重难点11尺规作图题型总结（作相等角、作角平分线、作线段垂直平分线、作垂直、利用无刻度直尺作图）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。
模型01 作相等角
考｜向｜预｜测
作相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意熟练应用尺规作图，一般考试中涉及的做相等角包含角相等或者作平行线，需要我们很好的理解题意，根据题意画图，保留清晰的作图痕迹。
答｜题｜技｜巧
1. 作任一射线；
2. 以所作角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，然后以同样长为半径，以射线端点为圆心画弧；
3. 以原角中所画弧中一个交点为圆心，到另一个交点的距离为半径画弧；
4. 以射线中的交点为圆心，同样长为半径画弧，交于一点，连接射线端点与弧的交点，所得角即为所求；
1. （2024·吉林）如图，用尺规作图完成下列作图步骤：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点C、D；
②以点B为圆心，以长为半径画，交射线于点，点F与点C在的异侧）；
③以点E为圆心，以长为半径画，交于点N，作射线即可得到，连接、．
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．， D．的依据是
1．综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：(1)如图2，在射线上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部；
(2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线．
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
2．如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
(1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）．
证明：在矩形中，有，，，．
在和中
．
② ．
③ ．
四边形为平行四边形④ （填写推理依据）．
4．如图，已知．
(1)尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：∵（已知）
∴①________（②________）
∵（已知）
∴③________（④________）
∴（⑤________）
5．如图，在中，D，E分别是边的中点．
(1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求证：．
模型02 作角平分线
考｜向｜预｜测
作角平分线该题型主要以选择、填空形式出现，在解答题中主要考查角平分线的性质，根据性质作对应图形，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握角平分线的性质是考试的重点，在应用题型中，根据题意会进行尺规作图画角平分线，有时依据题意画平行线时也是画角平分线。
答｜题｜技｜巧
以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两点M、N；
以M点为圆心，MN的距离为半径画弧，再以N点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于点P；
连接角的顶点和P点，所画直线即为所求．
1．（2024·山东泰安）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
1．如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
3．如图，已知．
(1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的度数．
4．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明）
(2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？
(3)若，，求的半径的长．
模型03 作线段垂直平分线
考｜向｜预｜测
作线段垂直平分线该题型近年在尺规作图题型中主要考①到两点的距离相等的点；②作三角形的外接圆；③找对称轴（旋转中心）；④找圆的圆心等几个方面。让学生真正理解线段垂直平分线的性质是本节内容的重心，尺规作线段垂直平分线是中考的必考内容之一。考题常以选择、填空等形式出现，该题型主要难点在熟练应用线段垂直平分线的性质，会画线段的垂直平分线，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
1. 以线段任一端点为圆心，大于一半的长为半径上下画弧；
2. 以线段另一端点为圆心，同样长为半径画弧，所画弧交于两点MN；
3. 连接MN，MN所在直线即为所求；
1．（2024·山东）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
1．我们在苏科版数学七年级下册第九章中学习了一些基本尺规作图．请用无刻度的直尺和圆规完成下列基本作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图① 中，请作出已知线段的垂直平分线；
(2)在图② 中，请作出已知角的平分线；
(3)在图③ 中，请作出过直线外一点P，且垂直于直线的直线（点Q是垂足）．
2．如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的周长．
3．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形．
证明：∵，
∴①______．
∵垂直平分．
∴且②______．
在和中，
∴．
∴，
则四边形是④______．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：
四边形是⑤________．
4．如图，在中，是对角线．
(1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
模型04 作垂线（过一点作垂线或圆的切线）
考｜向｜预｜测
作垂线（过一点作垂线或圆的切线）该题型主要包括①过直线上一点作垂线；②过直线外一点作垂线；③过圆上一点作切线；④作高等。几种题型的核心点均是作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质进行解题。
答｜题｜技｜巧
1. 以所过点为圆心，以一定长度为半径截取线段长（如果点在线段上以任意长度为半径，如果点在线段外以大于点到线段的长为半径）；
2. 作该线段的垂直平分线；
3. 过该点的线段垂直平分线即为所求；
1．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：和上一点．
求作：的切线，使经过点．
作法如下：①连接并延长，以为圆心，线段长为半径作弧，交射线于点；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，同样操作，得点（不与点重合）；
③作直线，则就是所求作的的切线．
请根据尺规作图的步骤和痕迹，回答下列问题：
(1)步骤③中判断是的切线的依据是（ ）
A．与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
B．与半径垂直的直线是圆的切线
C．如果圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线
(2)连接，，，求的半径的长．
1．已知：如图，钝角三角形．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)尺规作图：在（1）的条件下，作，垂足为H，连接，直接确定与的大小关系为 ．
2．如图，已知，是边上的中线，垂足为．
(1)求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形．
3． 如图，与相切于点A．
(1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长．
4．如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上．
(1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证：与相切；
(3)当，时，求的半径．
模型05 仅用无刻度直尺作图
考｜向｜预｜测
仅用无刻度直尺作图该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与几何相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。无刻度直尺作图，掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识点是解题的关键。
答｜题｜技｜巧
1. 确定所求结论（一般作角相等或垂直）；
