专题06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建（6大类型）
题型解读｜模型构建｜通关试练
1.三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5 三角形折叠问题探究
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2） 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）
6 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
模型特征：等线段，共端点，含半角
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型01 全等三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
所以；
（2）解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质．由，根据平行线的性质得出，又，利用即可证明，从而得到．
【详解】证明：∵，
在与中，
，
，
．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，得出．
【详解】（1）解：∵．
∴．
∵，
∴；
（2）证明：在中，，，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形中，，，点，分别是，上的点，连接，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】根据可证，利用可证；
根据，可知，，根据可知，根据可证、，所以可证，所以四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，所以．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，，
∴，
，，
，
，
，
由得：，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
即的长为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系．
模型02等腰三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可证明；
（2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（2025·陕西西安·一模）如图，与均为等腰直角三角形，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键；
根据等腰直角三角形的性质得，，再证证，根据，即得结论．
【详解】证明：∵与均为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
即．
在与中，
∴．
2．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意证明，即可求解；
（2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解．
【详解】（1）证明： 如图所示，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：设与交于点，
，
，，
，
，，
∴，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即，
，
．
3．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)在边上取一点，使，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为，由面积法求得，进而解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为，由（）得，解直角三角形得，证是等边三角形，得，，，从而求得，，，利用正切定义即可得解．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
，．
（2）解：过点作，垂足为
由（）得，
∴，，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，，
∴，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)当是等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，，证明即可求证；
（2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解；
（3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
如图所示，作，垂足是，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，即，
；
（3）解：若是等腰三角形，那么或或，
第一种情况：当时，
，
，
又，
，
，即 ，
，
∵，
∴，
∴，
，
在中，，
，即
第二种情况：当时
，
，
，
，即，
；
第三种情况：当时，
，
，
又，
，
，
，
由（2）可知，在中，，
，
，
，即；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键．
模型03等边三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等边三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等边三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等边三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定；
（1）根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质以及角平分线的定义，得出，进而得出，即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，即：，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，，
，
是等边三角形，
．
2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即、之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），．
(1)当时，求此时的长；
(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（精确到，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，菱形的性质，等边三角形的性质与判定：
（1）连接交于点E，由四边形是菱形得到，当时，，由得到是等边三角形，则；
（2）当时，在中，，则，则，当时，中，则可得到，得到，即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示，连接交于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
当时，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
当时，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当时，
在中，，
∴，
∴
∴这个千斤顶升高了，
答：这个千斤顶升高了．
3．（2023·贵州黔东南·一模）问题提出：
已知：在中，，以为边作等边三角形．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线的两侧时，，且，则____________；
问题探究：
（2）如图2，当点D与点C位于直线的同侧时，，且，则____________；
问题拓展：
（3）如图3，当变化，且点D与点C位于直线的两侧时，求的最大值及相应的的度数．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及轴对称的性质，正确理解有最大值的条件，是解题的关键．
（1），且，是等边三角形，且是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；
（2），且，是等腰直角三角形，且是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；
（3）以点为中心，将逆时针旋转，则点落在点，点落在点．连接，，当点、、在一条直线上时，有最大值，．
【详解】解：（1），且，
是等边三角形，
，
∵等边三角形，
，
；
（2）作，垂足为，连接，
∵等边三角形，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴在同一直线上，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）以点为中心，将逆时针旋转，
则点落在点，点落在点．连接，，
，，，
为等边三角形，
．
当点、、不在一条直线上时，
有；
当点、、在一条直线上时，
有最大值，；
只有当时，，
即、、在一条直线上，此时最大
，
因此当时，有最大值是．
4．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 等边三角形的边长为2，是边的中线， 点E在线段上， 连接，将绕点A逆时针旋转 得到线段， 连接．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段，并写出一对全等的三角形： ；
(2)【问题探究】
如图②，若点E从点 B 运动到点 D，试探究点F的运动路径并求出它的长度；
(3)【拓展延伸】
连接，在（2）的条件下，试求 周长的最小值．
【答案】(1)画图见解析，
(2)点F的运动路径为线段，其长为
(3)
