重难点01 圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.
模型01 圆性质的应用
考｜向｜预｜测
圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；
2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；
3.看到切线——连半径——90°，证明切线时注意证明90°；
4.圆内接四边形——对角互补，外交等于内对角；
1．（2024·江苏）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
1．如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．
根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
【详解】解：∵对的圆周角是，圆心角是，，
∴，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∴，
故选：C．
2．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
垂径定理可得，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
在中，，
∴，
故选：C．
3．如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，尺规作角平分线等知识点，根据直角所对的圆周角是得出的度数，再由得出的度数，最后根据所画射线为的角平分线即可解决问题，熟练掌握圆周角定理的推论，尺规作角平分线是解决此题的关键．
【详解】∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
根据作图步骤可知，平分，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查最短路径问题，圆的性质，勾股定理解直角三角形，正确作出辅助线，综合运用各个知识，在变化中寻找不变的量是解题的关键．取的中点F，连接，，，则．由与圆O相切，可得，通过解直角三角形可得，．根据是圆O的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为．
【详解】取的中点F，连接，，，则
∵与圆O相切，
∴，即，
∵，，
∴，
．
∵点F是的中点，
∴，
∴在中，．
∵是圆O的直径，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，即的最小值为.
故答案为：
5．如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
【答案】/32度
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，再由平分，可得，，从而出，最后求得．
【详解】解：，
，
平分，
，
为的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
6．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)点F到直线的距离为：或．
【分析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得，根据直径所对的圆周角是直角得出进而得出，证明，得出即可得证；
（2）分点在以及半圆上分别作出图形，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是切线，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图所示，当点在上时，连接，交于点G，
，
，
，
，
，
直径，
，
，
，
；
当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点，
四边形是矩形，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，点到直线的距离为：或．
7．如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识：
（1）连接，由垂径定理得，得出，可得结论；
（2）由勾股定理可得结论．
【详解】（1）证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
∴，
；
（2）解：，，
，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得或（舍），
答：的半径为2
8．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)相切，理由见详解
(2)
【分析】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理；
（1）连接，由得到，由平分得到，则，求出，进而得到，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）直线与的位置关系是相切，
理由是：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即，
为半径，
∴线与的位置关系是相切；
（2）解：设的半径为，
则，
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径是；
模型02 圆与四边形结合的动态探究
考｜向｜预｜测
特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要考查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。
答｜题｜技｜巧
1.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；
2. 注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；
3. 四边形的存在性问题注意假设、反推；
4. 数形结合进行分析、解答
1．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析
(2)2
【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可．
（2）利用垂径定理，勾股定理解答即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：是的直径，，
，即点为的中点．
（2）解：是的直径，，
，
，
，
，
，
．
1．如图，四边形是圆O的内接四边形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，再由圆内接四边形的性质得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是圆内接四边形，
∴．
故选：C．
3．在⊙中，点在圆上，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由得到平行四边形，得到，再由圆内接四边形得到，最后根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
4．如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．
【详解】解：∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为．
(1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）；
(2)当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)；
(3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质可知，，则根据计算即可得出答案；
（2）由正方形的性质可知四边形也是正方形，且其面积，则根据即可得出、、之间的关系；
（3）由可得，过点作，，垂足分别为、，易证四边形为正方形，于是可得，，利用可证得，于是可得，进而可得，易证，则，然后根据即可得出结论．
【详解】（1）解：当经过点时，由正方形的性质可知：
，，
；
（2）解：当于时，由正方形的性质可知：
四边形也是正方形，且其面积，
，
故答案为：；
（3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下：
，
，
如图，过点作，，垂足分别为、，
易证四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
易证，
，
．
6．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”．
(1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）；
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”．
①求证：
②求证：
(3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R
【答案】(1)③
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答；
（2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明；
（3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∴，
∵是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴是矩形，
∵圆的“闪亮四边形”，
∴，
∴是菱形，
∵是矩形，
∴是正方形，
故答案为：③；
（2）①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形是“闪亮四边形”，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点O作于点G，
由①知，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：同理（2）②可得，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为的“闪亮四边形”，，
∴，，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
由（2）②可得，
∴，
∴（负值舍去）．
7．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
(1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到__________个．
