重难点08 几何与函数图象结合的综合应用（动点问题、线动问题、函数图象判断）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力。函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型。本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型。
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象。题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题。在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题。
答｜题｜技｜巧
1. 根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；
2. 找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
3. 根据选项做出选择；
1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】A
【详解】解：由图2知，，
，
，
，，
，，
在中，①，
设点到的距离为，
，
动点从点出发，沿折线方向运动，
当点运动到点时，的面积最大，即，
由图2知，的面积最大为3，
，
②，
①②得，，
，
（负值舍去），
③，
将③代入②得，，
或，
，
，
，
故选：A．
1．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【分析】本题主要考查了动点图象问题，等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解决此题的关键，从图2看，，，过点作交于点，在中，利用勾股定理得到，当点在点处时，，解出，进而代入四边形的周长计算即可得解．
【详解】解：从图2来看，
，，
如图，过点作交于点，则，
，，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
在中，
，
当点在点处时，
解得（负值已舍），
则四边形的周长是
，
故选：C．
2．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可．
【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意；
当时，点P在中点处，如图，
此时的面积是面积的一半，
作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，故D错误，符合题意．
故选：D．
3．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
4．如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程与行驶的时间之间的函数图象如图②所示．
(1)分别求出、与x之间的函数解析式；
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值：
(3)直接写出当甲、乙两人相距时x的值．
【答案】(1)，
(2)4
(3)3小时或5小时或7小时
【分析】本题考查了一次函数的图象与二元一次方程组的关系及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式．
（1）根据图象设出两个函数的解析式，找点代入即可得到答案；
（2）联立两个函数解析式求解即可得答案；
（3）根据题意得出，然后求解即可．
【详解】（1）解：设，，
把点代入得：
，
解得，
将代入，得：
，
解得：，
∴，；
（2）解：联立得：，
解得，
∴甲、乙两人相遇时，x的值为4；
（3）解：分两种情况：
甲到达C地之前，根据题意，得，
即，
解得或，
甲到达C地后，乙还需要2小时才到达C，
∴，
解得：，
故乙出发3小时或5小时或7小时，和甲相距．
5．如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点停止运动．过作交于点．过作交于点．设运动时间为秒，四边形的面积为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)，
(2)见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）过点作于点，证明四边形是平行四边形，可得，根据，求出，在中，根据勾股定理求出，根据等面积法，求出，再证明四边形是平行四边形，根据即可解答；由，证明，推出，结合即可得到；
（2）由（1）中解析式即可画出图象，再根据函数图象，即可解答；
（3）先求出两个函数图象的交点，根据函数图象即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
过点，过点，
函数图象如图所示：
根据函数图象可得：函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小；
（3）解：令，即，
解得：（负值舍去），
则，的图象交点的横坐标为，
根据函数图象可得，当时，的取值范围为．
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方。该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识。
答｜题｜技｜巧
找准变量；
抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
根据题意解答。
1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据图2知，，
当时，，，
∵，
∴，
，
故选：C．
1．如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
当时，；；有最小值，最小值为；有最小值，最小值为．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，列出关于的函数式，结合图，列方程求出的值，即可判断；继而代值检验；利用二次函数的图象性质，即可得到的最小值，即可判断；最后通过建系，将转化为，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值．
【详解】解：设，则，，，
所以，
由图知，函数经过点，
整理得，
解得：或（舍去），
，故正确；
由知，，
当时，，即，故错误；
对于，由题意易得：，
由可得，当时，，
即有最小值，最小值为，故错误；
对于D，如图，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系，
则，，，，
为中点，
，
，结合此式特点，设，，，
则，作出图形如下：
作出点关于直线的对称点，
连接交直线于点，
则点即为使取得最小值的点，
此时，
即的最小值为，故正确；
故选：D．
2．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作交于点．设，，点从点运动到点的过程中关于的函数图象如图2所示，则该函数图象的顶点的纵坐标的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，证明是解答的关键．先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由图象知，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∴点的坐标为，
∴．
故选：B．
2．如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
根据图可知，，，
∴，，
∴，
∵同时运动，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
3．如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：C．
4．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，
由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点，
∴，
当时，动点从点沿直线运动到上的点，
此时的面积不变，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B
5．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】设交于点N，连接，作于点Q．由旋转可知由等边三角形的性质可知，，证明，得到，则点F的运动轨迹为，且，证明，则当时，取得最小值4，证明为等边三角形，得到，则得到，则即可．
【详解】解：设交于点N，连接，作于点Q．
∵将绕点C逆时针旋转得到
∴，
∵是等边三角形，于点D，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴点F的运动轨迹为，且，
∴，
即，
∴当时，取得最小值4，
此时
∴，
∴为等边三角形，
，
，
．
∴最低点的横坐标为．
故答案为：
6．探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P、Q分别在边、上，连接、，若，则线段和的数量关系是___________，线段和的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交、于点E、F，过点P作交于点，猜想线段、、的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）①4；②．
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等可得，然后根据证明即可得，；
（2）方法一：易得，根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据证明，则可得，进而可得．
方法二：过点作，易证四边形是矩形，则可得，根据证明，则可得，进而可得．
（3）①由函数图象，得当时，．设正方形的边长为，则，．易得，则，求出a的值即可．
②过点作于点，根据可得，则可得，．设，则，，，．由可得．求出的值，再根据勾股定理求出的长，即可得的长．
【详解】解：（1）如图，设与的交点为O．
