专题08圆的有关计算与证明大题题型总结（6大类型）
题型解读｜模型构建｜通关试练
在中考数学中，圆的基本性质与计算在大题中通常考察垂径定理的有关计算、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，并且圆的性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.
1、垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2、圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
3、圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
4、圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
模型01 垂径定理的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
垂径定理的计算与证明问题，在圆的有关解答题中会考查到，垂径定理的计算问题经常涉及平行线的判定、勾股定理、直角三角形、三角形中位线性质、全等三角形、相似三角形的判定和性质等内容，此部分计算难度不大，分值一般在5-8分左右
答｜题｜技｜巧
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.在弦长.弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个.
（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，为圆的直径，为圆上一点，为弧的中点，过作于点，交圆于点，交弦于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据垂径定理可得，而，那么，则，由圆周角定理可得，再结合对顶角相等即可求证；
（2）连接交于点M，由垂径定理推论可得 为中点，继而为中位线，则，可求，，而，那么，由，勾股定理可得到，，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接交于点M，
∵为弧的中点，
∴为中点，
∵，
∴为中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，三角形的中位线定理，同圆中弦、弧、弦心距之间的关系等知识点，综合性较强．
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点．
(1)求的半径；
(2)连接，求的值．
【答案】(1)的半径为；
(2)．
【分析】（1）连接交于点，由垂径定理、含的直角三角形特征推得且，再结合含的直角三角形特征、勾股定理得到，求解即可得到半径；
（2）连接、，由圆周角定理推得，解直角三角形求出，由即可得解．
【详解】（1）解：连接交于点，
点为弧的中点，即平分，
且，
，，，
，
，
，，
，，
即，
，
的半径为．
（2）解：连接、，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、含的直角三角形特征、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程、圆周角定理、解直角三角形、求正切值，解题关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，加上，所以 ，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，接着根据三角形中位线性质得到，所以，然后证明，则利用相似三角形的性质和比例的性质可求出的长．
【详解】（1）解：因为平分，
所以，
所以，即，
因为AB是的直径，所以，
所以．
（2）因为AB是的直径，
所以，
由勾股定理得，
由（1）可知，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，
可得．
由（1），可得，
则，
所以．
3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，弦垂直于直径，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接且，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若的半径长为1，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接、，先由证明为等边三角形，再证明，则，即可得证；
（2）延长交于，连接，由得出，结合，得出，由圆周角定理可得，，最后解直角三角形即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵的半径长为1，
∴，
∴．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
(1)求证：为的中点．
(2)①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②的正切值为或1
【分析】（1）由已知得，．可得，得，即得为的中点．
（2）①根据，设，则，可得．根据，得， ，；②当时，可得，，设，，得，即得；当时，，，可得，四边形为正方形，即得．
【详解】（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角角三角函数定义，是解题的关键．
5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由切线的性质推导出，因为，所以，则，所以，又，所以，则，从而求证；
（）过点作，垂足为，则四边形四边形是矩形，则，设的半径为，则，然后由垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
，
∴四边形是矩形，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)已知，，
①求的半径长．
②若点G是的中点，求与的面积之比．
【答案】(1)见解析
(2)①的半径长为10；②
【分析】（1）利用垂径定理求得，推出，证明，据此求解即可；
（2）①根据垂径定理和条件可得，连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程即可求出结论；
②由①结论求出，根据勾股定理求出，根据（1）的结论，列出比例式即可求出和，然后利用勾股定理求出，即可求出，根据三角形中线的性质可得，最后根据等高的两个三角形面积比等于底之比即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵是的直径，，
∴，
连接，设的半径为，
则，
由勾股定理得，
解得，
即的半径长为10；
②∵，，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、垂径定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理和三角形的面积关系，掌握圆周角定理的推论、垂径定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理和等高的两个三角形面积比等于底之比是解决此题的关键．
模型02 垂径定理的有关综合应用
考｜向｜预｜测
垂径定理的应用很广泛，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
答｜题｜技｜巧
掌握垂径定理常见的辅助线：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，
(1)如图1，，的延长线交于圆心，若甲组测得，，，求的长．
(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点为的中点，若丙组测得，，求该混凝土管片的外圆弧半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，利用相似三角形的性质进行计算即可；
（2）根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设m，则m，
∴，解得，
经检验，是原方程的根，即，
∴的长为．
（2）解：如图，设圆心为点，连接、、，，与相交于点，
则，，
设外半径为，则，
在中，由勾股定理可得，，
即，解得，
∴该混凝土管片的外圆弧半径为．
1．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，．
(1)求的长．
(2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由．
【答案】(1)米
(2)该船能通过该桥洞，见解析
【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案；
（2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米，
【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，．
连接，则米， ，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能．
，
（米），
（米）；
（2）解：该船能通过该桥洞．理由如下：
如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，
由（1）易得米，
米，
若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米，
若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G，
延长交半圆O于点H，连接，
则米，米．
在中，由勾股定理得（米）．
米．
，
该船能通过该桥洞．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
2．（2025·河北保定·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐．距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，圆被水面截得的弦为，水而下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离），．
(1)求弦的长；
(2)求劣弧的长；
