专题03方程（组）与不等式（组）的应用
题型解读｜模型构建｜真题演练｜模板应用
模型01 一元一次方程的应用
一元一次方程的应用题型
1.行程问题
路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）
2.工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
3.利润问题：
利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣
4.等积变形问题
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
5.利息问题
利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
模型02 二元一次方程组应用
二元一次方程组应用：
1.行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
2.配套问题：实际数量比＝配套比
3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
模型03 分式方程应用
分式方程的应用解法步骤及题型：
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．
（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.
模型04 一元二次方程应用
一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
5. 利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
模型05 一元一次不等式的应用
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
模型06 一元一次不等式组的应用
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
模型01 一元一次方程方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
利用一元一次方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤
审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
列：根据等量关系列出方程．
解：解方程，求得未知数的值．
答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
（2024 北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
【分析】设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意列方程求出x的值，即可求解．
【详解】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，
根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，
解得x＝68，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，
∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．
1．（2024 陈仓区三模）随着天气越来越炎热，风扇的销量逐渐增加，某商场以240元/件的价格购进A品牌的空气循环扇，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价．
【分析】设该商品的原售价为m元/件，根据按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同得：m﹣240＝2（0.8m﹣240），即可解得答案．
【详解】解：设该商品的原售价为m元/件，
根据题意得：m﹣240＝2（0.8m﹣240），
∴m﹣240＝1.6m﹣480，
解得：m＝400．
答：该商品的原售价为400元/件．
2．（2024 安徽三模）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为5：8，求甲、乙两组原来各有多少人．
【分析】设甲组原有x 人、乙组原有y 人，根据“从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同”，“将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为5：8”，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲组原有x人、乙组原有y人，
，
解得：，
答：甲组原有15人、乙组原有11人．
3．（2024 复兴区校级模拟）学校“六一儿童节”活动，设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红、小华和小明的有效成绩情况如下：如果小红得了65分，小华得了71分，求：
（1）掷中A区、B区一次各得多少分？
（2）按照这样的计分方法，小明得了多少分？
【分析】（1）可设掷中A区一次得x分，则掷中B区一次得（65﹣3x）分，根据小华得了71分可得方程求解即可；
（2）小明得了多少分＝掷中A区一次得分×2+掷中B区一次得分×6，依此列式计算即可求解．
【详解】解：（1）设掷中A区一次得x分，则掷中B区一次得（65﹣3x）分，
依题意，得：5x（65﹣3x）×3＝71，
解得：x＝10，
∴（65﹣3x）（65﹣30）＝7．
答：掷中A区一次得10分，掷中B区一次得7分．
（2）10×2+7×6＝62（分）．
答：小明得了62分．
4．（2024 秦淮区一模）新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．
兔子的速度是乌龟速度的50倍
，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是 50x m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 （t﹣70） min．
（2）求（1）中t的值．
【分析】（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是50x m/min，利用兔子奔跑的时间＝乌龟奔跑的时间﹣70，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；
（2）利用路程＝速度×时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为t min，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50x m/min，
由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t﹣70）min．
故答案为：50x，（t﹣70）；
（2）根据题意得：x t＝50x （t﹣70），
即t＝50（t﹣70），
解得：t．
答：（1）中t的值为．
5．（2024 郸城县模拟）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．
（1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？
（2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由．
【分析】（1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可；
（2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果．
【详解】解：（1）设该店有客房x间，
由题意得，7x+7＝9（x﹣1），
解得x＝8，
得7×8+7＝63（人），
答：该店有客房8间，到了63名房客；
（2）若每间房最多入住4人，得63÷4＝15，
则至少需要16间客房，
由不低于10间但低于20间，给予九折优惠，
得订16间房需要付0.9×25×16＝360（元），
由等于20间或是超过20间的，给予七折优惠，
得订20间房需要付0.7×25×20＝350（元），
∵350＜360，
∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算．
6．（2024 陕西）塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3？
【分析】设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，根据现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该林场原来的林木总蓄积是x万m3，则现在该林场的林木总蓄积是（31x+17）万m3，
根据题意得：31x+17﹣x＝1007，
解得：x＝33．
答：该林场原来的林木总蓄积是33万m3．
模型02 二元一次方程组的应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
求解
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（2024 济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：m．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
1．（2024 通辽）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．
【分析】（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据“购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据购买三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校采购这两种机器所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最节省费用的购买方案．
【详解】解：（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元；
（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，
根据题意得：50﹣mm，
解得：m．
设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w＝65m+110（50﹣m），
即w＝﹣45m+5500，
∵﹣45＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当m＝33时，w取得最小值，此时50﹣m＝50﹣33＝17，
∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机．
