重难点09函数的综合应用题型总结（一次函数的性质与应用、一次函数的性质与应用、二次函数的图象性质应用、二次函数的实际应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位。一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论。反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等。二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力。二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到。在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解。所考题型难度中等，相对较容易得分。
答｜题｜技｜巧
1. 审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
2. 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
3. 列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
4. 求解，求出满足题意的数值。
1．（2024·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：C
1．已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，﹥，且随的增大而增大，故选项A结论正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
图象与轴交于负半轴，所以，B选项错误，不符合题意；
图形向上平移，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变小，当过原点后，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变大，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．已知，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，本题的关键是熟练掌握一次函数中决定函数的增减性，决定与轴交点的纵坐标．由，，则可得一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴，
只有选项B符合题意，
故选：B．
3．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵一次函数和的图象的交点坐标为，
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：B．
4．对于某个一次函数，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据函数图象不经过第二象限可得，再将点代入函数解析式可得，据此逐项判断即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，且过点，
∴，则选项A正确；
∴，则选项C正确；
∵一次函数的图象经过点，
∴，即，，则选项D正确；
∴，则选项B错误；
故选：B．
5．如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为 ．
【答案】/
【分析】根据，，证明，从而证明，得到，过点P作轴，求得，，，根据点所在象限即可确定点P的坐标．
【详解】解：把代入一次函数得，
把代入一次函数得：，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作轴，垂足为D，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P在第二象限，
∴点，
故答案为：．
6．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得．
【详解】解：将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上，
将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上，
如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，
∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为，
∴结合函数图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
7．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为，求解即可;
【知识迁移】由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
【理解应用】由二次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
当时，无论值如何变化，
故二次函数必过定点，．
所以二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是，落在轴正半轴的定点的坐标是；
故答案为：，．
【知识迁移】由题意得
∴，
由上一小题得：，
作轴交直线于点，作轴交直线于点，则，，，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则，，，
，
，
∵，，
即
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分。从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
根据图象特点求解反比例的表达式；
判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
∴反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，
当时，函数的最大值和最小值之差为4，
，
解得：．
故选：D
1．关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：对于反比例函数，当时，可有，
即图像经过点，
因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小，
当时，，
故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】B
【分析】过点作轴点，由菱形的性质可得，又由轴，是的中点，，可证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值．
【详解】解：过点作轴于点，
是的中点，是菱形，
，
，
轴，O为的中点
∴，
∴，
，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
，
记与轴交于点F，
∵，均垂直轴，
，，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答此题的关键．
设点的横坐标为，代入反比例函数中，可得到，由于轴，可得，从而可得的长，知道的底和高，即可得到答案．
【详解】解：设点横坐标为
∵点在上
∴
∵轴
∴
∵在上
∴，则
∴．
故选：A．
4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．此函数的解析式为，则n的值为 ．
【答案】160
【分析】本题考查反比例函数的应用；点代入，即可求解．
【详解】解：将点代入得：，
解得，
故答案为：160．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．
【答案】 12
【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
过点A作轴的垂线，交的延长线于点，根据A，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可表示，的长，根据菱形的面积为，求得的长；在中，勾股定理计算的长，列方程即可得出的值．
【详解】解：过点A作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数的图象上，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，即菱形的边长为；
在中，，
，
．
故答案为：，12
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(3)求的面积．
【答案】(1)；
(2)或．
(3)
【分析】本题考查了反比例和一次函数解析式的求法，反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是先根据题意求出各个解析式．
（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）根据一次函数和反比例函数的交点横坐标以及图象的位置关系即可得到答案；