(2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且．
①当时，求度数．
②如图3，当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)①或或；②阴影部分面积为：
【分析】（1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；
（2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示：
满足条件的点C共有4个，
故答案为：4；
（2）解∶①，
，
为“圆等三角形，
当时，
，
,
当时，，
当时，，
综上所述：的度数为或或；
②，
，
为“圆等三角形”，
是等边三角形，
，
连接，,交于,
，，
，,
，，
,
共线，
，
与是等边三角形，
，
,
阴影部分的面积扇形的面积的面积
．
模型03 情景与应用题型
考｜向｜预｜测
圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。
答｜题｜技｜巧
1.理解题意，联系圆的相关知识点；
2. 圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；
3. 利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
图形
任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式．
【答案】（1）3；（2）所在圆的半径为20米；（3）函数解析式为
【分析】（1）根据线段垂直平分线交点得到圆心，即可求解；
（2）根据题意，米，米，，如图所示，连接，设，则（米），在中，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可得，设二次函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，线段垂直平分线交点得到圆心，
∴不在同一条直线上的个点确定一个圆，
故答案为：；
（2）根据题意，米，米，，
如图所示，连接，
∴，
设，则（米），
∴在中，，
∴，
解得，，
∴所在圆的半径是米；
（3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
∴，
设二次函数解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∴函数解析式为．
1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空．
(1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：．
证明：连接．
是的直径，
① ．
是过点B的切线，
② ．
即，
又和是弧所对的圆周角
③ ．
．
由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”）
【答案】(1)见解析
(2)；；；它所夹的弧所对的圆周角
【分析】（）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，作直线即可；
（）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论；
【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点；
以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点；
作直线；
∴即为所求；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴；
∵是过点的切线，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵和是弧所对的圆周角，
∴，
∴，
由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
故答案为：；；；它所夹的弧所对的圆周角．
2．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图1，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“”、“”或“”）；
(2)如图2，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
【答案】(1)
(2)不成立，，证明见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，作辅助线构造圆内接四边形，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．
（1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案；
（2）延长交圆于点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
，
故答案为：；
（2）解：结论不成立，，证明如下：
如图，延长交圆于点，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
．
3．阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中，的半径为6，，求的长．
【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于
(2)
【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解；
（2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图2，连接．
点恰好落在上，
（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
．
，
，
．
（三角形内角和是，
，
与相切．
故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是；
（2）解：如图2，过点作于点，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
．
4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，，
(1)求：的长度
(2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角形是解答本题的关键．
（1）过点，交于点M．连接．根据已知条件求出、，由勾股定理计算的长度；
（2）设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离．
【详解】（1）解：过点G作，交于点M．连接．
由题意可得：，，
∴．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．
由垂径定理，得，
∴．
∴．
∵，，且，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为．
模型04 隐圆问题
考｜向｜预｜测
隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动的轨迹。
答｜题｜技｜巧
隐圆问题一般有以下几种表现形式：
（1）根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；
（2）等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；
（3）四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则
1.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．∴．∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
1．如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．
【答案】．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
2.如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
3.如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3
【答案】C
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
4．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键．
1．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长为，
故选：D．
2．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，
∵△ADE绕点A旋转，
∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，
∵AM+AN≥MN，
∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，
∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，
∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．
故答案为：．
3．（2024·云南）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米．
【答案】1
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可．
【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴（米），
∵圆心到水面的距离为4米，
∴（米），
∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米，
故答案为：1．
4．（2023·贵州）如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查最短路径问题，圆的性质，勾股定理解直角三角形，正确作出辅助线，综合运用各个知识，在变化中寻找不变的量是解题的关键．取的中点F，连接，，，则．由与圆O相切，可得，通过解直角三角形可得，．根据是圆O的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为．
【详解】取的中点F，连接，，，则
∵与圆O相切，
∴，即，
∵，，
∴，
．
∵点F是的中点，
∴，
∴在中，．
∵是圆O的直径，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，即的最小值为.