2．（2024 碑林区校级模拟）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车：两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车．
【分析】设共有x人出行，y辆车，根据“如果三人同乘一辆车，则空余两辆车：两人同乘一辆车，则有九人步行”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共有x人出行，y辆车，
根据题意得：，
解得：．
答：共有39人出行，15辆车．
3．（2024 涧西区一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大？
【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司加购m台甲型自行车，则加购（30﹣m）台乙型自行车，利用总进价＝进货单价×进货数量，结合总进价不超过21000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，利用总利润＝每台甲型自行车的销售利润×销售数量（购进数量）+每台乙型自行车的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是100元，一台乙型自行车的利润是170元；
（2）设该公司加购m台甲型自行车，则加购（30﹣m）台乙型自行车，
根据题意得：650m+800（30﹣m）≤21000，
解得：m≥20．
设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则w＝100m+170（30﹣m），
即w＝﹣70m+5100，
∵﹣70＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时30﹣m＝30﹣20＝10（台）．
答：该公司加购20台甲型自行车，10台乙型自行车时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大．
4．（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
【分析】设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，根据“农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，
根据题意得：，
解得：．
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
5．（2024 虎林市校级四模）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）①根据题意可得小客车a辆运的人数+大客车b辆运的人数＝400，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可．
【详解】解：（1）设每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生
根据题意，得，
解得，
m+n＝20+45＝65，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（2）①由题意得：20a+45b＝400，
∴b，
∵a、b为非负整数，
∴或 或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：200×20＝4000（元），
方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），
方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），
∵3720＞3440，
∴方案三租金最少，最少租金为3440元．
6．（2024 连州市二模）随着我国农业现代化进程的加速推进，农用无人机已成为推进农业机械化的重要力量，对缓解农村劳动力短缺、提高农业生产力和资源利用率、增强病虫害防控能力、保障国家粮食和生态安全具有重要意义．某农业园区计划对稻田进行农药喷洒，若使用传统的人工喷洒方式，则需要8个工人工作5天；若使用一架农用无人机，则需要6个小时．已知农用无人机平均每小时喷洒的面积比每个工人平均每天喷洒的面积多59.5亩（1亩≈666.7平方米），求每个工人平均每天喷洒的面积和一架农用无人机平均每小时喷洒的面积．
【分析】设每个工人平均每天喷洒的面积为x亩，一架农用无人机平均每小时喷洒的面积为y亩，根据“若使用传统的人工喷洒方式，则需要8个工人工作5天；若使用一架农用无人机，则需要6个小时，且农用无人机平均每小时喷洒的面积比每个工人平均每天喷洒的面积多59.5亩”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每个工人平均每天喷洒的面积为x亩，一架农用无人机平均每小时喷洒的面积为y亩，
根据题意得：，
解得：．
答：每个工人平均每天喷洒的面积为10.5亩，一架农用无人机平均每小时喷洒的面积为70亩．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
（2024 绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．
【分析】（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得45≤m≤50，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：2，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×25＝30，
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，
由题意得：，
解得：45≤m≤50，
∵m为正整数，
∴m＝45，46，47，48，49，50，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880，
∵﹣4＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝50时，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680，
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
1．（2024 石景山区二模）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米．根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米．
根据题意得：22，
解得 x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．
2．（2024 五华区校级模拟）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？
【分析】利用“用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束”，列方程，即可解答．
【详解】解：设一束B款鲜花的售价x元，则一束A款鲜花的售价为1.5x元，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴一束B款鲜花的售价为：40×1.5＝60（元）．
答：一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元．
3．（2024 汕头模拟）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【分析】（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
【详解】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，
y≥140，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书．
4．（2024 岳麓区校级三模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
【分析】（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，利用数量＝总价÷单价，结合用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可．
【详解】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，
根据题意得，
解得x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝160+40＝200．
答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，
依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600，
解得：y≥10，
∵y为正整数，
∴y的最小值为10．
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
5．（2024 雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x米，根据原计划的时间＝实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【详解】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x＝1.25x米，
根据题意得：15，
解得：x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝50，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），
根据题意得：300×75y≤180000，
解得：y≤8，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
6．（2024 重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【分析】（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“购买外墙漆总费用为15000元，且A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米，
根据题意得：5，
解得：m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
模型04 一元二次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
解：准确求出方程的解．
验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
（2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
∵240000÷1600＝150（套），
∴m＞100，