（3）令一次函数表达式中求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴点．
将、代入中，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，
∴由图象可知，时，x的取值范围为或．
（3）令中，则，
∴点C的坐标为，
∴．
7．如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
(1)当F为的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，的面积为．
【答案】(1)
(2)当的值为2或4时，的面积为．
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，解一元二次方程等知识．
（1）当F为的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
，
为的中点，
，
又∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意知，两点坐标分别为，，
，
的面积为，
∴，
整理得，
解得，，
∴当的值为2或4时，的面积为．
8．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2；
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为 或
(3)点C的坐标为或
【分析】（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论；
（2）由（1）得，求得直线的函数表达式为，设．①如图1，当点M在线段上时；②如图2，当点M在线段的延长线上时；③由，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为，且，①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，分别过点A、B作x轴和y轴的平行线，交于一点N，过点M作于点D，如图，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴，
同理①，得，
解得，
∴点M的坐标为，
同理可得：直线的解析式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）解：设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
化简，得，
解得，（与点B重合，舍去），
∴点；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
同理①可得：，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
答｜题｜技｜巧
1. 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
2. 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
3. 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
4. 结合其它相关知识解题；
1．（2023·河南）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意；
C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
1．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，关注特殊点的坐标．结论①根据图象与x轴的交点个数确定，即可对其进行判断；结论②根据图象与y轴的交点位于x轴上方确定，即可对其进行判断；结论③根据抛物线的对称轴方程得到，结合特殊点坐标时，，即可对其进行判断；结论④根据抛物线的对称轴方程得到，结合特殊点坐标时，，即可对其进行判断，从而得到正确个数．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点
∴
∴
故①正确；
②∵二次函数的图象与y轴的交点位于x轴上方
∴
故②错误；
③∵对称轴是
∴
解得
∴
∵当时，
∴
故③正确；
④∵图像开口向下
∴
∵对称轴是
∴，则
当时，
将代入，得
解得
故④正确．
故选A．
2．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线，可得抛物线向上平移m个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，则，解得②当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，构建方程求出m的值可得结论．
【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线，设抛物线与x轴的另一个交点为，
则有，
∴，
∴关于x的一元二次方程的解为，；
∴抛物线，
抛物线向上平移m个单位后解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，则，
解得，
②当抛物线经过点时，，
解得；
当抛物线经过点时，，
解得，
∴时满足题意．
综上所述， 或．
故选：A．
3．如图是二次函数（a、b、c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于以下说法：①；②；③；④（m为实数)；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向及对称轴判断；由函数的值判断；由二次函数的最值即可判断；由二次函数的图象与x轴的交点可判断⑤，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴是直线．
∴，
即，
∴；，
故①错误，②正确；
∵与x轴的交点A在点和之间，对称轴是．
∴与x轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，
故选项③正确，
∵抛物线开口向下，对称轴是直线．
∴当时，二次函数取得最大值为．
∴m为实数时，，
即（m为实数)；
故④正确；
∵与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．
∴与x轴的另一个交点在和之间，
当时，或，
故⑤错误，
综上，②③④正确，
故选：C．
4．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，，，，…，在y 轴的正半轴上，，，，…， 在二次函数第一象限的图象上，若，，…，都是等边三角形 ，则的周长是（ ）
A．6078 B．6075 C．6072 D．6069
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、图形类规律探索，设，，，作轴于，轴于，轴于，由等边三角形的性质可得，，，解直角三角形得出，即，，，求出，得出的周长为，同理可得的周长为，的周长为，得出规律计算即可得解．
【详解】解：∵，，，…， 在二次函数第一象限的图象上，
∴设，，，
如图，作轴于，轴于，轴于，
，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，即，，
∴，
∴的周长为，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，即，，，
∴，
∴的周长为，
同理可得的周长为，
由此可得的周长是，
故选：A．
5．设二次函数（是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示．
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 1 1 ．．．
(1)若，求二次函数的表达式．
(2)若当时，有最小值，求的值．
(3)求证：．
【答案】(1)二次函数的表达式
(2)或
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键．
（1）根据表格信息得到对称轴直线为，即，时，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到，分类讨论：当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值；当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，当时，取得最小值；代入求值即可；
（3）根据题意当时，，当时，，得，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
∴对称轴直线为，即，
∴，
若，即时，，
∴，
∴，
解得，，
∴二次函数的表达式；
（2）解：根据题意，，，
∴，
当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值，
∴，
解得，；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