(3)由于水面上涨，当盛水筒内水面高度变为米时，求弦的宽度．
【答案】(1)米
(2)米
(3)米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式．
（1）过O作于点C，交于点D，设圆的半径为r米，则米，（米）， 求出，得到米，在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）连接，易证是等边三角形，得到，由（1）知的半径，利用弧长公式即可求解；
（3）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，求出米，在中，根据勾股定理求得米，再利用垂径定理即可求出弦的宽度．
【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则，，
设圆的半径为r米，则米，（米），
∵，
∴，
∴米，
在中，，即，
整理得：
解得或（舍去），
∴该圆的半径为米，
∵，是的半径，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知的半径为米，
∴劣弧的长为：米；
（3）解：设水面升到如图，过点O作于点，交于点，
∵的半径为米，米，
∴米，
∴在中，（米），
∵，是的半径，
∴（米）．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）综合与实践【主题】足球最佳射门位置．
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即．
【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标．
【答案】[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]：
【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可；
[实践探索]同理可得结论；
[迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答．
【详解】[素材]
解：如图1，设交圆于点C，连接，
∵，
∴；
[实践探索]
证明：如图2，设交于C，
∵，
∴，
∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A，
即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时；
[迁移应用]
解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，
由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时，
∵点，点， .
∴，
∴.，
∵
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，
∴点A的坐标为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
【答案】(1)的长
(2)此时水面截线减少了
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答；
（2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长．
（2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，
∴
由题意可知：
在中，根据勾股定理得：，
∴ ，解得：，
∴，
∴，
∴此时水面截线减少了．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值；
【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
【答案】（1）4；（2）元
【分析】（1）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解；
（2）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答；
本题考查了垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：（1）如图1，过点M作交于点，交于，
∵，是半径，为定值，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当时，最小，此时最大，
即当点P运动到时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为4．
（2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴的面积为定值，且，
∴当点C到距离最大时，的面积最大，即此时四边形的面积最大，
∴当经过圆心O（点C在的位置）时，四边形的面积最大，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴修建和两座小桥的总成本为：（元）．
6．（24-25九年级上·河南周口·期中）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求筒车水面的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，）
【答案】(1)
(2)2米
(3)米
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质：
（1）根据题意可得每秒转过，即可求解；
（2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解；
（3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒．
∴每秒转过，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，
米．
（3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，
在中，米，
∴米，
∴米，
在中，米，
∴，
，
∴，
∴米，
∴米，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米．
模型03 圆周角与圆心角有关计算及证明问题
考｜向｜预｜测
本部分内容常考的是圆周角和圆心角的转化，可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
答｜题｜技｜巧
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化
2.圆中出现直径，我们可以构建直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，可利用在直角三角形
中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明
（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)如图2，若点为的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，得出；
（2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证；
（3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
∵，
，
．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接 ，作，
，
，
∴，
，
又，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
解得：（舍去），
，
设，
在 中，
．
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、．
(1)求证：；
(2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证出，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先证出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，同理可得，根据平行线的判定可得，然后根据矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
由圆的性质得：，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由题意，画出图形如下：
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）已得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、矩形的判定等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F．
(1)求证：平分；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分；
（2）证明，推出，即可证明．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，．
(1)求证：．
(2)若．
①求的度数．
②当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②的长为
【分析】（1）根据垂径定理推论得到平分，再根据弧与弦的关系即可求证；
（2）①由等边对等角得到，而，那么，则，即可求解；②连接，由得到，则，那么，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵弦直径，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆中弧与弦的关系，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握圆中相关概念是解题的关键．
4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解；
（2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解；
（3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得 ，,
.