由题意得：m（160040）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300，
当m＝200时，160040＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意；
当m＝300时，160040＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去；
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
1．（2024 凉州区二模）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有100+x棵，所以总产量是（100+x）（1000﹣2x）个．要使产量增加15.2%，达到100×1000×（1+15.2%）个．
【详解】解：设多种x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100），
整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0，
解得x1＝20，x2＝380．
∵果园有100棵桃树，380＞100，
∴x2＝380不合题意，故舍去．
答：应多种20棵桃树．
2．（2024 泰山区二模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
3．（2025 江北区模拟）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
【分析】（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，根据商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设每个套尺的售价为m元，根据想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，
由题意得：2，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣4＝6，
答：商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元；
（2）设每个套尺的售价为m元，
由题意得：（m﹣6）×（305）+50×（8﹣4）＝400，
整理得：m2﹣21m+110＝0，
解得：m1＝10，m2＝11，
∵降价幅度不超过10%，
∴10%，
∴m，
∴m＝11，
答：每个套尺的售价为11元．
4．（2024 河口区校级模拟）用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为x m．
（1）如图1，若矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为78m2时，求x的值；
（2）如图2，若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，花园面积能否为110m2？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设平行于墙的一边DE的长为x m，则CD的长为m，利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于8的值即可得出结论；
（2）设BF的长为y，利用矩形的面积公式即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意得：；
解得：x1＝6，x2＝26，
∵26＞8，
∴x＝26舍去，
∴x＝6m；
答：x的值为6m；
（2）设BF＝y m；则；
整理得，y2﹣4y+14＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×14＝16﹣56＜0，
∴原方程无实数根，
即花园面积不能为110m2．
5．（2024 西藏）列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可；
（2）由题意列式计算即可．
【详解】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：商场投入资金的月平均增长率为10%；
（2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）．
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．
模型05 一元一次不等式的应用
考｜向｜预｜测
一元一次不等式的应用常以解答题的形式出现，并可以与二元一次方程组的应用、分式方程的应用相结合，通常涉及最大利润问题或方案分配问题，解题时由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
答｜题｜技｜巧
列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．
（2024 资阳）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【分析】（1）根据题意，购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200，列出二元一次方程组，求解即可．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，列出一元一次不等式即可．
【详解】解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．
则，
解得，
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，
根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，
解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个．
1．（2024 吉安一模）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率．
【分析】（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m，得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，即可求解．
【详解】解：（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m，
根据题意，得30m+20×2m≤50﹣43，
解得m≤0.1，
即排球的最大损耗率10%．
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为10%．
2．（2024 兰山区二模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
【分析】（1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售B型车m辆，则销售A型车（10﹣m）辆，利用销售总额＝每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
（2）设销售B型车m辆，则销售A型车（10﹣m）辆，
根据题意得：18（10﹣m）+26m≥220，
解得：m≥5，
∴m的最小值为5．
答：B型车至少销售5辆．
3．（2024 龙岗区校级三模）为改善城市人居环境，某区域每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数．
（2）由于垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，则至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【分析】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据12个A型和10个B型预处置点每天可处理生活垃圾920吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）设需要增设m个A型点位，则增设（5﹣m）个B型点位，根据每天处理生活垃圾的吨数不少于（920﹣10）吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，
依题意得：10x+12（x+7）＝920，
解得：x＝38．
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨．
（2）设需要增设m个A型点位，则增设（5﹣m）个B型点位，
依题意得：（38+7﹣8）（12+m）+（38﹣8）[10+（5﹣m）]≥920﹣10，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为3．
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
4．（2024 任城区校级一模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买m本乙种书，则购买（60﹣m）本甲种书，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元；
（2）设该校购买m本乙种书，则购买（60﹣m）本甲种书，
根据题意得：25（60﹣m）+50m≤2500，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买40本乙种书．
5．（2024 和平区校级模拟）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表：
价格 上衣 裤子
进价（元/件） 100 150
售价（元/件） 125 180
（1）小东的商店购进上衣和裤子各多少件？
（2）该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？
【分析】（1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据“店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每件裤子打m折，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合总利润不少于12300元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，
根据题意得：，
解得：．
答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件；
（2）设每件裤子打m折，
根据题意得：（125﹣100）×300+（180150）×200×2≥12300，
解得：m≥9，
∴m的最小值为9．
答：每件裤子至少打九折．
模型06 一元一次不等式组的应用
考｜向｜预｜测
一元一次不等式组的应用常以解答题的形式出现，并可以与二元一次方程组的应用、分式方程的应用相结合，通常涉及最大利润问题或方案分配问题，对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．对于不等式组的应用问题，有的地区已不做考纲要求.