2. 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
3. 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏扬州）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．
【答案】6
【详解】解： 运动员的竖直高度与的函数关系式为，图象是一段开口向下的抛物线，
对称轴为：，在区间内，
当，竖直高度达到最大值．
故答案为：6．
例2．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
【答案】(1)
(2)坐标为
(3)符合条件的的整数值为7，8
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示：
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，即直线与轴的交点为，
点坐标为；
（3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，
设接球点为点，点坐标为，如图所示：
则，
把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
，
符合条件的的整数值为7，8．
1．问题提出
若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．
已知方程的两根为，，则 ， ．
探究引申
若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1）．
（2）．
应用拓展
已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．
【答案】问题提出3，；探究引申（1）；（2）；应用拓展
【分析】问题提出根据根与系数的关系写出即可；
探究引申（1）令，解得方程的解，然后写出即可；
（2）令，解得方程的解，然后写出即可；
应用拓展根据二次函数与方程的关系以及根与系数的关系写出即可．
【详解】问题提出
已知方程的两根为，，则，，
故答案为：3，．
探究引申
（1）令，
解得，，
则；
（2）令，
解得，，
则；
应用拓展∵二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，
∴，
该抛物线的解析式为，
2．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）
（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
【答案】（1）-1；（2）4；（3）m＝或m＝
【分析】（1）根据定义直接计算即可．
（2）由坐标差的定义得到坐标差的函数解析式．然后根据一次函数的最值出特征值即可．
（3）设B点坐标为（0，c），由点A与点B的“坐标差”相等，可得A点坐标为（﹣c，0），代入解析可得c+b＝1，再由该函数图象的“坐标差”函数解析式，由特征值求出b，c．即可得二次函数y＝﹣x2+3x﹣2，由函数图象对称轴位置分三种情况讨论函数的最大值即可求出m的值．
【详解】解：（1）点P （2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，
函数 y＝x+1是增函数，
当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，
∴一次函数 y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．
（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，
∴点B（0，c）
点A与点B的“坐标差”相等，
∴点A （﹣c，0），
∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，
∵bc≠0，
∴c+b＝1，
∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1
即函数 y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1
∴
解得 b＝3，
∴c＝﹣2
∴y＝﹣x2+3x﹣2，
∴．
∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，
Ⅰ．若m≤≤m+3时，则x＝时，函数的最大值为，
依题意得：﹣2m＝，
解得m＝；
Ⅱ．若m＞时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，
依题意得：：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，
解得：m＝＜（舍去），m＝，
Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．
依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．
综上所述：m＝或m＝．
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为；②G点坐标为或或或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过原点，即，求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得出问题答案；
②由①可得，然后根据题意可分当时，当时，然后根据正方形的性质可分类进行求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为；
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
∴当时，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴H点的纵坐标为5，
∴，
解得或，
∵G点在直线上，
∴或；
当时，
∵，
∴，
设，，如图，连接，交于点M，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：G点坐标为或或或．
4．【问题背景】已知二次函数（m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，为等腰三角形时，求线段DF的长．
【答案】(1)A
(2)，或
(3)，或
(4)，或
【分析】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
（2）根据二次函数的对称轴为，可求得m的值，然后利用二次函数在上的范围，可求得t的取值范围
（3）根据对称轴，，分类讨论各种情况求得的值
（4）根据对称性先求得点D的坐标，然后设点F的坐标，利用等腰三角形的性质，分类可求得的长度
【详解】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
故选：A
（2）∵次函数的对称轴为，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
当时，的取值范围是：，
∴要使得关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是： ，或
（3）由可知对称轴为：
∵
当时，在处取得最小值，即，解得：，或（舍）；
当时，在处取得最小值，即，此时方程无解；
当时，在处取得最小值，即，解得：，或（舍）；
综上所述：，或
（4）当时，二次函数为，
∴，，，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∵点与原点O关于直线BC对称，设，
∴
解得：，
∴，
设点，
∴直线为，
由
可得，
为等腰三角形时，
当，可得：，
化简整理得：，
解得：，（舍）
∴
当，可得：，
化简整理得：，
解得：，（舍）
∴
综上所述：，或
1．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律．
根据和求出点，，，，的坐标，再结合反比例函数的性质求出点，，，，的坐标即可求解．
【详解】解：∵点，，
，，，，．
∵点，，，，在反比例函数的图象上，
，，，，，
，，，
当时，．
故选：A．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答．
【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴点B的横坐标为，
则当时，x的取值范围是或，
故选：B
4．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，光的反射定律，掌握广德反射定律是解题的关键．
延长交轴于点E，则，继而证明，则，再将其代入即可求解．
【详解】解：延长交轴于点E，
由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
5．已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