，，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
5．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)①求证：；②求证：为圆的直径．
【答案】(1)
(2)①证明见解析； ②证明见解析
【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质即可得到答案；
（2）①根据圆周角与弦的关系，再结合平行四边形性质得到，由等腰三角形性质即可得证；
②作，交圆于点，连接，如图所示，由平行四边形性质及得到的角相等，由三角形全等的判定与性质得到，进而由弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
四边形为圆内接四边形，
；
（2）证明：①，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
即；
②作，交圆于点，连接，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由得到，
，
为圆的直径．
【点睛】本题是圆的综合，涉及三角形外角性质、圆内接四边形性质、弦弧及圆周角关系、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质及圆周角推论等知识，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键．
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在⊙中，为直径，，点在⊙上．
(1)如图，求证：平分；
(2)如图，过点作于点，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，过点作于点且与的延长线交于点，连接并延长，分别与、交于点，连接并延长，与交于点，若，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（）由得，即得，即可求证；
（）如图，过点作，交的延长线于点，可证，得到，，又可得四边形是矩形，得到，，即得，即得到，即可求证；
（）如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于，连接，由（）知，四边形是矩形，，，可得四边形是正方形，即得，得到，进而得，由圆周角定理得，得，即得，再证明，可得，即得，利用余角性质得，可得，，又由平行线的性质得，得，设，则，由得，得到，即得，，得到，即可得，最后根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：如图，过点作，交的延长线于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作于，连接，则，
由（）知，四边形是矩形，，，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴点共圆，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
模型04 圆周角与圆内接四边形综合问题
考｜向｜预｜测
圆内接四边形的考查经常与圆周角、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等内容在一起考查，难度不大，解决这类问题主要是灵活应用圆内接四边形相等
答｜题｜技｜巧
四边形的外接圆国到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径；反过来，如果四边形的各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点在同一个圈上
(四点共园).
（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连接与的延长线交于点．
(1)求证：平分．
(2)①比较大小：_________（填“＞，=，＜”）．
②若的半径为，则的长为____________．
(3)若，，则的长为____________．
【答案】(1)见解析；
(2)；；
(3)．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、对顶角相等、圆周角定理、四边形内角和解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，解直角三角形、圆周角定理解答即可；
利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
，，
．
为的直径，
．
，
．
，
．
．
平分．
（2）解：由上题可知
，，
．
，
．
．
，
．
为的直径，
．
，
．
半径为，
．
，
．解得．(负数舍去)
．
，，
．
，
．
，即．
．
．
故答案为：；；
（3）解：为的直径，
．
，，
．
．
，
为等边三角形．
，．
．
．
，
．
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质的性质是解题的关键．
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，为的切线，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据直径所对的角为直角可得，再利用角平分线的定义可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求得答案
（2）先证明，结合可得，进而证明，即可得出、、三点在同一直线上，即可证明结论；
（3）过点作交于点，在中，，再证明，可得，继而求出，由此即可解题．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵
∴，
（2）∵为的直径， 为的切线，
∴，，
∴
∵，即：，
∴，
∴，
∴、、三点在同一直线上，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，
∵，
∴在中，，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴．
∴，
∴，即，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
2．（2025·浙江·一模）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）证明可得结论；
（2）①由平行线的性质得，由圆周角定理得，可证明得，得，进一步得出是正三角形，故可得出结论；
②先求出，作于点，设，求出,在上取点，使，求得即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：①如图，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是正三角形，
；
②的度数与的度数之比为3，
，
，
作于点，
设，
∴,
在上取点，使，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴，
．
3．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，为的直径，直线与相切于点C，割线于点D且交于点E，连接，，．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先判断出，再判断出，得出，再根据，得到，即可得出结论；
（2）先证明，得到，即可得出结论；
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，作出辅助线是解本题的关键．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵直线与相切于点C，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：∵，垂足为D，AB是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明；
（3）如图所示，过点C作于点H，首先得到，得到，，同理可证，，得到，然后求出，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∴；
（2）∵四边形内接于，
∴
∵
∴
又∵
∴；
（3）如图所示，过点C作于点H
∵
∴
∴
∴
∴
同理可证，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
由（2）得，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
5．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形内心的性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，．
(1)求证：；
(2)连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆内接三角形对角互补得出，根据平行线的性质得出，于是得出，再根据等边对对角得出，即可得证；
（2）连接，先证，即可证得，根据相似三角形的性质结合已知，即可求出的长，再证得，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：连接，
∵D是优弧的中点，
∴
∴
由（1）知，
∴，
∵,