答｜题｜技｜巧
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答．
（2024 泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【分析】（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据“购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，根据“购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍，且销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其最大值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，
根据题意得：，
解得：19≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：购进A商品的件数最多为20件．
1．（2024 达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【分析】（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，根据出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，根据A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，列出一元一次不等式组，解得595≤m≤600，再设收益为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
2．（2024 海州区校级三模）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
【分析】（1）设A种礼盒单价为2x元，则B种礼盒单价为3x元，根据两种礼盒的单价和为200元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，根据总价＝单价×数量，可得出关于a，b的二元一次方程，解之可得出b＝80a，由购进A种礼盒最多36个且B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，结合a，b均为整数即可得出a的值，进而可得出进货方案数．
【详解】解：（1）设A种礼盒单价为2x元，则B种礼盒单价为3x元，
依题意，得：2x+3x＝200，
解得：x＝40，
∴2x＝80，3x＝120，
答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元．
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，
依题意，得：80a+120b＝9600，
∴b＝80a．
∵，
∴30≤a≤36．
∵a，b的值均为整数，
∴a为3的倍数，
∴a的值为：30、33、36，
∴共有三种方案．
3．（2024 驿城区校级二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【分析】（1）根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
【详解】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x﹣40）元，
由题意可得5x+10（x﹣40）＝1100，
解得x＝100，
x﹣40＝60．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”（120﹣m）套，
由题意可得：，
解得85≤m＜90，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是31×100+60×89＝8440（元）．
4．（2024 涪城区模拟）某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，可得：，即可解得A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
（2）设购进A种零食m件，由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，得，可解得购进A、B两种零食有3种进货方案；
（3）分别算出每种方案的利润，比较即得购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
【详解】解：（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（100﹣m）件，
∵进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
∴，
解得50≤m≤52，
∵m为整数，
∴m可取50，51，52，
∴购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件；
（3）设获利w元，
购进A种零食50件，购进B种零食50件，w＝（15﹣8）×50+（10﹣5）×50＝600（元），
购进A种零食51件，购进B种零食49件，w＝（15﹣8）×51+（10﹣5）×49＝602（元），
购进A种零食52件，购进B种零食48件，w＝（15﹣8）×52+（10﹣5）×48＝604（元），
∵600＜602＜604，
∴购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
5．（2024 辽宁模拟）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元．
（1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？
（2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，根据“购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m顶帽子，则购买（50﹣m）双手套，根据“团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，且需要帽子的成员不足30人”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元；
（2）设购买m顶帽子，则购买（50﹣m）双手套，
根据题意得：，
解得：m＜30，
又∵m为正整数，
∴m可以为27，28，29，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27顶帽子，23双手套；
方案2：购买28顶帽子，22双手套；
方案3：购买29顶帽子，21双手套．
6．（2024 灞桥区校级四模）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可．
（2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可．
【详解】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，
根据题意，得30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247．
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人．
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意，得：
，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m的值可取3，4，5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆．
1．（2024 陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
【分析】设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量＝总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，
根据题意得：1，
解得：x＝2．
答：这次小峰打扫了2h．
2．（2024 辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
【分析】（1）设甲池的排水速度是x m3/h，根据“36﹣3×甲池的排水速度＝2×（36﹣3×乙池的排水速度）”列方程并求解即可；
（2）设排水t小时，根据“t小时后这两个水池剩余水量的和≥24”列关于t的一元一次不等式并求解即可．
【详解】解：（1）设甲池的排水速度是x m3/h．
根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），
解得x＝4，
∴甲池的排水速度是4m3/h．
（2）设排水t小时．
根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，
解得t≤4，
∴最多可以排水4小时．
3．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
4．（2024 江西）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【分析】（1）根据数学本和语文本的厚度，结合数学书和语文书的本书即可解决问题．
（2）用书架宽减去10本语文书的厚度，再利用数学书的本书即可解决问题．
【详解】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，
根据题意得，
0.8x+1.2（90﹣x）＝84，
解得x＝60，
所以90﹣x＝30，
答：书架上数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
则10×1.2+0.8m≤84，
解得m≤90，
所以数学书最多还可以摆90本．
5．（2024 河南）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【分析】（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7﹣m）包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为w kJ，利用每份午餐的总热量＝每包A种食品的热量×选用A种食品的数量+每包B种食品的热量×选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：．
答：应选用A种食品4包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7﹣m）包，
根据题意得：10m+15（7﹣m）≥90，