6．如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
【答案】(1)A点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
（1）令纵坐标为0求解即可；
（2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点，
∴A点的纵坐标为0，即，
∴解得，
∴A点坐标为；
（2）解：如图，
∵一次函数，
∴一次函数过定点，
当时，，
把代入，得
解得，
由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标：
(3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键．
（1）先求出点，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）联立直线与反比例函数解析求得，联立直线与直线求得，而，设，过点作轴交直线于点，可求，则，当点在直线右侧时，可得，由，得到，则；当点在直线左侧时，此时，同理可求；
（3）如图，过点作于点，由可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，则，故，那么或，即可求解点坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过，
∴，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为：，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：联立直线与反比例函数解析式得，，
∴，
解得：或，
∴，
联立直线与直线得，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设，过点作轴交直线于点，
则当时，，
∴，
∴，如图：
当点在直线右侧时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点在直线左侧时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：如图，过点作于点，
则；
∵，
∴点距离轴和轴的距离相等且为，
∴直线与轴负半轴夹角为，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
8．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式和点坐标；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由 的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据反比例函数的中心对称性求得B点的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）分两种情况，根据“和谐点”的定义列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点，
；
（2）解：观察图象，时，的取值范围是：或 ；
（3）解：设，则，
如图1，
当在点的下方时，则，
解得，
，
，
如图2，
当在点的上方时，，则，
解得 ，
，
，
∴点的坐标为或．
9．【定义与性质】
如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点．
定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线．
性质：①一条抛物线有2条对称抛物线；
②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线，
【理解与运用】
(1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为；
【思考与探究】
(2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）．
①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围；
②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)①；②当时，为等边三角形
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质与判定、特殊角的三角函数值，理解新定义并掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）先求出二次函数的顶点为，与轴的交点为和，得出点关于点的对称点为，再根据新定义得出是的对称抛物线，即可解答；
（2）①根据对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点，得出，再根据对称抛物线的性质可知，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上，得出，结合即可求出的取值范围；②过点作轴于点，连接、、，根据对称抛物线的性质可得点、分别是、的中点，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质、二次函数的性质和锐角三角函数的知识即可求出，的关系式．
【详解】（1）证明：令，
解得：，，
二次函数与轴的交点为和，
又的顶点为，
点关于点的对称点为，
由题意得，是的对称抛物线，
二次函数的其中1条对称抛物线为．
（2）解：①由对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点，
代入得，，
，
，
由对称抛物线的性质可得，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上，
点关于点的对称点为，
代入点到得，，
整理得：，
，
，
；
②如图，过点作轴于点，连接、、，
是等边三角形，
，
抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，且点是抛物线的顶点，
点是的中点，
同理，点是的中点，
是的中位线，且，
，，
是等边三角形，
又轴，
，，
设，，
令，则，
，，且，
，
又，
，
，
二次函数，
抛物线的顶点，
，
在中，，
，
，
解得：或（舍去），
当时，为等边三角形．
10．已知二次函数的图像经过点，点是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接．若，求证的值为定值，并求出此值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3)的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，求函数解析式，三角形面积计算等知识，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键．
（1）将点的坐标代入抛物线表达式得，即可求解；
（2）由，同理可得，即可求解；
（3）求出线的表达式为：，则，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：
，
∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）证明：令，
∴，
∴点，
设直线的表达式为：，
将点，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设点的坐标分别为： ，则
，
同理可得：
，
∴为定值；
（3）解：点的坐标为，则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
∴，
∵，点P在第二象限，
∴当时，有最大值，最大值为
11．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容：
请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题：
“能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法和能给满分）
【答案】不能围出面积为的长方形
【分析】方法一：设这个长方形的长为，则这个长方形的宽为，令长方形的面积为，得出一元二次方程求解即可；方法二：设这个长方形的长为，则这个长方形的宽为，设面积为，则表示出与之间的函数关系，求最大值即可．
【详解】解：方法一：
设这个长方形的长为，则这个长方形的宽为，
则根据题意可得，
整理得：，
∵，
∴此方程无解，
故不能围出面积为的长方形；
方法二：设设这个长方形的长为，则这个长方形的宽为，设面积为，
则，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
∵，
∴不能围出面积为的长方形．
12．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格：
… 0 1 2 3 …
… 1 4 7 10 …
… 0 4 3 0 …
(1)【数学观察】根据表中信息填空：______；
(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；