∵四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，．
故答案为：，；
（2）．
证法一：如解图1，设交于点，连接交于点．
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
证法二：如解图2，过点作，
则，
又∵，,
，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
，
，
，
又，
，
∴，
∴；
（3）①如解图3，由函数图象，得当时，，
设正方形的边长为，则，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，即正方形的边长为4．
②如解图4，过点作于点，
则，，
，
又，
，
，
，，
设，则，，
，
．
由(2)得，
，
，
，
．
模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
1. 一变一不变，图象是直线；
2. 两个都变图象是曲线；
3. 同增同减口向上；
4. 一增一减口向下；
1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，
则在直角中，根据勾股定理得到，
当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分；
当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变；
综上所述，C正确．
故选：C．
1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快．
【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故选：C．
2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象大致是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．分当时和当时两种情况求出函数解析式即可求解．
【详解】解：①当时，点Q在上，
∴，，
过点Q作交于点D，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，点Q在上，，
综上所述，正确的图象是A．
故选A．
3．如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解．
【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加；
当点位于边上时，的高保持不变，
∴的值保持不变；
当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小，
故选：B．
4．如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边的中点，，则，从而得知点在以为圆心，长度为半径的圆上，由垂径定理得出，，则，，再由中位线性质得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵为边的中点，，
∴，
∴点在以为圆心，长度为半径的圆上，
如图，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴选项图象符合题意，
故选：．
5．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为．
(1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）先求得，再分当时，在上运动，；当时，在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质和正方形的面积公式求解即可；
（2）根据（1）中解析式描点画图即可；根据图象写出可性质；
（3）根据（2）中图象可得结论．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
由题意知，当时，在上运动，如图，则，
∵，
∴，
∴；
当时，在上运动，如图，
则，
∴，
∴，
综上所述，y关于t的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，，
则函数图象如图所示：
由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点．
1．如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④．
【详解】解：∵，且P和Q速度相同，
∴当P到达点E时，Q到达点C，
由图2可知此时，，
即，，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
由图2易得，
设，将M坐标代入得，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，故③正确，符合题意；
当时，，此时是等腰三角形，
而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意；
所以正确的结论有3个，
故选：C．
2．如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答．
【详解】解：由图2知：，设，
如图所示，当点M在上时，则，
∵，则，
∴
∴，即，
即，
解得，
则函数的对称轴为，
∵，y有最大值，
当时，y取得最大值，则，
解得（舍去负值），
∴，
∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a，
则，
故选：C．
3．如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当，S为关于x的一次函数 B．，
C．当，S为关于x的二次函数 D．图象过点
【答案】C
【分析】根据题意，分点在矩形内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为S，列出关系式，逐一判断即可．
【详解】解：根据题意：，
当点在矩形内部时（包含边界），
则重叠部分的面积为，
的长为定值，
此时，S为关于x的一次函数；
由函数图象可得：当时，点刚好落在边上，
∴当，S为关于x的一次函数；故A选项说法正确；
如图，当时，
此时，与重合，则，
，
此时，四边形是矩形，
，
此时，四边形是正方形，
∴，
此时，，
∴，
当点在矩形外部时，
如图，过点P作于点H，设交于点G，则四边形是矩形，
，
∴，
设，则，
在中，，即，
，
则重叠部分的面积为，
此时，S不是关于x的二次函数；则当，S不是关于x的二次函数；故C选项说法错误；
由函数图象可得：当时，点P与点D重合，
此时，，
∴，故选项B说法正确；
当时，，
∴图象过点，故选项D说法正确；
故选：C．
4．如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为m，则，
∵，则，，
∴，
∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为，
故y与x的函数图象可能为选项B中图象，
故选：B．
5．如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息．
由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值．
【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，，
，，
如图③，过点作，则，此时，最短，
，
∴
，，
∴，
，
是等边三角形，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：C．
6．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
(3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）分阶段写出关于的函数表达式即可；
（2）根据（1）的函数解析式画出的图象并写出一条性质即可；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值即可．
【详解】（1）过点D作，则四边形为矩形，
∵为中点，
，
当时，
当时，
（2）图象如图所示，性质如下：
增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值；
（3）由图可知：
．
1．图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确题中各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得，
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始的值，从时，y随x的增大先减小后增大，且和前图象对称，故选项C符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；
故选：C．
2．如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
【详解】解：如图过点向作垂线，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，,
当时，．且图像是二次函数的一部分,
故选：B．
3．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．26
【答案】B
【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的面积逐渐增大，点在上运动时，的面积保持不变，结合图象得到，即可得出结果．
【详解】解：当点在上运动时，
的面积，随着的增大而增大，
当点在上运动时，的面积为定值，保持不变，
由图象可知：，
∴矩形的周长是；
故选B．
4．如图1，点是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点不与点，重合），过点作于．设弦的长为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的直径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要能根据图象确定圆的半径．先根据图象得出当点到点的正上方时，最大为2，可确定的半径为2，即可求解．
