第4章三角形章末检测卷（含解析）
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第4章三角形章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，，，图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
二、填空题
9．若长度分别为3，5，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
10．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ．
11．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ．
12．如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ．
13．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °．
14．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ．
三、解答题
15．如图，且，，，．
(1)求的长度．
(2)求的度数．
16．已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并注明理由）
17．如图，，，点、、、在同一直线上，连接、交于点．
(1)添加一个条件：________，使得，并说明理由；
(2)用尺规作图在的下方作一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法）
18．如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；
(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
19．如图，已知，．
(1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）．
(2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（①________），
∵，，
∴②________（③________），
在与中，
∴（⑤________），
∴，
∴（⑥________）．
20．如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：．
《第4章三角形章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B A B C A
1．C
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、，不能构成三角形，此项不符题意；
B、，不能构成三角形，此项不符题意；
C、，能构成三角形，此项符合题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．
根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．若添加，无法判定，故不符合题意；
B．若添加，则，即，
在和中，
，
∴，故符合题意；
C．若添加，无法判定，故不符合题意；
D．若添加，无法判定，故不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合，得，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
4．B
【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键．
根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
5．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵米，米，
∴，
即，
∴，
∴、间的距离可能是米，
故选：．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题．
【详解】解：，，
，
即，
，
，故A选项不符合题意；
补充不能证明，故B选项符合题意；
，
，故C选项不符合题意；
，
，故D选项不符合题意；
故选B．
7．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出．
【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为，
，
，
即，
在和中，
，
；
∴，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
由，得到，即，
在和中，
，
，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
则的面积．
故选：A．
9．5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：根据三角形三边关系可知：，
即，
则的值可以是5，
故答案为：5．
10．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
利用平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余求出的度数．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】如图所示，
∵点是上一个动点
∴当时，取最小值
∴
∵
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴
故答案为：．
13．57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：57．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等．
（1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：∵
∴．
16．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的性质与判定、角平分线的定义写出证明过程，补充相应的推理依据即可．
【详解】解：∵、分别平分与，（已知），
∴，（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
17．(1)，理由见解析
(2)画图见解析
【分析】（）根据全等三角形的判定解答即可；
（）分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则，因为，所以由可证，故即为所求；
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：当添加条件时，，理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．(1)
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高．
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵是两边上的高．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
19．(1)作图见解析
(2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴②（③同角的补角相等），
在与中，
，
∴（⑤），
∴，
∴（⑥内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角度的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用，得出，再判定，即可求解；
（2）利用，得出，再由，得出，证明，得出，，则可得，，证明，即可证明．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴．
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第4章三角形章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，，，图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
二、填空题
9．若长度分别为3，5，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
10．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ．
11．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ．
12．如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ．
13．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °．
14．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ．
三、解答题
15．如图，且，，，．
(1)求的长度．
(2)求的度数．
16．已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并注明理由）
17．如图，，，点、、、在同一直线上，连接、交于点．
(1)添加一个条件：________，使得，并说明理由；
(2)用尺规作图在的下方作一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法）
18．如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；
(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
19．如图，已知，．
(1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）．
(2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（①________），
∵，，
∴②________（③________），
在与中，
∴（⑤________），
∴，
∴（⑥________）．
20．如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：．
《第4章三角形章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B A B C A
1．C
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、，不能构成三角形，此项不符题意；
B、，不能构成三角形，此项不符题意；
C、，能构成三角形，此项符合题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．
根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．若添加，无法判定，故不符合题意；
B．若添加，则，即，
在和中，
，
∴，故符合题意；
C．若添加，无法判定，故不符合题意；
D．若添加，无法判定，故不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合，得，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
4．B
【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键．
根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
5．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵米，米，
∴，
即，
∴，
∴、间的距离可能是米，
故选：．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题．
【详解】解：，，
，
即，
，
，故A选项不符合题意；
补充不能证明，故B选项符合题意；
，
，故C选项不符合题意；
，
，故D选项不符合题意；
故选B．
7．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出．
【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为，
，
，
即，
在和中，
，
；
∴，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
由，得到，即，
在和中，
，
，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
则的面积．
故选：A．
9．5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：根据三角形三边关系可知：，
即，
则的值可以是5，
故答案为：5．
10．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
利用平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余求出的度数．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】如图所示，
∵点是上一个动点
∴当时，取最小值
∴
∵
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴
故答案为：．
13．57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：57．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等．
（1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：∵
∴．
16．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的性质与判定、角平分线的定义写出证明过程，补充相应的推理依据即可．
【详解】解：∵、分别平分与，（已知），
∴，（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
17．(1)，理由见解析
(2)画图见解析
【分析】（）根据全等三角形的判定解答即可；
（）分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则，因为，所以由可证，故即为所求；
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：当添加条件时，，理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．(1)
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高．
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵是两边上的高．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
19．(1)作图见解析
(2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴②（③同角的补角相等），
在与中，
，
∴（⑤），
∴，
∴（⑥内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角度的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用，得出，再判定，即可求解；
（2）利用，得出，再由，得出，证明，得出，，则可得，，证明，即可证明．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴．
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