【分析】（1）先根据题意作图，再由旋转的性质得到，再证明，即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，则点F在射线上运动，则点F的运动路径长等于点E的运动路径长，即为的长，据此利用勾股定理求解即可；
（3）如图所示，作点A关于直线的对称点H，连接，设与直线交于G，连接，则，，证明是等边三角形；再证明当D、F、H三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理得到，则的最小值为，可得的周长的最小值为．
【详解】（1）解：如图所示，由旋转的性质可知，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵等边三角形的边长为2，是边的中线，
∴，
∴，
∴点F在射线上运动，
∵，
∴点F的运动路径长等于点E的运动路径长，即为的长，
在中，由勾股定理得，
∴点F的运动路径为线段，其长为；
（3）解：如图所示，作点A关于直线的对称点H，连接，设与直线交于G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
∵，
∴当D、F、H三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长；
∵点D为的中点，
∴此时，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
模型04相似三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
相似三角形在求线段的长度和线段的比中经常使用，解决问题要分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，关键是掌握相似三角形的判定与性质．
（1）根据角平分线定义、直角三角形的性质及平角定义求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．
（2）先用勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
又，
，
，即，
．
2．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
3（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，，，，，，P为线段上一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．
(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，可得；
（2）设，，则，根据，可得，求出y最大值为，因为且即可得到答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，整理得，
∴ ，
∴当时，y取最大值，最大值为，
∵，解得，
又∵，
∴；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到三角形相似的判定和性质、求线段的取值范围，灵活运用所学知识是关键．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容．
例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明 连接．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接，
【结论应用】
（）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______．
（）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____．
【答案】教材呈现：证明见解析；结论应用（）；（）
【分析】教材呈现：连接，根据三角形中位线的性质可得，进而根据相似三角形的性质即可求解；
结论应用（）如图②，连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据直角三角形斜边上的中线以及勾股定理即可求解；
（）如图③，连接，证明，得到，进而得，，即可得，又可得，得到，即得到，据此即可求解；
本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】教材呈现：
证明：连接，
∵分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
结论应用：
（）如图②，连接，
∵分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图③，连接，
∵分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，的面积是，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
模型05三角形的翻折问题
考｜向｜预｜测
三角形的折叠问题在近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
（1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，设，则，再利用勾股定理即可得出．
（2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点C作，
则，，
∴，
∴ ，
，
当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，
设，则，
∵
∴在中，
解得：，
故
（2）如图2，当点F在上时，如下图：
由(1)可知，
∵
∴，
设，，则 ，
根据折叠的性质可得出：，．
∵，
∴，
∵
∴在中，，
则，
解得：，
如图3，当点F在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，， ，
在中，
，
则
解得，
则，
综上：的值为：或．
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出；
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知在中，，，点在边上，满足．动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合．把沿翻折，得到．设点的运动时间为．
(1)的长为______．
(2)求点到的距离（用含的代数式表示）．
(3)当与等腰的腰垂直时，求的值．
(4)当与拼成的图形为三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)8
(2)当时，点到的距离为，当时，点到的距离为；
(3)当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2
(4)当与拼成的图形为三角形时，的值为或或
【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据，求得，，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，即：时，当在上运动时，即：时，分别求解即可；
（3）分两种情况：当于点时，当于点时，结合（2），根据折叠的性质即可求解；
（4）分三种情况：当点在上且时，当点在上且时，当点在上且时，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：过点作，
∵，，
∴，
设，，则由勾股定理可知，，
∴，则，，
∴，
故答案为：8；
（2）由（1）可知，，
当在上运动时，即：时，，
过点作，则；
当在上运动时，即：时，，，
过点作，
∵，
∴，则，
∴，
综上，当时，点到的距离为，当时，点到的距离为；
（3）∵，，
∴，，
当于点时，过点作，由（2）可知，，，
由折叠可知，，，，则，
∴，
∴，，，
则，
∴；
当于点时，过点作，由（2）可知，，，，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴；
综上，当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2；
（4）由折叠可知，，，
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，
此时，，则，
∴，解得：；
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，
过点作，由上可知，，，
则，，，
∵，则
∴，
∴，
∴，即：，解得：；
当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形，
此时，，解得：；
综上，当与拼成的图形为三角形时，的值为或或．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，折叠的性质等知识点，作出图形，分类讨论是解决问题的关键．
3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______．
【答案】探究：，理由见解析；拓展：10
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质等：
探究：连接，由折叠前后对应边相等、对应角相等，可得，，等量代换可得，，由等边对等角可得，进而可得，可证；
拓展：连接，仿照探究中的方法，证明，再利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：探究：，理由如下：
如图②，连接，
四边形是矩形，
，
点E是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
拓展：的周长为10．
如图③，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
点E是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，，，
又 ，
，
．
，，
，
，
，
，
，
的周长
．
4．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②.