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理及推论，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．
模型05 圆与相似问题
考｜向｜预｜测
圆与相似问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在一定的困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是考查切线的证明、线段的计算问题，常与全等三角形、等腰三角形、相似三角形在一起考查。
答｜题｜技｜巧
在利用相似三角形解决圆的问题是，重点是找到对应的角相等。圆中证明角相等的常见思路主要有：
（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
（2）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
（2025·安徽淮北·一模）如图，经过的顶点B，与边分别交于点E，F，与边相切于点D，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若经过圆心O，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）过点作直径，连接，利用圆周角定理求得，利用切线的性质求得，推出，证明，据此即可得证；
（2）由（1）的结果求得，利用等积法求得，利用勾股定理求得，同理证明，求得，，，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：过点作直径，连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：由（1），
∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
1．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论；
（2）证明，求出，证明，求出．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点．
(1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②证明：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)①图见解析；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据过直线上点作已知直线的垂线的方法作图即可；
②连接，由直径所对圆周角为直角得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，，由此即可求解；
（2）连接，可得，，由为中点，为中点，得到，可证∽，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：①所作图形如图所示，
②证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，即．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为中点，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握尺规作垂线的方法，圆的切线的性质，直径所对圆周角为直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识，数形结合分析是解题的关键．
3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F．
(1)求证：是圆O的切线；
(2)若，求圆O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，推出是的中位线，得到，进而得到，即可得证；
（2）证明，，，设半径为，进而得到，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵以为直径作圆O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
故的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
4．（2025·广东清远·一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点．
(1)当时，=_______；
(2)求证：；
(3)已知，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）根据题意可知，，进而利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）由（1）可知，，，进而可得，由点是弧的中点，可知，即可证明结论；
（3）在中，由勾股定理可得：，结合（2）可证明，平分，在根据相似三角形的性质得，，设点到、的距离为，，则，结合等面积法可得，即，进而求得答案．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，则，
又∵是的切线，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）证明：由（1）可知，，，
∴，则，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）在中，由勾股定理可得：，
由（2）可知，，
∴，平分，
∴，即，
∴，，
设点到、的距离为，，则，
∴，则，即：，
∵，
∴．
5．（2024·广东佛山·一模）已知四边形内接于，且．
(1)如图1，求证：为的直径；
(2)如图2，过点C作的垂线交于点E，G为上一点，连接，并延长交延长线于点F，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点A作的切线，在切线上取一点L，使，连接，在上取一点Q，连接并延长交于点P，使，连接和，点N和点M分别在和边上，若，和相交于点K，且，，的面积是，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点E作于点H，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；
（3）过点L作，交的延长线于点H，利用圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质得到；过点N作于点J，连接，延长交于点R，连接，利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质与性质，等腰直角三角形的判定与性质和线段垂直平分线的判定与性质得到；设，则，利用三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得到的长，则．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴，
∴为的直径；
（2）证明：过点E作于点H，如图，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴矩形为正方形，
∴．
∴，
∴；
（3）解：过点L作，交的延长线于点H，如图，
∵为的切线，
∴．
∴，
∵为直径，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴．
过点N作于点J，连接，延长交于点R，连接，
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴．
设，则，
∵的面积是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
．
由（2）知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质，构建恰当的辅助线是解题的关键．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的最大值；
(3)在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）连接，证，根据相似三角形的性质，先求出，过作于H，根据等腰三角形的“三线合一”的性质求出，运用勾股定理求得，，问题得解；
（2）连接，先证明，再根据相似三角形的性质解决，设，则，得到，最后根据二次函数的性质即可解决；
（3）过作于，利用面积相等求得，然后利用三角函数正切的定义，在中，求得，在中求出，进一步求出，在中，求出，接下来证，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的值．
【详解】（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数最值．解题关键是构造辅助线，利用几何性质简化问题，将几何问题转化为代数方程（如二次函数、相似比例）求解．灵活运用圆的性质和三角形相似性建立关系是解题的关键．
模型06 圆与三角函数问题
考｜向｜预｜测
圆与三角函数的问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在一定的困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是利用圆的基本性质、切线的有关计算与证明来解答圆的有关线段的计算、角度的计算或数量关系、切线的证明，尤其在利用锐角三角函数求线段的长、求一个角的三角函数值，会在角的转化方面存在问题.
