专题04函数的图象与性质
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 一次函数的性质与应用
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k<0时图象过二四象限.
显然，第（2）种方法更简单快捷．
模型02 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，
双曲线
图象
位于第一、三象限 位于第二、四象限
自变量x 的取值范围
增减性 在其每一象限内，y随x的增大而减小 在其每一象限内，y随x的增大而增大
中心对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性 反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线
模型03 二次函数的图象性质应用
二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数一般式的性质：
配方：二次函数
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值．
向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值．
4．二次函数顶点式()的性质：
a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性
向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．
向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．
模型01 一次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
一次函数的图象与性质的题型中图象与性质在解答题中考查的较多，一次函数的应用主要是函数的图象的综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，还会与三角形、四边形综合，涉及全等三角形、等腰三角形、特殊的四边形等.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
解答此类问题的关键是掌握一次函数y=kx+b的主要性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升，函数必过第一、三象限；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，函数必过第二、四象限．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
’
（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴，y轴于点点C在x轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标；
(3)若点，在轴上是否存在点Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
2．（2025·河北邯郸·一模）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，点，点的坐标分别为、，点是线段上一动点（点不与点重合），点在轴正半轴上，四边形是矩形，且．设，矩形与重合部分的面积为．根据上述条件，回答下列问题：
(1)当矩形的顶点在直线上时， ；
(2)当时，的值为 ；
(3)求出与的函数关系式．
4．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点．
(1)设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围．
模型02 反比例函数与一次函数综合问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与一次函数问题在中考中经常出现，难度不大，常考的有根据反比例函数与一次函数图象交点构造产生的几何图形或线段的数量关系，求图形面积或反比例函数系数k的值，根据交点结合函数图象比较函数值大小
答｜题｜技｜巧
反比例函数与一次函数求交点坐标：联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称；
求反比例函数与一次函数的解析式：待定系数法，把所给的点的坐标代入，联立方程、方程组
结合图象比较函数值的大小
求相关图形的面积问题
（2025·贵州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D，若，请直接写出n的取值范围．
1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点．
(1)求反比例函数的关系式与的值；
(2)根据图像直接写出不等式时的取值范围．
2．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点，点 B 在 x 轴正半轴上．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请在的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
点P到两边的距离相等； ．
(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
3．（2025·河南·一模）如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由．
4．（2025·河南商丘·一模）如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点．
(1)填空： ， ，点B 的坐标为____ ．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)以为边在上方作等边三角形，求点的坐标．
模型03 反比例函数与几何问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
反比例函数的k值及面积问题
如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，．
(1)______，______，______．
(2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．
(1)求k的值；
(2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围；
(3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F 在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在
上．
(1)求a，k 的值；
(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和
3．如图，已知反比例函数（，k是常数）的图像经过点，在双曲线上有一动点，作轴，垂足为M，轴，垂足为N，与的交点为C．
(1)若时，求证：；
(2)若是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)若与的相似比为，在x轴上找一个点P，使得
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
4．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
(1)求的度数及点的坐标；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
(3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
模型04二次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次方程和不等式相结合。二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
答｜题｜技｜巧
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之间的关系
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
（2025·广东揭阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
(3)若，当时，求a的取值范围．
1．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小；
(3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值．
2．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点 、 ．
(1)若点的坐标为，
①_______，点的坐标为______；
②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______；
(2)若，求证：．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数．
(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，．
(1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值；
(2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围；
(3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值．
模型05二次函数的对称性与最值问题
考｜向｜预｜测
二次函数的性质在中考一般一压轴题的形式出现，常考的题型特征有：在二次函数解析式中含有未知参数的背景下，通过判断对称轴与所给自变量区间的位置关系，讨论二次函数的增减性、最值问题
近几年的考法主要是：
（1）在含参取值范围内，已知最值或最大最小值的关系，求参数的值或取值范围
（2）已知自变量取值范围，求抛物线中最值或已知最值范围求参数的取值范围
答｜题｜技｜巧
区间内二次函数的最值问题
（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数）
(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．
2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，已知拋物线过点，，，（点C，D不重合）．
(1)比较和的大小，并说明理由；
(2)将抛物线在A，B之间的部分（含A，B）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在C，D之间的部分（含C，D）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求a的取值范围．
3．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
5．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数．
(1)若函数经过点，求抛物线的对称轴；
(2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）.