(3)【独立思考】
①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______；
②方程的解为______；
③不等式的解集是______；
(4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解；
(5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①或 ②或 ③
(4)横
(5)
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键．
（1）把代入求出值即可；
（2）根据表格数据描点连线绘制图象即可；
（3）①根据表格信息得到交点坐标即可；
②根据交点坐标得到方程的解即可；
③借助图象得到不等式的解集；
（4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解；
（5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出， 即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下：
（3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或，
故答案为：或；
②方程 的解为：或，
故答案为：或；
③观察图象知，不等式的解集是
故答案为：
（4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解，
故答案为：横；
（5）联立两个函数表达式得：，
则
则
故方程为：则
故答案为：．
1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与的图象交于点M，且点M的横坐标为．
(1)求m的值与的长；
(2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
（）求出点坐标，代入可得的值，进而由一次函数解析式求出点、坐标，即可由勾股定理求出的长；
（）根据，可得，即可得，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵点M在直线上，点M的横坐标为，
点M坐标为，
又点C在直线上，
，
，
直线的函数表达式为，
令，则，令，则，解得，
、，
；
（2）∵，
，
，
点Q坐标为或．
2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
(4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解；
（2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解；
（3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴，解得：，
∴，
把和代入一次函数，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令，则，
∴点．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，，
解得：，
∴点，
∴，
∵，
∴的面积．
（4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键．
3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)；
(2)的面积是或；
【分析】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形．
（1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式；
（2）先设点，可表示，，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为．
当时，，
∴点．
将点和点代入直线的关系式，得
，
解得，
所以直线的关系式；
（2）解：设，则，，
∴．
∵，
∴，
解得或．
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴．
综上所述，的面积是或．
4．如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的长；
(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)的长为
(3)点的坐标为，，，
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线与的交点的坐标，再利用勾股定理求解即可；
（3）设点，分别求得，分及三种情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：正比例函数与一次函数的图象互相平行，
，
一次函数图象经过点，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，得，
，
，
的长为；
（3）解：存在，设点，
，
由勾股定理得：，
，
时，
，解得：，即点的坐标为，
时，
，解得：，即点的坐标为，，
时，，解得：（舍去），即点的坐标为，
综上，点的坐标为，，，．
5．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式；
（2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可；
（3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设，
，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为，
，
，
，
、两点在一次函数的图象上，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式时x的取值范围为：或；
（3）解：，
根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为：或；
当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上，
，
解得：或，
点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围；
(3)连接，若点P是x轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：由一次函数的解析式为可得，
，
∴，
设，
由题意可得，
则，
解得：，
或．
7．已知抛物线，（）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）；
(2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果；
（2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设，再求出直线的解析式，过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，求出点Q的坐标，即可求出的值，金额得到点P的坐标；
（3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，即当时，方程有两个不相等的实数根，利用判别式即不等式组求解即可．
【详解】（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：存在点坐标为或时，为，理由如下：
由题意得：抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，
根据题意，设，直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
当时，解得
∴
将代入，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
当点在x轴上方时，如图，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在x轴下方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
综上，当点坐标为或时，为；
（3）解：由题意得：抛物线解析式为：，
则二次函数的图象往上平移个单位长度后，抛物线解析式为：，
当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，
则当时，方程有两个不相等的实数根，
即当时，方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
解方程的
解得：或，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为．
8．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【答案】[尝试]（1）点A在抛物线E上；（2）n=-1；[发现]：（1，0）和（2，﹣1），[应用]：是，t=-3.