答｜题｜技｜巧
在利用锐角三角函数解决圆的问题时，重点是在直角三角形找到对应的角相等，直角三角形中证明角相等的常见思路主要有：
（1）利用平行线的性质进行推导：两直线平行，同位角相等、内错角相等
（2）利用同角或等角的余角（补角）相等
（3）直角三角形的两锐角互余
（4）等腰三角形的两底角相等
（2025·陕西榆林·一模）如图，已知是的外接圆，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为10
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，连接，，，三线合一结合平行线的性质，推出，即可得证；
（2）圆周角定理推出，解直角三角形求出圆的半径即可．
【详解】（1）证明： ，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又 是的半径，
与相切．
（2）解： ，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，，经过，两点，与斜边 交于点 ，连接 并延长交于点，交于点，连接，过点的切线与交于点，且．
(1)求证： ；
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质．
（1）连接，根据是的切线可得进而可得，再由同弧所对圆周角等于圆心角度数的一半可得，进而可得是等腰直角三角形，即得．
（2）由直径所对圆周角等于，可得，进而可得，从而证明，得出，再结合已知， ，可得，，， 进而求得，，由勾股定理求出，进而求出，，进而求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的半径，是的切线；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
2．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．
(1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若，求的正切值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论；
（2）首先根据勾股定理求出的长度，然后证明，最后利用求解即可．
【详解】（1）连接，如图，
是的直径，
，
，
∵E为的中点，
，
，
，
，
∵切于点，，
，
是的切线
（2）在中，
，
，
，
，
，
即，
连接，则，
，
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在三角形中，O为边上一点，是的切线，延长至点D，连接，，且与互余．
(1)求证：是的切线
(2)若，求的值
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形：
（1）过点作，对顶角相等，等角的余角相等，得到，切线得到，角平分线的性质得到，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，根据，得到，进而得到，进而得到，设， ，则：，根据，求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵与互余，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，即：，
∴，
∴设， ，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中：．
4．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上．
(1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证：与相切；
(3)当，时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
5．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）先连接，证明，可得，可得答案；
（2）设的半径为r，表示，再根据平行线的性质得，可求出圆的半径，即可得，进而求出，然后根据勾股定理求得，接下来根据特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理，得，然后得出，最后根据勾股定理求出，并结合平行线分线段成比例得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
即，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，
设的半径为r，则．
∵，
∴．
∵，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，根据勾股定理，得．
∵，
∴.
根据勾股定理，得．
∴，
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，特殊角三角函数值，平行线分线段成比例，平行线的性质和判定，角平分线的定义等，勾股定理是求线段长的常用方法．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的最大值；
(3)在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）连接，证，根据相似三角形的性质，先求出，过作于H，根据等腰三角形的“三线合一”的性质求出，运用勾股定理求得，，问题得解；
（2）连接，先证明，再根据相似三角形的性质解决，设，则，得到，最后根据二次函数的性质即可解决；
（3）过作于，利用面积相等求得，然后利用三角函数正切的定义，在中，求得，在中求出，进一步求出，在中，求出，接下来证，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的值．
【详解】（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数最值．解题关键是构造辅助线，利用几何性质简化问题，将几何问题转化为代数方程（如二次函数、相似比例）求解．灵活运用圆的性质和三角形相似性建立关系是解题的关键．
一、解答题
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
【答案】(1)作图见详解
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握中线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中线平分三角形面积作图即可；
（2）根据直径或半圆所对圆心角为直角，可得，结合可得是线段的垂直平分线，如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，可证，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
(1)求证：；
(2)设，垂足为M，若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即．
（2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
（2）由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理，得 ，由圆周角定理，得；
（2）可证得；中，勾股定理求得，于是.
【详解】（1）证明：∵ 是的半径
∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
（2）解：∵ 又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中
∴（勾股定理）
即
∴.
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
(1)求证：直线直线；
(2)若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析，②．
【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得；
②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长．
【详解】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
6．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
7．（2022·贵州六盘水·中考真题）牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【答案】(1)
(2)，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况
【分析】（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解；
（2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【详解】（1）解： ，，
，
设半径为，则
在中，
解得
答：半径的长约为
（2）如图，在优弧上任取一点，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若．求和的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】对于（1），根据正方形性质得出，可证，再证即可；
对于（2），根据点E为中点，求出，利用勾股定理求得，，然后证明，得出求出，再根据（1）求出，最后根据得出答案．
【详解】（1）证明：正方形内接于，
∴
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵点E为中点，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
根据勾股定理，得，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
由（1）得，
∴.