2. 无刻度直尺只能连线，根据题意连接线段长或射线；
3. 注意利用几何知识点的性质，比如说角相等的判定、圆的相关知识点等；
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹．
1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
2．如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，．
(1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
(2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）．
思路：
①在的延长线上取点F，使得，连接．
②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得；
③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出；
④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）．
1．（2024·山东）如图，中，点在第二象限，点在轴正半轴上，轴，，，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①求作等腰三角形，点在第一象限，，点为的中点；
②求作菱形；
(3)将菱形沿轴向下平移多少个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上？
2．（2024·四川）（1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D）
（2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小．
3．（2024·南京）如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下：
第步：作以为直径的圆；
第步：______的其中一点记为点；
．以为圆心，为半径画圆，交圆
．以原点为圆心，为半径画圆，交圆
．以为直径作圆，交圆
．作的垂直平分线，交圆
．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆
第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求．
(1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法．
(2)若，写出此时圆的直径______．
4．（2024·安徽）阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练．
任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程．
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
（1）根据小华的作法，证明是的平分线；
（2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长．
1．如图，四边形是平行四边形．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形．
2．如图，为的直径，点D在上，．
(1)尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，交与点E，求扇形的面积．
3．如图，在中，平分交于点D．
(1)尺规作图：过点D作，垂足为点E（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下：
①判断和之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的度数．
4．如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长；
(2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
5．阅读与思考
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线．
(1)下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，和外一点P．
求作：过点P的的切线．
作法一：①连结，作线段的中点M；
②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和．
直线即为所求作的切线．
请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明．
证明：连接，
由作法可知，为的直径，
（________）（填推理的依据），
，
点A在上，
直线是圆的切线（________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．
(2)李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法：
作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。
模型01 作相等角
考｜向｜预｜测
作相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意熟练应用尺规作图，一般考试中涉及的做相等角包含角相等或者作平行线，需要我们很好的理解题意，根据题意画图，保留清晰的作图痕迹。
答｜题｜技｜巧
1. 作任一射线；
2. 以所作角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，然后以同样长为半径，以射线端点为圆心画弧；
3. 以原角中所画弧中一个交点为圆心，到另一个交点的距离为半径画弧；
4. 以射线中的交点为圆心，同样长为半径画弧，交于一点，连接射线端点与弧的交点，所得角即为所求；
1. （2024·吉林）如图，用尺规作图完成下列作图步骤：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点C、D；
②以点B为圆心，以长为半径画，交射线于点，点F与点C在的异侧）；
③以点E为圆心，以长为半径画，交于点N，作射线即可得到，连接、．
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．， D．的依据是
【答案】D
【详解】解：由作图可知，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
1．综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：(1)如图2，在射线上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部；
(2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线．
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
【答案】D
【分析】本题考查平行线性质和判定，等腰三角形性质，角平分线判定，熟练掌握相关性质并灵活运用得到其证明过程，根据其过程判断不可能用到的依据即可．
【详解】解：，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故A、B会用到，不符合题意；
以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，
，
（等边对等角），
，
射线就是的平分线．
故C会用到，不符合题意；
综上所述，D不可能用到，
故选：D．
2．如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故不符合题意；
D．不一定成立，故符合题意．
故选：D
3．已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
(1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）．
证明：在矩形中，有，，，．
在和中
．
② ．
③ ．
四边形为平行四边形④ （填写推理依据）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形
【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形证明即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：在矩形中，有，，，．
在和中
，
．
②．
③，
四边形为平行四边形④一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形）．
故答案为：，，，一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形．
4．如图，已知．