(3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围．
一、解答题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数
的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
7．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
8．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
9．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
10．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
1．（2025·河南安阳·一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求的长．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，这是一个“数值转换机”．当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当时，求与之间的关系式．
(2)当时，求输入的的值．
(3)若输出的值为正数，则输入的的取值范围是________．
3．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为，
(1)求直线的函数表达式．
(2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标．
(3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标．
4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为．
(1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值．
(2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值．
(3)若，直接写出的值．
6．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小；
(3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值．
7．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点且与直线的
一个交点为．
(1)求的值；
(2)判断抛物线的顶点是否在直线上；
(3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
8．（24-25九年级上·北京房山·期末）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
(1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
(2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．
9．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数的解析式为．
(1)若点在该二次函数的图象上，求的值；
(2)若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
(3)当时，函数有最大值和最小值，求证：．
10．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
(3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04函数的图象与性质
题型解读｜模型构建｜通关试练
模型01 一次函数的性质与应用
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k<0时图象过二四象限.
显然，第（2）种方法更简单快捷．
模型02 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，
双曲线
图象
位于第一、三象限 位于第二、四象限
自变量x 的取值范围
增减性 在其每一象限内，y随x的增大而减小 在其每一象限内，y随x的增大而增大
中心对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性 反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线
模型03 二次函数的图象性质应用
二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数一般式的性质：
配方：二次函数
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值．
向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值．
4．二次函数顶点式()的性质：
a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性
向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．
向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．
模型01 一次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
一次函数的图象与性质的题型中图象与性质在解答题中考查的较多，一次函数的应用主要是函数的图象的综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，还会与三角形、四边形综合，涉及全等三角形、等腰三角形、特殊的四边形等.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
解答此类问题的关键是掌握一次函数y=kx+b的主要性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升，函数必过第一、三象限；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降，函数必过第二、四象限．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
’
（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
【知识点】一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、动点问题的函数图象、求一次函数解析式
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴，y轴于点点C在x轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标；
(3)若点，在轴上是否存在点Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、全等三角形综合问题
【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等和相似等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点C作直线交y轴于点，取，过点L作直线交直线于点，则点，取，过点作直线交于点M，则此时，点为所求点，即可求解；
（3）分两种情况分别是点Q在B点的左边和右边进行讨论，在右边时由于内错角相等，两直线平行，故只要作直线平行于即可得到点Q坐标；在左边的情况是，则再求出点Q坐标即可．
【详解】（1）解：直线分别交x轴，y轴于点，
则点的坐标分别为：，
，则，
则点，
设直线的表达式为，
将点C的坐标代入上式得：，则，
则直线的表达式为：；
（2）解：设M坐标为，
可看成为底，高为C到距离的三角形，
过点C作直线交y轴于点，则解析式为，
代入得，解得，
故解析式为，
∴点，
取，则点，
过点L作直线交直线于点，
则，
故此时到距离为点C到距离2倍， 则此时，
取，
过点作直线交于点M，
同理则此时，
点为所求点，
∵直线且点，
则直线l的表达式为：，
同理可得：直线k的表达式为：，
分别联立和直线的表达式得：或，
解得：或，