解得：m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w＝700m+900（7﹣m），
即w＝﹣200m+6300，
∵﹣200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时7﹣m＝7﹣3＝4．
答：应选用A种食品3包，B种食品4包．
6．（2024 哈尔滨）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，根据若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，根据两种中国结所用绳长不超过165米，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：，
解得：，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，
由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，
解得：m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
7．（2024 成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
【分析】（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，利用总价＝单价×数量，结合该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500千克，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种水果的销售单价为m元/千克，利用利润＝销售单价×销售数量﹣收购单价×购进数量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克；
（2）设A种水果的销售单价为m元/千克，
根据题意得：1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得：m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
8．（2024 牡丹江）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【分析】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可；
（3）分别根据（2）中三种方案分别求解即可．
【详解】解：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，
则，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得（40﹣1）×（50﹣40）+（40﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a＝9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得（41﹣1）×（50﹣40）+（39﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得（42﹣1）×（50﹣40）+（38﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a≈10.7（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
9．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定t的值，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000；
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得t≥266，
∵t为整数，
∴t最小值取267；
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400﹣t＝400﹣267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
10．（2024 青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【分析】（1）设航空模型的单价为x元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的得：，解方程并检验可得答案；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，由航空模型数量不少于航海模型数量的，得m（120﹣m），解得m≥40，而W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，根据一次函数性质可得答案．
【详解】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，
根据题意得：，
解得x＝125，
经检验，x＝125是方程的解，也符合题意，
∴x﹣35＝125﹣35＝90，
∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120﹣m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的，
∴m（120﹣m），
解得m≥40，
根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，
∵10＞0，
∴当m＝40时，W取最小值，最小值为10×40+10800＝11200，
此时120﹣m＝120﹣40＝80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少．
11．（2024 大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【分析】设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，利用用电量＝总价÷单价，结合峰时用电量与谷时用电量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，
根据题意得：，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
12．（2024 湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据2x+y＝80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；
（2）先求出x的取值范围，再将S＝750代入函数中，求出x的值；
（3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值．
【详解】解：（1）∵2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80，
∵S＝xy，
∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x；
（2）∵y≤42，
∴﹣2x+80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x＜40，
当S＝750时，﹣2x2+80x＝750，
x2﹣40x+375＝0，
（x﹣25）（x﹣15）＝0，
∴x＝25，
∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2；
（3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴当x＝20m时，S有最大值800m2．
13．（2023 郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【详解】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
1．（2025 潍坊模拟）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
（1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
（2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
【分析】（1）根据已知的方程可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可求解；
（2）①根据题意列出方程（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860，整理得到x2﹣4x+3＝0，求解即可得出结论；
②从增加销售量可以减少库存，可得结论．
【详解】解：（1）嘉嘉的说法不正确，理由如下：
200+20x＝500，
解得：x＝15，
∴30﹣15＝15元，
∵15元＜16元，
∴亏本，
∴小宇的说法不正确．
（2）①两人的说法都正确，理由如下：
依题意得：（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860，
整理得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴降价1元或3元都能达到期望目标，
∴两人的说法都正确；
②由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取王经理的意见．
2．（2024 惠山区一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润＝每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，
根据题意得：w＝8000m+5000，
即w＝﹣4500m+100000，
∵﹣4500＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时15（辆）．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
3．（2024 廊坊模拟）学校打算购买A，B两种教具，若购买60件A种教具和30件B种教具共需花费1650元；购买50件A种教具和10件B种教具共需花费1150元．
（1）求A种教具和B种教具的单价；
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案．方案一：购买A种教具超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，B种教具没有优惠；方案二：无论购买多少件A，B教具，两种教具都按原价的9折付款．该校决定购买n（n＞20且为整数）件A种教具和40件B种教具．