填一填，做一做：
(1)图①中阴影部分的周长为 .
(2)图①中， 若， 则 °.
(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
(4)如图②， 点落在边上， 若，则
【答案】(1)18
(2)40
(3)4
(4)
【分析】（1）由折叠的性质得出，，得出图①中阴影部分的周长的周长；
（2）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果；
（3）证明，，即可得出结论；
（6）设，则，证明，得出，设，，则，，得出，解得，得出．
【详解】（1）将图①中的沿直线折叠，使点落在点处，
，，
图①中阴影部分的周长的周长；
故答案为：18；
（2）解：将图①中的沿直线折叠，使点落在点处，
，，
，
，
，
；
故答案为：40；
（3）解：如图，
∵将图①中的沿直线折叠，使点落在点处，
，，，
，，
图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，
故答案为：4；
（4）解： ，
设，则，
，
，
，
∴
，
设，，则，，
，
解得：，
；
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．
模型06三角形与旋转问题
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
在解决三角形与旋转问题时要找准旋转中心；确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；同时还要数形结合进行分析、解答
在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
1．（2023·山西大同·模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,
【初步探究】
(1)如图1，直接写出线段和的关系：______．
(2)如图2，当时，则 ______．
【深入探究】
(3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数．
【拓展延伸】
(4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)见解析，；
(4)存在，
【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理得，可证；
（2）利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得；
（3）类比上面思路，通过构建三角形全等推出，进而易得，
（4）根据（3）的结论，推导出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．
【详解】（1）由题意得，
，，，
，
，，
在中，，
，
，即，
故答案为：.
（2），，
，
又，
,即，
故答案为：.
（3）如图，过点作，交于点，
由（1）易知，
，
，
，
又，
易得，
，
又，
，
即；
（4）存在，，
理由如下：由（3）可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出相应的辅助线以及确定全等三角形．
2．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，．
问题发现
（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3）
【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答．
（2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可．
（3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答．
【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，
∴
∴，
∴
∴与之间的数量关系是，
延长交于一点，
∵，，
∴，
即，
∴与的位置关系是，
故答案为：，；
（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，
理由如下：
如图，延长交于点，
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，
，
，
，
，
，．
（3）如图，过点作于点，
，
，
，
又
，
，
，
由（2）可知．
【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025·湖北·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
(1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
(3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)的长为或．
【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（）点三点共线，分类讨论，推理即可求解；
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下如图所示，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故答案为: ；
（2）证明：如图所示，连接，
由（）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，三点共线，
由（）可知，，
由（）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴（不符合题意）；
如图所示，由（）可知，，，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图所示，连接，
根据（）中的证明可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的长为或．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1，在等腰中，，，点分别在上，，连接，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系： ；
②求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和现在，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）证明得出，得到，得出，即可得到结论；
（2）①先证明，再证明得到，即可得到，即可得证；②先证明，再证明，即可得证．
【详解】（1）证明：在和中，，
；，
．
是斜边的中点，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；理由如下：
如图，延长到点，使，连接．延长到，使，连接并延长交于点．
，
，
．
．
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
是中点，是中点，
是中位线，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
②证明：延长到点，使，连接．
，
，
．
．
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
，
．
1．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由，，可得，证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出．
【详解】证明：四边形是菱形
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
5．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
6．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
7．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)一致；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论；
（2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出．
【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3）
【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∵为等边三角形，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下，
∵，，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则四边形为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键．
9．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可；
（2）同（1）中方法证明，再证明即可；
（3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可．
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点作交于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上：或
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
1．基础巩固：
（1）如图①，在和中，，求证：；
尝试应用：
（2）如图②，在和中，，三点在一条直线上，与交于点，若为中点．
①求的度数；
②过点作于点，若，求的面积；
拓展提高：
（3）如图③，在和中，，与交于点，，的面积为，连接，补全图形，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）图见解析，8
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质的运用是解题的关键．
（1）根据题意得到，运用边角边即可求证；
（2）①根据题意可证，得到，根据，得到，在中，由三角形内角和定理即可求解；②根据，得到，再证，得到，由三角形面积的计算公式即可求解；
（3）根据题意补图，由题意可得，可证，求出，证明，则，，设的长度为，则，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，．
②∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：补图如图．
∵，
∴，
∴，则，
同（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是公共部分，