即点M的坐标为：或；
（3）解：存在；
情况一：作，
，，
，
，
所以点Q坐标为：．
情况二：取，
则，，
在和中，
，
，
此时坐标为：．
综上所述：点坐标为：或．
2．（2025·河北邯郸·一模）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)7
(3)或或
【知识点】一次函数与几何综合、正比例函数的图象
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）分三种情况：①当经过点时，②当时，③当时，根据一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得：，
解得；
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
由（1）已得：，
∴的边上的高为4，的边上的高为6，
∴．
（3）解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形，
∴①当经过点时，则，解得；
②当时，则；
③当时，则；
综上，的值为或或．
3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，点，点的坐标分别为、，点是线段上一动点（点不与点重合），点在轴正半轴上，四边形是矩形，且．设，矩形与重合部分的面积为．根据上述条件，回答下列问题：
(1)当矩形的顶点在直线上时， ；
(2)当时，的值为 ；
(3)求出与的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)①当时，，
②当时，，
③当时，
【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的综合运用，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．
（1）证明，利用线段比求出值；
（2）当时，点与重合，证明求出；
（3）分三种情况讨论，根据的取值范围求出的值．
【详解】（1）解：（1）由题意可得，，
∴，
∴，
由题意可知：，，，
∴，
解得：，
∴当点在直线上时，；
故答案为：；
（2）解：当时，点与重合，设与交于点，
，
，
，
解得：，
故答案为：；
（3）解：①当时，，
②当时，，
③当时，
理由如下：
①当时，如图（1），
②当时，如图（2），
设直线的函数解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为
，，
，，
；
③当时，如图（3），
，
，
，
，
，
，
综上所述：①当时，，
②当时，，
③当时，．
4．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点．
(1)设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)能，当时，四边形能构成矩形
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到，可证，得到，即可得到，令，得到，可得；
（2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可．
【详解】（1）解：：∵，
，
，
，
，
，，
，
；
设，
∴，
，，
设，
，
；
令，则，
的取值范围为；
（2）解：当四边形为矩形时，，即，
则，
解得， (舍)，，
∴当时，四边形能构成矩形．
5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围．
【答案】(1)；
(2)图象见解析，当时随的增大而减小（答案不唯一）；
(3)．
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、画一次函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】此题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象和性质、勾股定理，根据题意数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）分别求出直线经过点和点时的值，结合图象写出答案即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
当时，，
∴，
如图，过作于，过作于，
∴，
∴，
∵，于，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴．
综上所述， ．
（2）解：如图，函数的图象如图所示；
性质：当时随的增大而减小（答案不唯一）．
（3）解：如图，
当直线与经过点时，，
当直线与经过点时，，则，
结合图象可知，直线的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围是．
6
模型02 反比例函数与一次函数综合问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与一次函数问题在中考中经常出现，难度不大，常考的有根据反比例函数与一次函数图象交点构造产生的几何图形或线段的数量关系，求图形面积或反比例函数系数k的值，根据交点结合函数图象比较函数值大小
答｜题｜技｜巧
反比例函数与一次函数求交点坐标：联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称；
求反比例函数与一次函数的解析式：待定系数法，把所给的点的坐标代入，联立方程、方程组
结合图象比较函数值的大小
求相关图形的面积问题
（2025·贵州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D，若，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式即可得出的值，从而得出反比例函数的解析式以及的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可得解；
（2）由题意可得，，结合得出，，结合可得，再分情况解不等式即可得解．
【详解】（1）解：将代入中，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入中，得，
∴，
将，分别代入中，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图：
∵点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D，
∴，，
由（1）可得：
∴，，
∵
∴，
当，即时，，
解得：，
当，即时，，
解得：
综上所述，或．
1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点．
(1)求反比例函数的关系式与的值；
(2)根据图像直接写出不等式时的取值范围．
【答案】(1)，10
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）首先将点代入反比例函数并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点代入并求解，即可求得的值；
（2）结合图像中一次函数图像再反比例函数图像上方的部分，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
可得，解得，
∴反比例函数的关系式为，
将点代入，
可得，解得；
（2）由（1）可知，，
由图像可知，不等式时的取值范围为或．
2．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点，点 B 在 x 轴正半轴上．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请在的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
点P到两边的距离相等； ．
(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将代入求出的值，再将A点坐标代入即可；
（2）先作的角平分线，再以点A为圆心，为半径作弧，与的角平分线的交点即为满足条件的点P；
（3）延长交y轴于点C，根据勾股定理求出，进而求出，即可得出P的坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
，
将代入，