【分析】[尝试]（1）将x=1代入y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）计算后进行判断；
（2）将x=2代入 y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）即可求解；
[发现]将抛物线E的表达式进行因式分解后，通过观察式子特点，即可得出经过的定点；
[应用] 根据“再生二次函数”的定义列出等式即可求解．
【详解】解：[尝试]（1）当x＝1时，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，
故点A在抛物线E上；
（2）x＝2时，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；
[发现]
易得当x=1时，y=0，即抛物线经过点（1,0），
当x=2时，y=-1，即抛物线经过点（2，-1），
∴抛物线E总过定点（1，0）和（2，﹣1），
[应用]是，理由：
由题意得：，
化简并整理得：t＝﹣3．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点09函数的综合应用题型总结（一次函数的性质与应用、一次函数的性质与应用、二次函数的图象性质应用、二次函数的实际应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位。一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论。反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等。二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力。二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到。在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解。所考题型难度中等，相对较容易得分。
答｜题｜技｜巧
1. 审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
2. 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
3. 列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
4. 求解，求出满足题意的数值。
1．（2024·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
1．已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
2．已知，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
4．对于某个一次函数，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选项为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为 ．
6．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ．
7．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分。从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
根据图象特点求解反比例的表达式；
判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
3．如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．此函数的解析式为，则n的值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(3)求的面积．
7．如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
(1)当F为的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，的面积为．
8．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2；
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
答｜题｜技｜巧
1. 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
2. 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
3. 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
4. 结合其它相关知识解题；
1．（2023·河南）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴是直线
1．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
2．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
3．如图是二次函数（a、b、c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于以下说法：①；②；③；④（m为实数)；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
4．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，，，，…，在y 轴的正半轴上，，，，…， 在二次函数第一象限的图象上，若，，…，都是等边三角形 ，则的周长是（ ）
A．6078 B．6075 C．6072 D．6069
5．设二次函数（是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示．
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 1 1 ．．．
(1)若，求二次函数的表达式．
(2)若当时，有最小值，求的值．
(3)求证：．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
2. 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
3. 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏扬州）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．
1．问题提出
若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．
已知方程的两根为，，则 ， ．
探究引申
若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1）．
（2）．
应用拓展
已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．
2．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）
（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．【问题背景】已知二次函数（m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，为等腰三角形时，求线段DF的长．
1．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
6．如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标：
(3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
8．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式和点坐标；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
9．【定义与性质】
如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点．
定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线．
性质：①一条抛物线有2条对称抛物线；
②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线，
【理解与运用】
(1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为；
【思考与探究】
(2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）．
①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围；
②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形．
10．已知二次函数的图像经过点，点是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接．若，求证的值为定值，并求出此值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
11．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容：
请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题：
“能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法和能给满分）
12．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格：
… 0 1 2 3 …
… 1 4 7 10 …
… 0 4 3 0 …
(1)【数学观察】根据表中信息填空：______；
(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；
(3)【独立思考】
①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______；
②方程的解为______；
③不等式的解集是______；
(4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解；
(5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果）
1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与的图象交于点M，且点M的横坐标为．
(1)求m的值与的长；
(2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标.
2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
(4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积．
4．如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的长；
(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
5．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围；
(3)连接，若点P是x轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
7．已知抛物线，（）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）；
(2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围．
8．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
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