∴，
设的长度为，则，
解得 (负值已舍去)，
故的长为．
2．在中，，是斜边上的高，
(1)求证：．
(2)若，，则______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用余角性质可得，进而由即可求证；
（）由相似三角形的性质得，即得，据此解答即可求解；
本题考查了相似三角形的判定和性质，余角性质，三角形的高，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是斜边上的高，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
(1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
(3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)的长为或．
【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（）点三点共线，分类讨论，推理即可求解；
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下如图所示，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故答案为: ；
（2）证明：如图所示，连接，
由（）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，三点共线，
由（）可知，，
由（）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴（不符合题意）；
如图所示，由（）可知，，，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图所示，连接，
根据（）中的证明可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的长为或．
4．材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题
发现：
（1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则；
类比：
（2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
拓展：
（3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积．
【答案】（2），理由见解析；（3）图见解析，10
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系；
（3）由（2）同理可得：，可得，分别求解，，，再利用割补法求解面积即可得到答案．
【详解】解：（2），
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
．
（3）补图如图所示．
由（2）同理可得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（1）如图1，在中，于点H，求证：；
（2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．
（1）利用同角的余角相等得，即可证明结论；
（2）过点A作于点F，利用两个角相等证明，得，从而得出答案；
（3）过点A作于点H，延长相交于点N，设，则首先证明，得再根据，得最后根据进而解决问题．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点A作于点F，则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）过点A作于点H，延长相交于点N．
∵，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图
(1)如图1，在中，，在上取一点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值．
(2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度（点E在的内部），连结，求的值．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到；
（2）先证明，再由，可证明，则；
（3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．已知中，，，，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，将沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处，过点D作，交射线AC于点M．设，．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求的值；
(2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)当时，求AD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出．由垂直的定义求出，由题意可得：，即可求解．
（2）根据题意得出，根据直角三角形的性质证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）分两种情况讨论：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，设交于点K，则，
∴，
∴，
∴点E为的中点，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当点M在线段上时，
∵，
∴，
由（2）得：
∴，即，
∴，
∵，
∴，
过点F作于点H，
∴，
在中，，
∴；
②当点M在的延长线上时，
∵，
∴，
根据题意得：，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
过点F作于点G，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
8．【提出问题】如图，在等腰中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接．
【初步探究】
（1）如图，连接，求证：≌．
【深入探究】
（2）如图，将沿翻折得到，连接，，类比的探究方法发现：
结论：______≌；
结论：．
请证明结论．
（3）如图、在（2）的情况下将线段沿翻折得到线段，连接，，试判断线段与的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析（3）
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是识别复杂的图形．
由得出，进而得出结论；
同理得出结果；
作，交于，可得出，从而，可得出，从而，进一步得出结论；
可证得≌，从而，设，从而得出，可得出，从而，由得出，进一步得出结果．
【详解】证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
≌；
解：是等边三角形，沿翻折得到，
是等边三角形，
同理可知：≌，
故答案为：；
证明：如图，
作，交于，
是等边三角形，
，
，
，
，
由知：≌，
，，
，
∴；
解：
，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
设，
∴，
线段沿翻折得到线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线，将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线段经过点D时．连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图2中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时四边形的面积．
请解答上述两个小组提出的问题．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）①，见解析；②
【分析】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形；
（2）①由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，易证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明；
②过点F作，垂足为H，过点N作，垂足为K，利用勾股定理求出，由①可求，由平移和旋转的性质得到，根据，易证，得到，由①知，从而得到，利用三角形面积公式，求出，利用勾股定理求出，从而得到，再根据，推出，利用余弦的定义得到，求出，最后根据四边形的面积等于求解即可．
【详解】（1）四边形是矩形，
理由如下：∵平移得到，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）①，
证明：在图2中，∵平移得到，
∴，
∴
由（1）可得，，
∴，
∴，
在图3中，旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由图2可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点F作，垂足为H，过点N作，垂足为K，
∵中，，
∴，
∴，
由平移和旋转的性质得到，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积等于
∴．
【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形判定与性质，解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建（6大类型）
题型解读｜模型构建｜通关试练
1.三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5 三角形折叠问题探究
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2） 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）
6 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
模型特征：等线段，共端点，含半角
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型01 全等三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)求证：．
4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形中，，，点，分别是，上的点，连接，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