得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：如图，延长交y轴于点C，则轴，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，尺规作图，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键．
3．（2025·河南·一模）如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由．
【答案】(1)
，
(2)是，理由见解析
【分析】（1）将点代入中，得，由此即可求出的值，进而可得反比例函数的表达式；将，分别代入中，得，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数的表达式；
（2）由两直线平行同位角相等可得，，然后由相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入中，得：，
，
反比例函数的表达式为；
将，分别代入中，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下：
轴，
，
，
轴，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定，两直线平行同位角相等，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及反比例函数与几何综合是解题的关键．
4．（2025·河南商丘·一模）如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点．
(1)填空： ， ，点B 的坐标为____ ．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)以为边在上方作等边三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式即可得出，再根据一次函数经过原点即可得出，最后根据反比例函数与正比例函数的性质即可得出的坐标；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）连接，作轴于，轴于，则，证明，得出，求出，，即可得解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵直线经过原点，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：如图，连接，作轴于，轴于，
，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点的坐标为．
模型03 反比例函数与几何问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
反比例函数的k值及面积问题
如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，．
(1)______，______，______．
(2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；；3
(2)当时，；当时，；
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案；
（3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点，
，，
，，反比例函数解析式是，
把，分别代入得，
，
解得：，
故答案为：，，；
（2）由（1）知，一次函数解析式为，
由题意得，，，
，，
当时，；
当时，；
（3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下：
由（1）知，直线的解析式为，
令，则，
令，则，
∴，
∴，，
∴，，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当时，，
过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当时，同①的方法得，；
即满足条件的点Q的坐标为或．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．
(1)求k的值；
(2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围；
(3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2)
(3)或
【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解．
（1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值．
（2）通过分析与的面积和与矩形面积的关系，结合点的位置确定的取值范围．
（3）根据的面积是矩形面积的一半，设边上高的为h，求出高，分别讨论点在上完下方时和点在上完上方时，求解得到点的坐标．
【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图象上，
，
，，
；
（2）解： ，
，
∵，
∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件，
；
（3）解：，
，
，
，
，设边上高的为h，
，
点在的下方时， 时，
当时，，
点的坐标为；
点在的上方时， 时，
当时，，
点的坐标为．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F 在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在上．
(1)求a，k 的值；
(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和
【答案】(1)，；
(2)点B在圆弧上，理由见详解；
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质及扇形面积的公式．
（1）将点A 的坐标代入，求得a，进而可求k；
（2）根据一次函数及反比例函数图象的中心对称性质即可得结论；
（3）把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
将代入，
得；
（2）解：点B在圆弧上，
理由：一次函数、反比例函数的图象均关于原点O对称，
它们的交点A、B关于原点O对称，
，
点B在圆弧上；
（3）解：连接，
在直线上，
，，，
设，则，，
，
，
，
，，
，
．
3．如图，已知反比例函数（，k是常数）的图像经过点，在双曲线上有一动点，作轴，垂足为M，轴，垂足为N，与的交点为C．
(1)若时，求证：；
(2)若是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)若与的相似比为，在x轴上找一个点P，使得
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)或或或
【分析】（1））把A点代入即可求出k的值，进而求出点B的坐标，根据A、B两点坐标可得，，，，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）类似（1）求解即可；
（3）根据与的相似比为，可得，进而得到m的值，然后可得B点坐标，根据等腰三角形的性质分， ，三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数（，k是常数）的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式：，
把代入，得，
解得（负值舍去）
∴，
∵轴， 轴，，
∴，，，，四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
又，
∴；
（2）解：成立
理由：由（1）知：反比例函数解析式：，，，
把代入，得，
∴，
∴，，
由（1）同理求出，，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）知与的相似比为，
∵与的相似比为，
∴，
∴
∴，
∴
①当时，
∵点P在x轴上，
∴P的坐标为，；
②当时，如图，
作轴，则
故O，P关于H点对称，
∴P的坐标为；
③时，设
∴
解得
∴P的坐标为
综上，点P的坐标是或或或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．
4．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
