期末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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期末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中，能与组成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（ ）
A．3 B．6 C．4 D．12
5．如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．2
6．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A．3张 B．2张 C．1张 D．0张
8．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数和方差如下表所示．要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，根据表中数据，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．化简： ＝ ．
10．若y关于x的函数是正比例函数，则 ．
11．已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ．
12．如图，在正方形中，，，，则 ．
13．如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ．
14．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．
（1）当点G恰为中点时，则 ．
（2）当平分时，若，则 ．
15．如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边点N，若直线将分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ．
16．如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数．
19．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
20．为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下：
使用次数 0 5 10 16 20
人数 1 1 3 4 1
(1)这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次；
(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”）
(3)该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
22．阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
请完成下列问题：
(1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简）
(2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________；
(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ；
(4)试利用上面所提供的思路，解方程：．
23．和都是等腰直角三角形，，，，将绕点A在平面内旋转一定的角度．
(1)如图1，当点D在线段上时，连接．
①求证：；
②如图2，若与于点G，过点C作的垂线交的延长线于点F，则与的数量关系为 ；
(2)如图3，当点D位于上方，连接，且D，E，C恰好在一条直线上时，若，求的面积．
24．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
(3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式．
《期末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B A A C B A
1．D
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 被方数含有能开的尽方的数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. 被方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C. 被方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴是一组勾股数，该选项符合题意；
故选：．
3．B
【分析】将各选项所给点的横坐标代入中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，则该点在函数的图象上，若不相等，则该点不在函数的图象上．
本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A、∵当时，，
∴此点不在正比例函数图象上，故A本选项错误；
B、∵当时，，
∴此点在正比例函数图象上，故本选项正确；
C、∵当时，，
∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误；
D、∵当时，，
∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误．
故选B．
4．A
【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
∴ ．
故选：A．
5．A
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
于点，于点，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：A．
6．C
【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断．
本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，，
所以①正确；
∵直线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
所以②错误；
∵当时，，
∴关于x的方程的解为，
所以③正确；
∵当，直线在直线的下方，
∴时，．
所以④错误．
故答案为：C．
7．B
【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可．
【详解】解：，是有理数；
，不是有理数；，是有理数；
综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有张，
故选：B．
8．A
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
从甲、丁中选择一人参加竞赛，
甲的方差较小，
甲发挥稳定，
选择甲参加比赛．
故选：A．
9．2024
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：．
故答案为：2024．
10．0
【分析】根据正比例函数的定义即可得解．一般地，对于两个变量x、y，若x、y之间的关系式可以表示成（其中k、b为常数，且）的形式，那么称y是 x的一次函数，特别的，当时，称y是 x的正比例函数.题中告诉我们是正比例函数，所以，即．
熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵y关于x的函数是正比例函数，
∴,
故答案为：0．
11．25
【分析】利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可．此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：25．
12．
【分析】设正方形的边长为x,由可得，由此可求出正方形的边长x，进而可求出，再根据即可求出的长．
本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，根据，利用面积法求出正方形的边长是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为x,
则，
，
，
，
解得，
，
，
又，
解得．
故答案为：．
13．20
【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键．
【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大，
当x在4-9之间时的面积不变，得出，，
∴矩形的面积为：．
故答案为：20．
14． 3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答；
(2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可．
【详解】解：（1）如图：延长与交于点H，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点G为中点，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
，
，
在中，，
∴，
设，,
在中，,
∴,解得：，
∴，
,
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先根据点A和点B的坐标求出的面积，再利用待定系数法直线l解析式，进而得到点M的坐标，再由直线将分成面积相等的两部分得到的面积，据此利用三角形面积计算公式列式求解即可．
【详解】解：∵直线l与x轴交于点，与轴交点，
∴，
∴；
设直线l的解析式为，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
∵点是直线l上一点，
∴，解得，
∴，
∵直线将分成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴时，取得最小值，此时取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积，堆出是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先计算二次根式的除法，化简二次根式，再计算减法即可．
【详解】解： ．
18．
【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵， ，
∴ 为等边三角形，
∴，，
又∵， ，，
∴， ， ，
∴
∴为直角三角形，
∴ ，
∴．
19．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
（2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是中点，
，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
20．(1)13，16
(2)中位数
(3)估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数为29750次．
【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键．
（1）根据众数、中位数分别求解可得；
（2）由中位数不受极端值影响可得答案；
（3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
【详解】（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次），
众数为16次，
故答案为：13，16；
（2）解：把数据“20”看成了“30”，
那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数；
（3）解：∵样本的平均数为：，
∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次．
21．(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
(2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
(3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论；
（3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元，
根据题意得：，
解得，
答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则，
，
，n均为正整数，
或或，
共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
（3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，
根据题意得：，
，
随m的增大而减小，
当时，w最大，最大值为22000，
此时，
购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式．
22．(1)，
(2)
(3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）
(4)
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（3）根据分母有理化的方法即可求解；
（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：；
故答案为：， ．
（2）
（3）①可以利用平方差公式进行分母有理化；
②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；
③，等等.（结论合理、正确就行）
故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．
（4）解：
23．(1)①见解析；②
(2)8
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）①先根据等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质以及角的和差即可证明结论；②如图：在线段上截取，连接，然后证明可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等量代换即可解答；
（2）先证明可得、，进而得到
，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②，理由如下：
如图：在线段上截取，连接，
由（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即．
（2）解：如图3，连接，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的面积．
24．(1)；；
(2)①；②；
(3)，．
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，即可求解；
（2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解；
②由的面积，即可求解；
（3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解．
【详解】（1）由新定义知，的解析式 ，
把点C的坐标代入上式得：，则，
故答案为：，；
（2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
则点D是两个函数的交点，即，则，即点；
②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则
则的面积；
（3）设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，
过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H，
由直线的表达式知，，即，
∵，
则，则为等腰直角三角形，设点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
即点，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则的表达式为：
综上所述，或．
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