【详解】解：当点和点重合时，最大，
由图象得最大为2，
圆的半径为2，
的直径为4，
故选：B
5．如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，掌握如何从图象中获取信息是解题的关键．
根据函数图象得到的面积最大时的长，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意得：直线运动到点停止，且当直线运动到点时，的面积最大，
此时，，，
，
，
当时，，
在中，
，
故选：．
6．正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可．
【详解】解：由题可得：正方形面积为：，
，
最大重合面积为，
B选项，不符合题意；
正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，
最后的重合面积为0，
C、D不符合题意；A选项符合题意；
故选：A．
7．如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
（1）点P在上运动的时间为 s；
（2）当t为 时，三角形的面积为．.
【答案】 6 或
【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解；（2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和，上代入即可求得答案．
【详解】解：（1）由图象可知，点P在上运动的时间为，
故答案为：6；
（2）当P在上运动，即时，速度为，则，
，
的面积为，即时，
∴，
∴，
当P在上运动，的面积为，不符合题意，
当P在上运动，即时，
在上运动的速度为，
∴，
∴，
∵的面积为，即时，
∴，
∴，
所以当t为、时，的面积为．
故答案为：或．
8．如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为．
(1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】(1)，；
(2)图见解析，性质见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质；
（3）根据函数的图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：由题意得，
．
（2）函数，的图象如答图．
根据函数图象，函数的性质为：
抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9．
以上4条性质写出一条即可．
（3）由函数图象得，当时，．
9．如图，在中，，，点P为上一点，过点P作交于点Q．设的长度为x，点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为．
(1)请求出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)；
(2)图见解析，在时随x的增大而增大，随x的增大而减小
(3)
【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及一次函数及图象，相似三角形判定与性质．
（1）由，得，可得，，即可得到答案；
（2）描点画出图形，再由图象得在时随x的增大而增大，随x的增大而减小；
（3）先求出时，x的值，再观察图象可得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长与的周长之比，
∴；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，；
描点，画出图象如图：
由图象可得，在时随x的增大而增大，随x的增大而减小；
（3）解：当时，即，
解得或（舍去），
观察图象可得，当图象在上方时，x的范围是，
∴当时，x的取值范围是．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点08 几何与函数图象结合的综合应用（动点问题、线动问题、函数图象判断）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力。函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型。本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型。
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象。题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题。在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题。
答｜题｜技｜巧
1. 根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；
2. 找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
3. 根据选项做出选择；
1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
1．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
2．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20
3．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ．
4．如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程与行驶的时间之间的函数图象如图②所示．
(1)分别求出、与x之间的函数解析式；
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值：
(3)直接写出当甲、乙两人相距时x的值．
5．如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点停止运动．过作交于点．过作交于点．设运动时间为秒，四边形的面积为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方。该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识。
答｜题｜技｜巧
找准变量；
抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
根据题意解答。
1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
当时，；；有最小值，最小值为；有最小值，最小值为．
A． B． C． D．
2．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作交于点．设，，点从点运动到点的过程中关于的函数图象如图2所示，则该函数图象的顶点的纵坐标的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，为对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ．
6．探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P、Q分别在边、上，连接、，若，则线段和的数量关系是___________，线段和的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交、于点E、F，过点P作交于点，猜想线段、、的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
1. 一变一不变，图象是直线；
2. 两个都变图象是曲线；
3. 同增同减口向上；
4. 一增一减口向下；
1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
2．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象大致是（ ）
A．B． C．D．
3．如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为．
(1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围．
1．如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当，S为关于x的一次函数 B．，
C．当，S为关于x的二次函数 D．图象过点
4．如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
6．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；
(3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
1．图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．26
4．如图1，点是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点不与点，重合），过点作于．设弦的长为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的直径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
（1）点P在上运动的时间为 s；
（2）当t为 时，三角形的面积为．.
8．如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为．
(1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
9．如图，在中，，，点P为上一点，过点P作交于点Q．设的长度为x，点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为．
(1)请求出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
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