(1)求的度数及点的坐标；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）如图，作于M，于， 于，证明，，可得，，，继而证明四边形是正方形，可得，则可求得，再设，由在上，利用待定系数法求得m的值即可得；
（2）设，，则，，可得，推出，可得，由，可得，继而根据，可得，由此可确定出的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作于，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
；
（2）解：设，，则，，
，
，
，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
，
（当时取等号），
的面积的最大值为．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程和不等式解决问题是解题的关键．
5．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
(3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)点P坐标为
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题．
（1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出，根据 ，又 ，解得：，则，即可求出答案；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又 ，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
模型04二次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次方程和不等式相结合。二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
答｜题｜技｜巧
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之间的关系
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
（2025·广东揭阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
(3)若，当时，求a的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用顶点A横坐标为1，得到，再代入到抛物线即可求解；
（2）设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，利用一次函数的知识求出、的坐标，利用勾股定理求出的长，利用抛物线顶点式可得顶点A的坐标为，进而表示出的长，再通过证明，得到，代入数据得到的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可；
（3）由题意得，令，解得，；分析可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与轴交点的位置进行分析，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为1，
，
，
点在抛物线M上，
，
的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，则，
代入到，得，
代入到，则有，解得，
，，
，
，
，
顶点A的坐标为，
代入到，得，
，
，
轴，
，
又，
，
，
，
当时，有最小值，
点A到直线l的距离最小值为．
（3）解：，
，
令，则，
解得：，，
当时，即，
此时，当时，符合题意；
当时，抛物线与轴的交点为和，
下面分2种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上，此时，
若，则抛物线在的图象在轴下方，不符合题意；
若，即，则抛物线在的图象随着的增大而增大，且满足，符合题意；
；
②当时，抛物线开口向下，此时，
抛物线在的图象在轴上方，
当时，
，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
1．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小；
(3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值．
【答案】(1)，此时抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)的最大值为2；此时
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由此即可得其对称轴和顶点坐标；
（2）先将代入抛物线的解析式可得，从而可得当时，取得最大值2，再根据二次函数的增减性即可得；
（3）先求出抛物线与线段的交点坐标为或，再分两种情况，将和分别代入抛物线的解析式求出的值，然后将的值代入抛物线的解析式，求出抛物线与轴的另一个交点坐标，据此进行检验即可得．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得：，
解得，
所以抛物线的解析式为，
所以这个抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线（为常数）与轴的交点为，且点的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最大值为2，此时，
∴此时抛物线的解析式为，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小，
∵此时上有两点，其中，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵线段被只分为两部分，且这两部分的比是，
∴抛物线与线段的交点坐标为或，
①当抛物线与线段的交点坐标为时，
则，解得或，
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意；
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去；
②当抛物线与线段的交点坐标为时，
则，解得或，
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去；
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意；
综上，的值为或．
2．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点 、 ．
(1)若点的坐标为，
①_______，点的坐标为______；
②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______；
(2)若，求证：．
【答案】(1)①，；②；
(2)见解析．
【分析】（1）①由∵抛物线经过点 、 ，，得，把点代入得，，，从而抛物线的解析式为，令，则，得或，即可求解；②过点作轴于，交于点，设中，，则，得，再求得直线为，证，得，即，，设，则，由，构建方程求解即可；
（2）由抛物线经过点 、 ， ，得，，进而得，再代入即可证明结论成立．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点 、 ，，
∴即，
∴，
把点代入得，
∴，即
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
∵点在点的左侧，
∴，
故答案为：，；
②过点作轴于，交于点，
设中，，则，
∴，
设直线为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线为，
∵，
∴，
∵轴，轴
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
∴ ，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵抛物线经过点 、 ， ，
∴，即，，
∴，，
∴，即
∴
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数．
(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的面积是与a无关的定值，该定值为