(1)尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：∵（已知）
∴①________（②________）
∵（已知）
∴③________（④________）
∴（⑤________）
【答案】(1)作图见详解
(2)①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合分析思想是解题的关键．
（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可；
（2）根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求点的位置，
（2）证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行
5．如图，在中，D，E分别是边的中点．
(1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查复杂作图，平行线分线段成比例以及三角形中位线的性质定理，正确作图是解答本题的关键．
（1）作即可；
（2）连接，证明是的中位线即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，点F，线段即为所求．
（2）证明：如图，连接．
∵D，E分别是边的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
又∵D为的中点，
∴，
∴，即,
∴F为的中点．
∴是的中位线．
∴．
模型02 作角平分线
考｜向｜预｜测
作角平分线该题型主要以选择、填空形式出现，在解答题中主要考查角平分线的性质，根据性质作对应图形，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握角平分线的性质是考试的重点，在应用题型中，根据题意会进行尺规作图画角平分线，有时依据题意画平行线时也是画角平分线。
答｜题｜技｜巧
以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两点M、N；
以M点为圆心，MN的距离为半径画弧，再以N点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于点P；
连接角的顶点和P点，所画直线即为所求．
1．（2024·山东泰安）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
【答案】25
【详解】解：∵，．
∴，
根据作法得：垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
由作法得：平分，
∴，
故答案为：．
1．如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据作角平分线的痕迹和过直线外一点的作直线的垂线的痕迹可得，是的平分线，是的垂线，再根据条件证明三角形全等，即可一一判断即可；
【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得：是的平分线，是的垂线，
∴
∴，
在和中，
∴
∴，
∵无法确定，不能得到．
综上所述：B，C，D不符合题意，A符合题意，
故选A．
2．如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据尺规作图作角平分线即可；
（2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求；
（2）解：证明：为平分线，
．
又，
．
在和中，
（SAS）．
3．如图，已知．
(1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的度数．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求；
（2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求；
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
4．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明）
(2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？
(3)若，，求的半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)2
【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆；
（2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形；
（3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，为所求：
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
连接，
∵是的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴
∴
∴
∵
∴
∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2．
模型03 作线段垂直平分线
考｜向｜预｜测
作线段垂直平分线该题型近年在尺规作图题型中主要考①到两点的距离相等的点；②作三角形的外接圆；③找对称轴（旋转中心）；④找圆的圆心等几个方面。让学生真正理解线段垂直平分线的性质是本节内容的重心，尺规作线段垂直平分线是中考的必考内容之一。考题常以选择、填空等形式出现，该题型主要难点在熟练应用线段垂直平分线的性质，会画线段的垂直平分线，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
1. 以线段任一端点为圆心，大于一半的长为半径上下画弧；
2. 以线段另一端点为圆心，同样长为半径画弧，所画弧交于两点MN；
3. 连接MN，MN所在直线即为所求；
1．（2024·山东）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
【答案】25
【详解】解：∵，．
∴，
根据作法得：垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
由作法得：平分，
∴，
故答案为：．
1．我们在苏科版数学七年级下册第九章中学习了一些基本尺规作图．请用无刻度的直尺和圆规完成下列基本作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图① 中，请作出已知线段的垂直平分线；
(2)在图② 中，请作出已知角的平分线；
(3)在图③ 中，请作出过直线外一点P，且垂直于直线的直线（点Q是垂足）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图——作线段垂直平分线、角平分线、过直线外一点作直线垂线 ，解题关键是依据相关几何性质准确运用圆规和直尺进行作图操作．
（1）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧（两弧分别相交于、两点． 连接，直线就是线段的垂直平分线．
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ．分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于内部一点．连接，射线就是的平分线．
（3）以点为圆心，适当长为半径画弧，使弧与直线相交于两点、 ．分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于直线另一侧一点（与在异侧 ）．连接，交于点Q直线就是过点且垂直于直线的直线，点为垂足．
【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；
（2）如图所示射线FH即为所求
（3）如图所示：直线即为所求
2．如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法画图即可；
（2）证明是等腰直角三角形，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
的周长．
3．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形．
证明：∵，
∴①______．
∵垂直平分．
∴且②______．
在和中，
∴．
∴，
则四边形是④______．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：
四边形是⑤________．
【答案】(1)见解析
(2)①②④平行四边形⑤正方形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图解答即可；
（2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论．