【点睛】本题主要考查了圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
9．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
10．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
【答案】(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
故答案为：．
（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用证明，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；
（3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可．
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
一、解答题
1．（2025·安徽阜阳·一模）如图，内接于，点为弧的中点，交于，于，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理及推论、等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
（1）设，则，求出，进而求出，得出结论；
（2）在上截取，分别连接，证明，进而得出，求出即可求出结论．
【详解】（1）证明：设，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在上截取，分别连接，
点为弧的中点，
，
，
．
点为弧的中点，
，
，
．
，
．
，
，
．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，是半圆的直径，是上一点，点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定，熟知垂径定理、圆周角定理及平行线的判定是解题的关键．
（1）先根据点D是的中点，结合圆周角定理得出，进一步得出即可解决问题．
（2）连接，交于点M，先根据勾股定理求出，进而得出的长，再利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再连接，求出的长，最后在中利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：点是的中点，
．
．
在中，，
．
．
．
（2）解：连接交于点，连接．
为的直径，
．
在中，，
由勾股定理得，．
点是的中点，
．
为的半径，
根据圆的对称性可知，．
即．
在中，，由勾股定理得，
．
．
在中，，
由勾股定理得，．
为的直径，
．
在中，，由勾股定理得，
．
3．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在上，点E在的延长线上，连接，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接，，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）按照作角平分线的方法作出射线即可；
（2）连接，，并标记，，，，由（1）得是的平分线，由角平分线的定义可得，由圆内接四边形的性质可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，于是结论得证．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）证明：如图，连接，，并标记，，，，
由（1）得：是的平分线，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等边，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．（2024·河北·一模）如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．
(1)求的半径．
(2)探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G，使，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，由直角三角形的性质及勾股定理得 进而证明点、、三点共线，利用勾股定理求得 即可求得的半径；
（2）如图，连接，先证明，，再利用圆内接四边形的性质得从而利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：连接，
∵为等腰直角三角形，为直角，，，
∴ ，，
∵，
∴的直径，
∴
∴
∴点、、三点共线，
∵
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴
∴的半径为；
（2）解：如图，连接，连接并延长交于，
∵，，
∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，
∴，，
∵
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边与以为直径的半圆交于，两点，点在上，连接，，，点在的延长线上，连接，，，若，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理求出的度数，在根据三角形内角和定理求出和的度数，即可证明；
（2）根据题干已知角的和差关系可以求出的度数，在根据圆周角定理求出的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出的度数，从而得证；
（3）过和分别作的垂线，先证明在上，然后根据等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角直角三角形的性质以及勾股定理求出和的比值即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
为直径，在圆上，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
（2）证明：连接，如图所示：
由三角形外角的性质可知，
又，
，
由圆周角定理可知，
，，
为等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：连接，，过作于，过作于，如图所示：
为等边三角形，是中点，
，，
，
，
，
，
在上，
是的直径，
，
，则，
令，则，
在中，，由勾股定理可得，
，即是等腰直角三角形，
，
，过圆心，
，
在中，是中点、是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，．
(1)尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，圆周角定理，圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的内接四边形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握作图，圆的性质是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，交点即为所求；
（2）连接，证明即可证明．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
则点O即为所求．
（2）证明：连接，
则；，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴；
∴；
∵四边形内接于，
∴；
∵
∴，
∴．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到；
（2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴
．在 中，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
9．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______；
问题探究
（2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值；
问题解决
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据，得点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，得；
（2）当点P位于的中点时，根据，得过点O，证明，可得,根据，得，，为最大值；
（3）连接，过点C作于点E，可知点C是在以为圆周角的的一段弧上，在另一侧圆上取点G，连接，得，，是等边三角形，得，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，取中点F，连接，可得，由，得是等边三角形，可得，，，得，，得绿化区域面积的最大值， ．
【详解】解：（1）∵在四边形中，，
∴点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）当点P位于的中点时，最大，
∵，
∴直线过点O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点C作于点E，
∵，
∴点C是在以为圆周角的圆弧上，
设圆心为O，在另一侧圆上取点G，连接，
则，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，
取中点F，连接，
∵，
∴，
∵
,∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故绿化区域面积的最大值为．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键．
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？
【活动过程】素材：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有限高标志，如图，表示车辆顶部最高处到地面的距离不超过，否则禁止通行．
素材：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图：
①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等
②矩形的长为，高为，车道两侧各有人行道；
③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有的距离．
【问题解决】
(1)试求隧道口上半圆中点到路面的距离；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定及性质，圆的基本概念，熟练掌握矩形的判定及性质是解题的关键．
（1）由题意可得四边形是矩形，，，，，从而得，，，进而得四边形是矩形，，于是即可得解；
（2）如图，在上取一点，使得，在上取一点，使得，分别过、作、于点、，交半圆于点，连接，由（）得四边形是矩形，从而，进而证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，，，，，，在中，利用勾股定理得，从而即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得四边形是矩形，，，，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴隧道口上半圆中点到路面的距离；