【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求出a的取值范围；
（3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为，设抛物线对称轴交于点B，设，根据等边三角形得到，从而，把点M代入解析式，解得，从而可求出的面积，即可解答．
【详解】（1）解：令，则，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为，
∵当时，函数值y随x的增大而减小，
∴．
（3）解：∵，
∴抛物线顶点A的坐标为，
设抛物线对称轴交于点B，则，
∵是抛物线的内接正三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，
整理得，
解得或（不合题意，舍去）
∴，，
∴，
∴的面积是与a无关的定值，该定值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，．
(1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值；
(2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围；
(3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)的值为或
【分析】本题考查了二次函数的图形及性质，二次函数与轴的交点、顶点式的化简等知识点的应用是本题的解题关键．
（1）设顶点式，代入顶点即可解答；
（2）判断出当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶在时，最小，分别求出顶点在和上的关系式，再求出相应的即可解答；
（3）判断出抛物线可以经过和或和这两种情况，再分别代入求出关系式即可．
【详解】（1）解：设抛物线，
，
，
，
，；
（2）解：由题得，
当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶点为时，
设抛物线，
令，即，
解得，或5，
，
当抛物线顶在时，最小，
当抛物线顶点为时，
设抛物线，
，
，
，
令，即，解得，，
，
；
（3）解：轴，
抛物线可以经过和或和，
把，代入抛物线，
得，
；
把，代入抛物线，
得，
，
的值为或．
模型05二次函数的对称性与最值问题
考｜向｜预｜测
二次函数的性质在中考一般一压轴题的形式出现，常考的题型特征有：在二次函数解析式中含有未知参数的背景下，通过判断对称轴与所给自变量区间的位置关系，讨论二次函数的增减性、最值问题
近几年的考法主要是：
（1）在含参取值范围内，已知最值或最大最小值的关系，求参数的值或取值范围
（2）已知自变量取值范围，求抛物线中最值或已知最值范围求参数的取值范围
答｜题｜技｜巧
区间内二次函数的最值问题
（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案；
（3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案；
【详解】（1）解：该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为，函数图象开口向上
，
当时，取最大值4
解得，
（3）解： 当，
当时，
当交点在线段之间时，当时，
解得；
当时，
解得；
综上，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数）
(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据 得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③；
（2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可．
【详解】（1）①∵二次函数（m为常数），
∴当时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵
∴该函数的图像的对称轴是直线，
不正确．
③令，则，
∴函数的图像一定经过，
∵，两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过，两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点在函数图像上，
∴的对称点为，
若，
∵当时，y随x增大而增大，
∴，
∵，
∴当时，
，
∴，
，
∴，
∴；
或当时，
，
∴，
不合；
若，
∵当时，y随x增大而减小，
∴，
∴当时，
，
∴，
，
∴，
∴；
或当时，
，
∴，
不合．
综上， 或．
2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，已知拋物线过点，，，（点C，D不重合）．
(1)比较和的大小，并说明理由；
(2)将抛物线在A，B之间的部分（含A，B）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在C，D之间的部分（含C，D）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求a的取值范围．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】（1）本小问已知点的坐标，把横坐标代入求出纵坐标进行比较即可；
（2）本小问主要先要确认对称轴为，所以可确定点和点在对称轴的两侧，又点D的横坐标为，所以点D肯定在对称轴的右侧，要分类讨论点和点，谁在对称轴的左侧，分两种情况即可解决问题.
【详解】（1）．
理由如下：
∵抛物线过点和，
∴，
．
∴．
（2）解：
抛物线的对称轴为，
注意到，即点一定在对称轴右侧，因此分以下情况：
①当，即时，
此时点在对称轴上或者在对称轴左侧，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
因此在C，D之间（含端点）y的最小值在时，即顶点处取到．
为了使，则抛物线的顶点必须在A，B之间（含端点），可得．
②当，即时，
此时点C，D都在对称轴的右侧，点A，B都在对称轴的左侧，
由于，所以在时，y随x的增大而减小，故当时，A，B之间（含端点）的抛物线取到y的最小值，即．
注意到（1）中已证，为了使，只需即可．
由于当时，y随x的增大而增大，抛物线在C，D之间（含端点）y是增大的，由于C，D不重合，为了让这段y的最小值恰好为，需要保证，即
，得，即．
综上a的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论.
3．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键．
（1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；
（2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，
∴这个二次函数的图象经过点，
又∵这个二次函数的图象经过点，
∴此二次函数图象的对称轴是直线．
（2）解：由（1）可设二次函数的解析式为，
∵这个二次函数的图象上存在两点，，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数．
(1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值．
②若对于，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
（1）把代入 ，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可；
（2）①根据对称轴为直线，进行求解即可；
②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：把代入 ，得，
解得，，．
∵n是正整数，a为整数，
（舍去），．则，
∴对称轴为直线．
（2）解：①时，，
，两点关于抛物线的对称轴对称，
则对称轴为直线，
．
②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大，
可得，
解得．
5．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数．
(1)若函数经过点，求抛物线的对称轴；
(2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）.