本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下：
（2）证明：∵，
∴．
∵垂直平分．
∴且．
在和中，
∴．
∴，
则四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
∵，
四边形是正方形．
故答案为：①②④平行四边形⑤正方形．
4．如图，在中，是对角线．
(1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
模型04 作垂线（过一点作垂线或圆的切线）
考｜向｜预｜测
作垂线（过一点作垂线或圆的切线）该题型主要包括①过直线上一点作垂线；②过直线外一点作垂线；③过圆上一点作切线；④作高等。几种题型的核心点均是作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质进行解题。
答｜题｜技｜巧
1. 以所过点为圆心，以一定长度为半径截取线段长（如果点在线段上以任意长度为半径，如果点在线段外以大于点到线段的长为半径）；
2. 作该线段的垂直平分线；
3. 过该点的线段垂直平分线即为所求；
1．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：和上一点．
求作：的切线，使经过点．
作法如下：①连接并延长，以为圆心，线段长为半径作弧，交射线于点；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，同样操作，得点（不与点重合）；
③作直线，则就是所求作的的切线．
请根据尺规作图的步骤和痕迹，回答下列问题：
(1)步骤③中判断是的切线的依据是（ ）
A．与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
B．与半径垂直的直线是圆的切线
C．如果圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线
(2)连接，，，求的半径的长．
【答案】(1)B
(2)的半径的长为
【分析】本题考查了作图-基本作图，圆的切线判定定理，线段垂直平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关知识的解题的关键．
（1）由作图可知垂直平分，因为是的半径，所以是的切线，即可得到答案；
（2）由题意得到，得到．
【详解】（1）解：由作图可知垂直平分，
是的半径，
是的切线，
故选：B．
（2）解：如图，
，
，
，
，
的半径的长为．
1．已知：如图，钝角三角形．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)尺规作图：在（1）的条件下，作，垂足为H，连接，直接确定与的大小关系为 ．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解，
【分析】本题主要考查垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质是解题的关键；
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，分别与边、分别交于点D、E两点，进而问题可求解；
（2）延长，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于两点，然后根据垂线的作法进行作图，由作图可知，，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：所作图形如图所示，
由作图可知：垂直平分，，
∴，
∴，
∴．
2．如图，已知，是边上的中线，垂足为．
(1)求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可．
（2）证明，可得，则，即是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）证明：，，
．
是边上的中线，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
3． 如图，与相切于点A．
(1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图，圆的性质，切线长定理，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，作直线即可．
（2）连接，与交于点，由切线的性质证明，求出，再利用勾股定理求出的值，再利用垂径定理进行计算即可．
【详解】（1）解：连接作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，作直线即可．
（2）解：连接，与交于点，
的切线，
，
，
，
，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
．
4．如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上．
(1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证：与相切；
(3)当，时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
模型05 仅用无刻度直尺作图
考｜向｜预｜测
仅用无刻度直尺作图该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与几何相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。无刻度直尺作图，掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识点是解题的关键。
答｜题｜技｜巧
1. 确定所求结论（一般作角相等或垂直）；
2. 无刻度直尺只能连线，根据题意连接线段长或射线；
3. 注意利用几何知识点的性质，比如说角相等的判定、圆的相关知识点等；
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析．
【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求．
理由：由作图可得：，，
，
，
，，
，
是等边三角形．
2．如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，．
(1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
(2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）．
思路：
①在的延长线上取点F，使得，连接．
②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得；
③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出；
④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）．
【答案】(1)作图见解析
(2)；；；；
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”即可求解；
③证出，由直角三角形的性质即可求解；
④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：①在的延长线上取点F，使得，连接．
②由作图知垂直平分，
∴，，
∵，
∴，；
③设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
④∴，
∴，
故答案为：；；；；．
1．（2024·山东）如图，中，点在第二象限，点在轴正半轴上，轴，，，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①求作等腰三角形，点在第一象限，，点为的中点；
②求作菱形；
(3)将菱形沿轴向下平移多少个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上？
【答案】(1)
(2)①图见解析；②图见解析
(3)将菱形沿轴向下平移4个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上
【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，尺规作图，反比例函数图象的性质，
（1）将点A的坐标代入关系式可得答案；
（2）①以点O为圆心，为半径画弧，再以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C，连接，则即为所求作的三角形；
以点B为圆心，为半径画弧，交y轴于点D，连接，则四边形为所求作的四边形．
【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为．
把，代入中，
得，
解得：．
反比例函数的解析式为；
（2）解：①如图；
②如图；
（3）解：由于、两点到轴的距离都是2，
故将菱形沿轴向下平移4个单位长度后点会落在该反比例函数的图象上．
