线统计图，数形结合是解题的关键；
（1）根据图（1）（2）用冰川面积除以冰川条数，即可求解；
（2）根据冰川面积折线统计图，面积正在减少，即可求解；
（3）答案不唯一，比如：推广清洁能源，减少碳排放，或者通过植树造林，提升生态固碳能力，缓解温室效应等．言之有理，即可．
【详解】（1）解： （平方千米/条）．
（2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入退缩阶段．
故答案为：退缩．
（3）本题答案不唯一，比如：推广清洁能源，减少碳排放，或者通过植树造林，提升生态固碳能力，缓解温室效应等．
21．见解析
【分析】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得出，，利用边角边判定即可证明结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，．
又，
．
．
22．(1)；
(2)
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
（）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】（1）解：如图，
将第一层的两个管道分别记为，，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有种，即，，，，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道（记为事件）的结果有种，分别是，，
∴；
（2）解：如图，
画树状图，
∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为，
最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误；
个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误；
甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确；
乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确；
∴正确，
故答案为：．
23．见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
方法：作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列一元一成方程、解直角三角形、一元一成方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形、运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键．
（1）先分别表示出渔船、快艇的路程，然后根据各自出发地的距离相等列出方程即可；
（2）先根据题意作出辅助线、构造直角三角形可得，，．在中解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得，然后根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为，
所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程．
（2）解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线．
由题意得，，．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
，，
，解得．
25．(1)
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点代入求解即可；
（2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答；
（3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可．
【详解】（1）解：由题意：将点代入可得：
，解得：．
（2）解：由（1）可得二次函数为，
∴当时，y取最小值为．
又∵当时，；当时，，
∴当时，y的取值范围为．
（3）解：由题意，∵二次函数为，
∴可设向右平移后得到的新函数为．
∴新抛物线的对称轴是直线，
①当时，即，
又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）；
若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去），
∴．
②当时，即，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，则或，均不合题意，舍去．
综上，．
答：平移的距离为3．
26．(1)见解析
(2)①A；②
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图（1），连接，，．由菱形的性质可得、易得是等边三角形．再根据等边三角形的性质以及角的和差可得，即可与相切．同理可证与相切；
（2）①设的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，易得垂直平分，即、、；经分析可知随着度数的增大，也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定的半径与的长的变化情况即可解答；②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图（1），连接，，．
四边形是菱形，
，．
是等边三角形．
．
，
．
，
．
，即．
点D在上，
与相切．
同理可得：与相切．
（2）解： 设的半径为r．
四边形是菱形，
，．
．
．
．
．
又，
垂直平分．
，，，
∵当时，
∴随着度数的增大，也随之变大，
∴，，
∵随的增大而增大，
∴随着度数的增大而增大，，
在中，，
．
，解得：．
∵随的增大而减小，
∴随着度数的增大而增大，
综上，的半径与的长都增大．
故选∶A．
②解：如图（2），连接，，，连接并延长，交于点N．
设的半径为r．
四边形是菱形，
，．
．
．
．
．
又，
垂直平分．
，．
在中，，
．
，解得：．
在中，，
．
，解得．
27．(1)①；②见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；
（1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解；
②作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变；
（2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可．
【详解】（1）解：①如图，由题意得，
当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即，
∴中，，，
∴中，，
∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为，
故答案为：；
②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是定值，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
方法二：
如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H，
由题意得，，，
∴，
∴，
同理，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
（2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵是定值，
∴是定值，即位置固定不变，
∵半径为，即，
∴，
∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，
∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c．
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