(3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解；
（2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解；
（3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解．
【详解】（1）解： 经过点，
．
．
抛物线的对称轴是直线．
（2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线．
的开口向上，
抛物线上点离对称轴越近函数值就越小．
，
．
故答案为：．
（3）解：由题意，令，
又当时，始终成立，
当时，恒成立．
又抛物线的对称轴为直线，
可分以下情形讨论．
①当时，即．
，
当时，随的增大而减小．
当时，．
．
此时无解．
②当时，即．
，
．
．
．
此时．
③当时，即．
，
当时，随的增大而增大．
当时，．
．
故此时无解．
综上，．
一、解答题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【答案】(1)的值为，的值为1
(2)3
(3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
（1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可；
（2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可；
（3）求出点的坐标，然后写出解析式即可．
【详解】（1）解：把点、代入得，，
解得，，
，，
把，代入中得：
，
解得，
即的值为，的值为1；
（2）解：直线与轴交于点，
，
的面积为：；
（3）解：当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为，则_________；
②求t的取值范围：
③求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)①6；②且；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且；
③，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为，
；
令，解得或，
，；
（2）解：①由题知，该函数过点，，，
函数的解析式为：，
函数的对称轴为直线，
，，
点，关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：，
将，，两点代入，得，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，
，两点关于对称轴对称，点，
，
点在线段上，且与端点不重合，
，即，
时，过点，，三点的二次函数不存在，
且；
③，，
．
，
且，
时，有最大值，最大值为4．
7．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)当时，；当时， ．
【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；
（2）当时，；当时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．
8．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
9．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)b的值为或．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，
，且，
① ；
，
，即② ；
，即③ ．
故答案为；；；；
（2）解： ，，
，
，
；
（3）解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；
当时，，
当时，，
①当，则，
那么，在取得最大值，在取得最小值时，
有，解得 （不符合题意，舍去）；
②当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或，
③当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或；
综上所述，b的值为或．
10．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①②或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图像如下：
由图可知：当时，或；
（2）∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
1．（2025·河南安阳·一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求的长．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)
【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）作平移后的直线，过点C作轴于D，根据平移求出，得出点B的坐标为，求出C点坐标为，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作平移后的直线，过点C作轴于D，如图：
将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
联立解析式得：，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，
在中，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，勾股定理，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，这是一个“数值转换机”．当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当时，求与之间的关系式．
(2)当时，求输入的的值．
(3)若输出的值为正数，则输入的的取值范围是________．
【答案】(1)；
(2)当时，输入的的值为或；
(3)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、利用一次函数的图象求不等式的解集．
把、和、代入，用待定系数法求出、，即可得到一次函数的解析式；
把分别代入和，求出的值即可；
在平面直角坐标系中画出函数图象，根据，可得关于的不等式：，，解不等式求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，即，
当时，，即，
可得：，
解得：，
当时，与之间的关系式是；
（2）解：若，则，
解得：，，符合题意；
若，则，
解得：，，符合题意；
综上所述，当时，输入的的值为或；
（3）解：，
根据题意，与的函数图象大致如图所示，
当为正数时，对应函数图像在轴的上方，
可得：，，
的取值范围是，
故答案为：．
3．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为，
(1)求直线的函数表达式．
(2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标．
(3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得： ，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
∵点C 的坐标为，
∴设直线的函数表达式为，
则，解得：，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
如图：设D的坐标为，则，
则，解得：或4．
∴点D的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴，，
如图：过C作且，
∴是等腰三角形，即,
过G作轴，垂足为D，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P；
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P．
综上，点P的坐标为或．
4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可；
（2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可；
（3）分别求出经过，，时，b对应的值，然后画图分析即可求解．
【详解】（1）解：在平行四边形中， ，．
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
当时，
过E作于F，
∵，
∴，
∴；
当时，
过C作于G，
∴，
∴
综上，
（2）解：画图如下：
由图象知：当时，y随x的增大而减小；
（3）解：当经过时，，解得，
当经过时，，解得，
当经过时，，解得，
画图分析
当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为．
(1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值．
(2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值．
(3)若，直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）由题意易得双曲线解析式是，则有，然后可得直线的解析式为，进而问题可求解；