2．（2024·四川）（1）如图1，在中，尺规作图：画出的角平分线和的角平分线，的角平分线交于点，交的角平分线于点（保留作图痕迹，不写作法，标出点F和点D）
（2）如图2，在（1）的基础上，已知，点在上且，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法作出和的角平分线即可；
（2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质得出，由得出，进而推出，再利用平行线的性质即可求出的大小．
【详解】解：（1）如图所示，图形即为所求：
（2）是的角平分线，是的角平分线，
，，，
，
，
，
，
，
．
3．（2024·南京）如果三个数满足，即，那么称是和的比例中项．比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图，点在数轴上分别表示实数，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点，使得点表示的正数，恰好是数和的一个比例中项．方法如下：
第步：作以为直径的圆；
第步：______的其中一点记为点；
．以为圆心，为半径画圆，交圆
．以原点为圆心，为半径画圆，交圆
．以为直径作圆，交圆
．作的垂直平分线，交圆
．以为直径作圆，再过点作的垂线，交圆
第步：以原点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求．
(1)请选出你认为第步中正确作法对应的字母：______（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点，要求保留作图痕迹，不需要写出作法．
(2)若，写出此时圆的直径______．
【答案】(1)或，理由见解析
(2)
【分析】（）根据作图步骤判断即可求解；
（）根据比例中项的定义及（）中的结果解答即可求解；
本题考查了比例式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：第步中正确作法对应的字母：或，理由如下：
选：
证明：如图，连接，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，故点即为所求；
选：
证明：如图，连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴，
即，故点即为所求；
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2024·安徽）阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练．
任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程．
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
（1）根据小华的作法，证明是的平分线；
（2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长．
【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析；（2）13
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务一：由作图得，，再结合即可证明；
任务二：（1）由题意可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角可得，从而得出，即可得证；
（2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出．同理可证，再由三角形周长公式计算即可得解．
【详解】任务一：由作图得：，，
∵，
∴；
任务二：
（1）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即是的平分线．
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
同理可证：．
∴的周长．
1．如图，四边形是平行四边形．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的作图，菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图方法与菱形的判定方法是解题的关键，
（1）运用尺规作图作角平分线的方法作图即可；
（2）根据已知条件结合作图可得，，由菱形的判定即可证得结论．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）证明：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
由作图可知，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
2．如图，为的直径，点D在上，．
(1)尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，交与点E，求扇形的面积．
【答案】(1)见解答
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线，利用垂径定理解答即可；
（2）先根据垂径定理可得，则，最后由扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求；
（2）解：如图2，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
扇形的面积．
3．如图，在中，平分交于点D．
(1)尺规作图：过点D作，垂足为点E（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下：
①判断和之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到．
（1）根据过已知点作线段垂直平分线的作法，即可求解；
（2）①证明，可得；
②由全等三角形的性质可得，再证得，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：①判断：，
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：由可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长；
(2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）由点P到的距离（的长）等于的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）如图，线段即为所求．
5．阅读与思考
请阅读以下材料，并完成相应的任务．
《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线．
(1)下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，和外一点P．
求作：过点P的的切线．
作法一：①连结，作线段的中点M；
②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和．
直线即为所求作的切线．
请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明．
证明：连接，
由作法可知，为的直径，
（________）（填推理的依据），
，
点A在上，
直线是圆的切线（________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．
(2)李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法：
作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由．
【答案】(1)补全图形见解析，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理及其推论，切线的判定定理，辅助圆的构造思路，构造辅助线是解题的关键．
（1）连接，以为直径构造辅助圆，与交于两点，作直线即可，连接，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线；
（2）先证是的中点，根据是等腰三角形，利用“三线合一”证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，
，
证明：连接，
由作法可知，为的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
点A在上，
直线是圆的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线也是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（2）证明：是的直径，点在上，
，
，
，即为的中点，
由作图可知，，
，
为的切线．
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