模型02等腰三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
1．（2025·陕西西安·一模）如图，与均为等腰直角三角形，．求证：．
2．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
3．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)在边上取一点，使，连接，求的正切值．
4．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)当是等腰三角形时，求的长．
模型03等边三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等边三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用等边三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等边三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的长．
2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即、之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），．
(1)当时，求此时的长；
(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（精确到，，，）
3．（2023·贵州黔东南·一模）问题提出：
已知：在中，，以为边作等边三角形．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线的两侧时，，且，则____________；
问题探究：
（2）如图2，当点D与点C位于直线的同侧时，，且，则____________；
问题拓展：
（3）如图3，当变化，且点D与点C位于直线的两侧时，求的最大值及相应的的度数．
4．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 等边三角形的边长为2，是边的中线， 点E在线段上， 连接，将绕点A逆时针旋转 得到线段， 连接．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段，并写出一对全等的三角形： ；
(2)【问题探究】
如图②，若点E从点 B 运动到点 D，试探究点F的运动路径并求出它的长度；
(3)【拓展延伸】
连接，在（2）的条件下，试求 周长的最小值．
模型04相似三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
相似三角形在求线段的长度和线段的比中经常使用，解决问题要分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
2．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，，，，，，P为线段上一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．
(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材页的部分内容．
例 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．求证：．
证明 连接．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接，
【结论应用】
（）如图②，在中，，，分别是边的中点，相交于点．若，则______．
（）如图③，在中，分别是边的中点，相交于点．过点作交于点，如果的面积是，那么的面积是_____．
模型05三角形的翻折问题
考｜向｜预｜测
三角形的折叠问题在近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知在中，，，点在边上，满足．动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合．把沿翻折，得到．设点的运动时间为．
(1)的长为______．
(2)求点到的距离（用含的代数式表示）．
(3)当与等腰的腰垂直时，求的值．
(4)当与拼成的图形为三角形时，直接写出的值．
3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______．
4．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②.
填一填，做一做：
(1)图①中阴影部分的周长为 .
(2)图①中， 若， 则 °.
(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
(4)如图②， 点落在边上， 若，则
模型06三角形与旋转问题
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
在解决三角形与旋转问题时要找准旋转中心；确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；同时还要数形结合进行分析、解答
在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
1．（2023·山西大同·模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,
【初步探究】
(1)如图1，直接写出线段和的关系：______．
(2)如图2，当时，则 ______．
【深入探究】
(3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数．
【拓展延伸】
(4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．
2．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，．
问题发现
（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
3．（2025·湖北·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
(1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
(3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1，在等腰中，，，点分别在上，，连接，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系： ；
②求证：．
1．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
5．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
6．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
7．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得
9．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
1．基础巩固：
（1）如图①，在和中，，求证：；
尝试应用：
（2）如图②，在和中，，三点在一条直线上，与交于点，若为中点．
①求的度数；
②过点作于点，若，求的面积；
拓展提高：
（3）如图③，在和中，，与交于点，，的面积为，连接，补全图形，求的长．
2．在中，，是斜边上的高，
(1)求证：．
(2)若，，则______．
3．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
(1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
(3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
4．材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题
发现：
（1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则；
类比：
（2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
拓展：
（3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积．
5．（1）如图1，在中，于点H，求证：；
（2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值．
6．如图
(1)如图1，在中，，在上取一点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值．
(2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度（点E在的内部），连结，求的值．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，求的值．
7．已知中，，，，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接EF，将沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处，过点D作，交射线AC于点M．设，．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求的值；
(2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)当时，求AD的长．
8．【提出问题】如图，在等腰中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接．
【初步探究】
（1）如图，连接，求证：≌．
【深入探究】
（2）如图，将沿翻折得到，连接，，类比的探究方法发现：
结论：______≌；
结论：．
请证明结论．
（3）如图、在（2）的情况下将线段沿翻折得到线段，连接，，试判断线段与的位置关系．
9．综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线，将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线段经过点D时．连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图2中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时四边形的面
积．
请解答上述两个小组提出的问题．
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