请根据上述信息填空．
①方案一需花费 （16n+680） 元；方案二需花费 （18n+540） 元（用含n的代数式表示）；当n＝ 70 时，方案一与方案二的花费相同，此时花费金额为 1800 ；
②当n＝84时，方案 一 更优惠（填“一”或“二”）．
【分析】（1）设每件A种教具的价格为x元，每件B种教具的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）①首先表示出方案一费用y1＝16n+680，方案二费用y2＝18n+540，然后当当y1＝y2时求解即可；
②将n＝84分别代入y1＝16n+680和y2＝18n+540求解即可．
【详解】解：（1）设每件A种教具的价格为x元，每件B种教具的价格为y元，
依题意得：，
解得：，
答：A种教具的单价为20元，B种教具的单价为15元；
（2）解：①方案一费用y1＝20×20+（n﹣20）×20×0.8+40×15＝（16n+680）元，
方案二费用y2＝（20n+40×15）×0.9＝（18n+540）元，
当y1＝y2时，16n+680＝18n+540，
解得x＝70；
∴y1＝16n+680＝16×70+680＝1800，
∴当n＝70时，“方案一”与“方案二”的花费相同，此时花费金额为1800元；
故答案为：（16n+680），（18n+540），70，1800；
②当n＝84时，y1＝16n+680＝16×84+680＝2024；
y2＝18n+540＝18×84+540＝2052，
∵2024＜2052，
∴方案一更优惠．
故答案为：一．
4．（2024 松北区二模）某商店准备购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店本次购进B种纪念品的数量比购进A种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进A种纪念品多少个？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元得：，即可解得答案；
（2）该商店本次购进A种纪念品a个，根据购进两种纪念品的总金额不超过710元得：8a+10（3a﹣5）≤710，解得a的范围，即可得到答案．
【详解】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
根据题意得：，
解得，
答：购进A种纪念品每件需8元，B种纪念品每件需10元；
（2）该商店本次购进A种纪念品a个，
根据题意得：8a+10（3a﹣5）≤710，
解得a≤2专题03方程（组）与不等式（组）的应用
题型解读｜模型构建｜真题演练｜模板应用
模型01 一元一次方程的应用
一元一次方程的应用题型
1.行程问题
路程=时间×速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间；
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米/秒、米/分、千米/时间）
2.工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
3.利润问题：
利润=售价－进价，利润率=利润÷进价，售价=标价×折扣
4.等积变形问题
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
5.利息问题
利息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
模型02 二元一次方程组应用
二元一次方程组应用：
1.行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
2.配套问题：实际数量比＝配套比
3.商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
4.工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
模型03 分式方程应用
分式方程的应用解法步骤及题型：
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．
（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.
模型04 一元二次方程应用
一元二次方程的应用主要有以下几种题型：
1.数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
2.增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
5. 利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
模型05 一元一次不等式的应用
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
模型06 一元一次不等式组的应用
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
模型01 一元一次方程方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
利用一元一次方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤
审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
列：根据等量关系列出方程．
解：解方程，求得未知数的值．
答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
（2024 北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
1．（2024 陈仓区三模）随着天气越来越炎热，风扇的销量逐渐增加，某商场以240元/件的价格购进A品牌的空气循环扇，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价．
2．（2024 安徽三模）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为5：8，求甲、乙两组原来各有多少人．
3．（2024 复兴区校级模拟）学校“六一儿童节”活动，设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红、小华和小明的有效成绩情况如下：如果小红得了65分，小华得了71分，求：
（1）掷中A区、B区一次各得多少分？
（2）按照这样的计分方法，小明得了多少分？
4．（2024 秦淮区一模）新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．
兔子的速度是乌龟速度的50倍
，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是 m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 min．
（2）求（1）中t的值．
5．（2024 郸城县模拟）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．
（1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？
（2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由．
6．（2024 陕西）塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3？
模型02 二元一次方程组的应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
求解
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（2024 济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
1．（2024 通辽）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．
2．（2024 碑林区校级模拟）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车：两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车．
3．（2024 涧西区一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大？
4．（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
5．（2024 虎林市校级四模）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
6．（2024 连州市二模）随着我国农业现代化进程的加速推进，农用无人机已成为推进农业机械化的重要力量，对缓解农村劳动力短缺、提高农业生产力和资源利用率、增强病虫害防控能力、保障国家粮食和生态安全具有重要意义．某农业园区计划对稻田进行农药喷洒，若使用传统的人工喷洒方式，则需要8个工人工作5天；若使用一架农用无人机，则需要6个小时．已知农用无人机平均每小时喷洒的面积比每个工人平均每天喷洒的面积多59.5亩（1亩≈666.7平方米），求每个工人平均每天喷洒的面积和一架农用无人机平均每小时喷洒的面积．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
（2024 绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．
1．（2024 石景山区二模）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
2．（2024 五华区校级模拟）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？
3．（2024 汕头模拟）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
4．（2024 岳麓区校级三模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
5．（2024 雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
6．（2024 重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
模型04 一元二次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
解：准确求出方程的解．
验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
（2024 淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