（2）解：如图，在上取一点，使得，在上取一点，使得，分别过、作、于点、，交半圆于点，连接，
由（）得四边形是矩形，
∴，，
∵、，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴的最小值为．
11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些 （不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）
【答案】(1)
(2)
(3)方案一中的种植宽度要大些
【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可；
（3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论．
【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，解得，
即圆的半径为；
（2）解：根据题意，，，，
设该抛物线的函数表达式为，
将点代入中，得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（3）解：如图1，连接，
由题意，，，，，
在中，，，
由勾股定理得，
∴；
如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1，
将代入得，解得，
∴，
∵，
∴方案一中的种植宽度要大些．
12．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆．
(1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)2或
(3)135；；45；
【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论；
（2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可；
（3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得．
【详解】（1）证明：由旋转可得，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分两种情况讨论：
①如图，若点P在的上方，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点A，D，P在同一直线上，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
②如图，若点P在的下方，连接
由①得，，
∵，
∴，
∴点B，P，D在同一直线上，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为2或．
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上．
如图，当点D在的延长线上时，有最大值，
最大值为，
此时，
∵，
∴．
如图，当点D在线段上时，有最小值，
最小值为，
此时．
故答案为：135；；45；
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08圆的有关计算与证明大题题型总结（6大类型）
题型解读｜模型构建｜通关试练
在中考数学中，圆的基本性质与计算在大题中通常考察垂径定理的有关计算、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，并且圆的性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.
1、垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2、圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
3、圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
4、圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
模型01 垂径定理的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
垂径定理的计算与证明问题，在圆的有关解答题中会考查到，垂径定理的计算问题经常涉及平行线的判定、勾股定理、直角三角形、三角形中位线性质、全等三角形、相似三角形的判定和性质等内容，此部分计算难度不大，分值一般在5-8分左右
答｜题｜技｜巧
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.在弦长.弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个.
（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，为圆的直径，为圆上一点，为弧的中点，过作于点，交圆于点，交弦于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点．
(1)求的半径；
(2)连接，求的值．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求EF的长．
3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，弦垂直于直径，交于点
E，点F是上一点，连接交于点G，连接且，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若的半径长为1，当时，求的长．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
(1)求证：为的中点．
(2)①若，求的值．
6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)已知，，
①求的半径长．
②若点G是的中点，求与的面积之比．
模型02 垂径定理的有关综合应用
考｜向｜预｜测
垂径定理的应用很广泛，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
答｜题｜技｜巧
掌握垂径定理常见的辅助线：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，
(1)如图1，，的延长线交于圆心，若甲组测得，，，求的长．
(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点为的中点，若丙组测得，，求该混凝土管片的外圆弧半径．
1．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，．
(1)求的长．
(2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由．
2．（2025·河北保定·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐．距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，圆被水面截得的弦为，水而下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离），．
(1)求弦的长；
(2)求劣弧的长；
(3)由于水面上涨，当盛水筒内水面高度变为米时，求弦的宽度．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）综合与实践【主题】足球最佳射门位置．
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦
作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即．
【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值；
【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
6．（24-25九年级上·河南周口·期中）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求筒车水面的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，）
模型03 圆周角与圆心角有关计算及证明问题
考｜向｜预｜测
本部分内容常考的是圆周角和圆心角的转化，可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
答｜题｜技｜巧
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化
2.圆中出现直径，我们可以构建直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，可利用在直角三角形
中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明
（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)如图2，若点为的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长．
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、．
(1)求证：；
(2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F．
(1)求证：平分；
(2)当时，求证：．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，．
(1)求证：．
(2)若．
①求的度数．
②当时，求的长．
4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
5．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)①求证：；②求证：为圆的直径．
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在⊙中，为直径，，点在⊙上．
(1)如图，求证：平分；
(2)如图，过点作于点，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，过点作于点且与的延长线交于点，连接并延长，分别与、交于点，连接并延长，与交于点，若，，，求的面积．
模型04 圆周角与圆内接四边形综合问题
考｜向｜预｜测
圆内接四边形的考查经常与圆周角、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等内容在一起考查，难度不大，解决这类问题主要是灵活应用圆内接四边形相等
答｜题｜技｜巧
四边形的外接圆国到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径；反过来，如果四边形的各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点在同一个圈上
(四点共园).