（2）设，则有，由题意易得，则有，然后可得四边形与四边形都是平行四边形，进而可得，设，则有，，则有，然后根据三角函数及相似三角形的性质可进行求解；
（3）根据题意可分两种情况进行分类讨论，然后结合相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解．
【详解】（1）解：∵在上，
∴，即双曲线解析式是，
当C点横坐标为3时，则纵坐标为2，
∴．
设直线的解析式为，且过点，，则有，
解得，
故直线的解析式为，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图：
设，则有，
∵，，
∴；
∵两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴，
∵，
∴四边形与四边形都是平行四边形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
设，则有，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
解得，，
∴．
（3）解：如图1：过D分别作于E，作于F，
则，
∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
∴直线方程的解析式为，
再将直线方程代入双曲线方程有，
解得或18，
当时，则有，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图2，
直线与双曲线过，代入双曲线解析式可得，设直线的解析式为，
代入直线方程，，
所以直线方程变为，
令，则有，令，则有，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
再将直线方程代入双曲线方程有，
解得：，
∴当，则，即，
过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述：的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
6．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小；
(3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值．
【答案】(1)，此时抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)的最大值为2；此时
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由此即可得其对称轴和顶点坐标；
（2）先将代入抛物线的解析式可得，从而可得当时，取得最大值2，再根据二次函数的增减性即可得；
（3）先求出抛物线与线段的交点坐标为或，再分两种情况，将和分别代入抛物线的解析式求出的值，然后将的值代入抛物线的解析式，求出抛物线与轴的另一个交点坐标，据此进行检验即可得．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得：，
解得，
所以抛物线的解析式为，
所以这个抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线（为常数）与轴的交点为，且点的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最大值为2，此时，
∴此时抛物线的解析式为，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小，
∵此时上有两点，其中，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵线段被只分为两部分，且这两部分的比是，
∴抛物线与线段的交点坐标为或，
①当抛物线与线段的交点坐标为时，
则，解得或，
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意；
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去；
②当抛物线与线段的交点坐标为时，
则，解得或，
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去；
当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意；
综上，的值为或．
7．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点且与直线的一个交点为．
(1)求的值；
(2)判断抛物线的顶点是否在直线上；
(3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)2
(2)抛物线的顶点是否在直线上
(3)
【分析】（1）直接将代入直线求解即可；
（2）由（1）可得，将、代入列方程组求得a、b的值，可求得抛物线的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线验证即可．
（3）设平移后的解析式为：，由题意可得，即；令，则有，然后配方运用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将代入直线可得：．
（2）解：由（1）可得：，
将、代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为；
当时，，则抛物线的顶点在直线上．
（3）解：设平移后的解析式为：，
∵平移后的解析式的顶点在直线上，
∴，
∴，
令，则有，
∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
8．（24-25九年级上·北京房山·期末）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
(1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
(2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】（1）解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
，
整理得：，
．
②∵与轴有两个不同的交点，
由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为，
当时，
解得：，
抛物线与x轴交两个点，
∵顶点坐标为：，
故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点，
当时，抛物线与轴有两个交点，，
当时，∵的顶点也在上，
∴．
综上所述，或．
9．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数的解析式为．
(1)若点在该二次函数的图象上，求的值；
(2)若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
(3)当时，函数有最大值和最小值，求证：．
【答案】(1)或
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）代入，求解一元二次方程即可；
（2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在轴上，求解即可；
（3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，
其中，对称轴为直线，
∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
10．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
(3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②周长l的最大值为
(3)
【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解；
（2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可．
②根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①对于抛物线，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴，
∵轴，
∴点M的纵坐标为，
把代入函数，得，
解得，
∴，
∴，
∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为，
∴若点P在点M的左侧，即当时，
，
若点P在点M的右侧，即当时，
综上所述，l关于t的函数关系式为．
②当时，，
∴当时，l随着t的增大而减小，
当时，，当时，，
∴；
当时，，
∴当时，l有最大值，为，
当时，，当时，，
∴；
综上所述，周长l的最大值为．
（3）解：∵抛物线，顶点坐标为，
∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为，
由点，可得直线的解析式为，
对于直线，令，则，
解得．
对于直线，令，则，
解得．
∵点G在内（不含边界），
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
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