1．（2024 凉州区二模）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
2．（2024 泰山区二模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
3．（2025 江北区模拟）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
4．（2024 河口区校级模拟）用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为x m．
（1）如图1，若矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为78m2时，求x的值；
（2）如图2，若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，花园面积能否为110m2？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由．
5．（2024 西藏）列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
模型05 一元一次不等式的应用
考｜向｜预｜测
一元一次不等式的应用常以解答题的形式出现，并可以与二元一次方程组的应用、分式方程的应用相结合，通常涉及最大利润问题或方案分配问题，解题时由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
答｜题｜技｜巧
列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．
（2024 资阳）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
1．（2024 吉安一模）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率．
2．（2024 兰山区二模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
3．（2024 龙岗区校级三模）为改善城市人居环境，某区域每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数．
（2）由于垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，则至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
4．（2024 任城区校级一模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
5．（2024 和平区校级模拟）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表：
价格 上衣 裤子
进价（元/件） 100 150
售价（元/件） 125 180
（1）小东的商店购进上衣和裤子各多少件？
（2）该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？
模型06 一元一次不等式组的应用
考｜向｜预｜测
一元一次不等式组的应用常以解答题的形式出现，并可以与二元一次方程组的应用、分式方程的应用相结合，通常涉及最大利润问题或方案分配问题，对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．对于不等式组的应用问题，有的地区已不做考纲要求.
答｜题｜技｜巧
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答．
（2024 泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
1．（2024 达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
2．（2024 海州区校级三模）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
3．（2024 驿城区校级二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
4．（2024 涪城区模拟）某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
5．（2024 辽宁模拟）某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元．
（1）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？
（2）经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？
6．（2024 灞桥区校级四模）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
1．（2024 陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
2．（2024 辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
3．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
4．（2024 江西）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
5．（2024 河南）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
6．（2024 哈尔滨）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
7．（2024 成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
8．（2024 牡丹江）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
9．（2024 宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
10．（2024 青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
11．（2024 大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
12．（2024 湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
13．（2023 郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
1．（2025 潍坊模拟）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
（1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
（2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
2．（2024 惠山区一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
3．（2024 廊坊模拟）学校打算购买A，B两种教具，若购买60件A种教具和30件B种教具共需花费1650元；购买50件A种教具和10件B种教具共需花费1150元．
（1）求A种教具和B种教具的单价；
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案．方案一：购买A种教具超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，B种教具没有优惠；方案二：无论购买多少件A，B教具，两种教具都按原价的9折付款．该校决定购买n（n＞20且为整数）件A种教具和40件B种教具．
请根据上述信息填空．
①方案一需花费 元；方案二需花费 元（用含n的代数式表示）；当n＝ 时，方案一与方案二的花费相同，此时花费金额为 ；
②当n＝84时，方案 更优惠（填“一”或“二”）．
4．（2024 松北区二模）某商店准备购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要94元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要100元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店本次购进B种纪念品的数量比购进A种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进A种纪念品多少个？
5．（2024 南山区校级三模）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
6．（2024 高新区校级三模）川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元．
（1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价；
（2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的，当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
7．（2024 驻马店四模）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装．经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．
（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？
（2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价．求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．
8．（2024 临邑县一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
9．（2025 大渡口区模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
10．（2024 泰山区校级模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？
11．（2024 龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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