（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连接与的延长线交于点．
(1)求证：平分．
(2)①比较大小：_________（填“＞，=，＜”）．
②若的半径为，则的长为____________．
(3)若，，则的长为____________．
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，为的切线，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
2．（2025·浙江·一模）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
3．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，为的直径，直线与相切于点C，割线于点D且交于点E，连接，，．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的长．
5．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，．
(1)求证：；
(2)连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长．
模型05 圆与相似问题
考｜向｜预｜测
圆与相似问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在一定的困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是考查切线的证明、线段的计算问题，常与全等三角形、等腰三角形、相似三角形在一起考查。
答｜题｜技｜巧
在利用相似三角形解决圆的问题是，重点是找到对应的角相等。圆中证明角相等的常见思路主要有：
（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
（2）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
（2025·安徽淮北·一模）如图，经过的顶点B，与边分别交于点E，F，与边相切于点D，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若经过圆心O，且，，求的长．
1．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求线段的长．
2．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点．
(1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②证明：．
(2)若，求的长．
3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F．
(1)求证：是圆O的切线；
(2)若，求圆O的半径．
4．（2025·广东清远·一模）如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点．
(1)当时，=_______；
(2)求证：；
(3)已知，，求的长．
5．（2024·广东佛山·一模）已知四边形内接于，且．
(1)如图1，求证：为的直径；
(2)如图2，过点C作的垂线交于点E，G为上一点，连接，并延长交延长线于点F，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点A作的切线，在切线上取一点L，使，连接，在上取一点Q，连接并延长交于点P，使，连接和，点N和点M分别在和边上，若，和相交于点K，且，，的面积是，求的长．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的最大值；
(3)在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
模型06 圆与三角函数问题
考｜向｜预｜测
圆与三角函数的问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在一定的困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是利用圆的基本性质、切线的有关计算与证明来解答圆的有关线段的计算、角度的计算或数量关系、切线的证明，尤其在利用锐角三角函数求线段的长、求一个角的三角函数值，会在角的转化方面存在问题.
答｜题｜技｜巧
在利用锐角三角函数解决圆的问题时，重点是在直角三角形找到对应的角相等，直角三角形中证明角相等的常见思路主要有：
（1）利用平行线的性质进行推导：两直线平行，同位角相等、内错角相等
（2）利用同角或等角的余角（补角）相等
（3）直角三角形的两锐角互余
（4）等腰三角形的两底角相等
（2025·陕西榆林·一模）如图，已知是的外接圆，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，，经过，两点，与斜边 交于点 ，连接 并延长交于点，交于点，连接，过点的切线与交于点，且．
(1)求证： ；
(2)若 求的长．
2．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．
(1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若，求的正切值．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在三角形中，O为边上一点，是的切线，延长至点D，连接，，且与互余．
(1)求证：是的切线
(2)若，求的值
4．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上．
(1)请画出(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证：与相切；
(3)当，时，求的半径．
5．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求和的长．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的最大值；
(3)在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
一、解答题
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
2．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
(1)求证：；
(2)设，垂足为M，若，求的长．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
5．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
(1)求证：直线直线；
(2)若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
6．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
7．（2022·贵州六盘水·中考真题）牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径
可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
8．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若．求和的长．
9．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
10．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
一、解答题
1．（2025·安徽阜阳·一模）如图，内接于，点为弧的中点，交于，于，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，是半圆的直径，是上一点，点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在上，点E在的延长线上，连接，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接，，求证：是等腰三角形．
4．（2024·河北·一模）如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．
(1)求的半径．
(2)探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G，使，求的长度．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边与以为直径的半圆交于，两点，点在上，连接，，，点在的延长线上，连接，，，若，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，求的值．
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，．
(1)尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
9．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______；
问题探究
（2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值；
问题解决
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值．
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？
【活动过程】素材：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有限高标志，如图，表示车辆顶部最高处到地面的距离不超过，否则禁止通行．
素材：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图：
①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等
②矩形的长为，高为，车道两侧各有人行道；
③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有的距离．
【问题解决】
(1)试求隧道口上半圆中点到路面的距离；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些 （不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）
12．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆．
(1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______．
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