第5章分式与分式方程章末检测卷（含解析）

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第5章分式与分式方程章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．计算，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
3．已知，表示整式，则是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3
5．方程的解是（ ）．
A．1 B． C．0 D．
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．一项工程，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙两人合做需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．若分式的值是零，则的值为 ．
11．已知，则的值为 ．
12．解方程时，若设，则可得关于y的分式方程为 ．
13．已知甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相等．如果两个人每小时共做140个零件，那么甲、乙两个人每小时各做多少个零件？设甲每小时做x个零件，则乙每小时做 个零件，所列方程为 ．
14．随着生活水平的提高和环保意识的增强，轩轩家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的3.5倍，轩轩家到学校的距离为7千米．若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为 ．
三、解答题
15．计算：
(1)；
(2)．
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．已知，关于的方程：．
(1)若方程无解，求的取值；
(2)若方程的解为整数，求整数的值．
18．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买 A，B两种型号的“文房四宝”共40 套，共花费 4300 元，其中 B型号的“文房四宝”花费3000 元．已知每套A 型号的“文房四宝”的价格比 B 型号的“文房四宝”的价格高．求 A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
19．阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知，所以，即
所以：
所以的值为．
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)拓展：已知，求的值．
20．读读做做：
教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律．
，，…
(1)用正整数n表示这个规律，并加以证明；
(2)问题解决
一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由．
《第5章分式与分式方程章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D C B D D
1．B
【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系．
找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果．
【详解】解：
根据题意，原分式方程无解，
①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，，
解得；
∴的值是1或2，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
4．D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解方程，得：，
∵方程的解为正数，且，
∴，解得：且，
∴满足条件的正整数的值为1，3；
故选D．
5．C
【分析】本题考查解分式方程，关键是把分式方程化为整式方程；
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．
【详解】解：方程的两边同乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解为：．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键．
先将括号里通分，进行加法计算，再进行分式乘法运算，再把分子分解后约分得到，最后利用进行整体代入计算即可．
【详解】解：原式=
∵
∴
∴原式，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了分式除法的应用，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，再用工作总量除以甲、乙两人的工作效率之和即可得到答案．
【详解】解：由题意得，甲、乙两人合做需要的天数为，
故选；D．
8．D
【分析】本题考查了列分式方程，设边衬的宽度为米，根据题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设边衬的宽度为米，根据题意得：
，
故选：D．
9．且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：若分式在实数范围内有意义，
则，
解得，且．
故答案为：且．
10．
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：因为分式的值为零，
所以，，
解得：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查分式的值，掌握分式值的计算方法是正确解答的关键，设待定系数参与运算是常用的方法．设，得到，代入计算即可．
【详解】解：由于，可设，则，
原式．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解分式方程，分别用含y的式子表示出和即可得到答案．
【详解】解：设，则，，
∴原方程可以化为，
故答案为；．
13．
【分析】本题考查了列代数式，列分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
设甲每小时做x个零件，由两个人每小时共做140个零件，即可表示出乙每小时做的零件个数，然后根据“甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同”列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时做x个零件，
∵两个人每小时共做140个零件，
∴乙每小时做个零件，
根据题意得，，
故答案为：；．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据时间=路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟（小时），即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：20分钟小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走千米，
得：
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的除法运算法则计算即可；
（2）根据分式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键．
（1）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，，
∴是原分式方程的根；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，原分式方程无解．
17．(1)或或
(2)或
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
（）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解；
（）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值为或；
∵，
∴当时原分式方程无解，
∴，
∵当或时方程有增根，
∴若方程无解，的取值为或或；
（2）解：∵，
∴，
∵方程的解为整数，
∴，，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，；
∴或．
18．每套A型号的“文房四宝”的价格为130元，每套B型号的“文房四宝”的价格为100元
【分析】本题主要考查分式方程的应用，准确理解等量关系是解题的关键．设B种型号“文房四宝”的单价是元/套，则A种型号“文房四宝”的单价是元/套，根据题意列出方程进行计算即可．
【详解】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元/套，则A种型号“文房四宝”的单价是元/套.
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每套A型号的“文房四宝”的价格为130元，每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题．
（1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答；
（2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得；
（3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得．
【详解】（1）解：∵，可知，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，可知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，可知，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)，理由见解析
(2)不能倒完，理由见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键．
（1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可；
（2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1．
【详解】（1）解：规律：，
证明：右侧左侧，
， 等式成立．
（2）解：不能倒完，理由：
根据题意，得到次水倒出的总和为：
不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1，
这1升水倒不完，
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