故答案为：
5．（2024·青海）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．
（1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
1．一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②的最大值为4；
③的最小值为；
④当到的距离达到最大值时，．
你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】由折叠的性质可知，，那么当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确；连接，在中，由勾股定理得，而，故，那么的最小值为．故③正确；在中，，，那么当点在右侧圆上时，随着的增大而增大，可得，故当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，此时，故②正确；当时，到的距离达到最大值， 此时四边形为矩形，则，即可求解．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确．
连接，
∵在正方形中，，，，
∴在中，
∵，
∴，
∴的最小值为．故③正确；
在中，，，
∴当点在右侧圆上时，随着的增大而增大，
∵，
∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，
∴此时，故②正确；
当时，到的距离达到最大值，如图：
此时，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求
【分析】本题考查了作图，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，得到，最后连接、交于点，点即为所求．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求．
3．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．以为斜边作等腰，则，连接，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当B、D、Q三点共线时，最小，，由，，即可求解．
【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，．
∴，
∵的直径为，C为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，
∴当B、D、Q三点共线时，最小，，
∵，
∴，
∴；
∴的最小值为．
故答案为：．
4．中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______．
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______．
(3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可；
（2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可；
（3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴，
在中，，即，解得；
∴，即，
∵，
∴，
∴弧的长为．
（2）解：如图2，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3：过C作于G，连接、，
∵，
∴的半径为，
由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
在中，．
5．小静所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板（）的锐角的顶点放在圆上的点处，进行如下实践探究活动．
(1)如图①，小静将直角三角板的直角顶点放在圆形纸片上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小亮将直角三角板摆放成如图②所示的情形，其中边，分别与交于点，，连接，若的半径为2，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据直径所对的圆周角为直角，连接点和与圆的交点，作该线段的中垂线，即可得到圆心O；
（2）连接，过点O作于点G，圆周角定理，得到，垂径定理结合直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）【小问1详解】
解：如图，点O即为所求．
（2）如图，连接，
则，
过点O作于点G，
则，，
∴
∴，
∴．
6．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作．如图，在一个边长为的正方形中，点是边上的一个动点，将沿翻折到，他们想要探究点的运动情况：
由折叠的性质，线段的长度不变，即，因此点的对应点在一个以为圆心，以的长度为半径的圆弧上运动．
(1)当时，因为的圆周角所对的弦是直径，可以认为点在以为直径的圆上，在图中用直尺和圆规确定点、的位置，保留作图痕迹，不写作法；
(2)在（1）的条件下，利用图求的长；（不要破坏图尺规作图痕迹）
(3)当为等腰三角形时，请利用备用图探究并直接写出线段的长：_______．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）以点为圆心，以为半径画，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画，交于点，分别以点、为圆心以大于为半径画弧交于点，连接交于点，连接、、即可；
（2）过点作于点，交于点，过点作于点，由得，进而可得，，根据三角形面积公式可得，进而得出，证明得，求得，，设，由翻折得，则，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（3）根据等腰三角形性质分三种情况：当时，当时，当时，分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）解：以点为圆心，以为半径画，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画交于点，分别以点、为圆心以大于为半径画弧交于点，连接交于点，连接、、、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵在上，
∴，即点在的垂直平分线上，
∵点到点、两点的距离相等，即点在的垂直平分线上，
∴垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴将沿翻折到，
∵是的直径，
∴，
∴点、即为所作；
（2）如图，过点作于点，交于点，过点作于点，
∵四边形是正方形且边长为，
∴，，
∵将沿翻折到，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
（3）设，
当时，过点作交于，交于，如图，
∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
当时，连接，如图，
则，
∵∵将沿翻折到，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴；
当时，则，如图，
此时，点与点重合，点与点重合，
∴不存在．
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或．
故答案为：或．
7．如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得；
（2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
∵是的中点，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点01 圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.
模型01 圆性质的应用
考｜向｜预｜测
圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；
2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；
3.看到切线——连半径——90°，证明切线时注意证明90°；
4.圆内接四边形——对角互补，外交等于内对角；
1．（2024·江苏）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
1．如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ．
5．如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ．
6．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．
(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．
7．如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
8．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的半径．
模型02 圆与四边形结合的动态探究
考｜向｜预｜测
特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要考查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。
答｜题｜技｜巧
1.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；
2. 注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；
3. 四边形的存在性问题注意假设、反推；
4. 数形结合进行分析、解答
1．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，求．
1．如图，四边形是圆O的内接四边形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在⊙中，点在圆上，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为．
(1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）；
(2)当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)；
(3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由．
6．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”．
(1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）；
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”．
①求证：
②求证：
(3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R
7．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
(1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到__________个．
(2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且．
①当时，求度数．
②如图3，当，时，求阴影部分的面积．
模型03 情景与应用题型
考｜向｜预｜测
圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。
答｜题｜技｜巧
1.理解题意，联系圆的相关知识点；
2. 圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；
3. 利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．利用素材解决：《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
图形
任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式．
1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空．
(1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：．
证明：连接．
是的直径，
① ．
是过点B的切线，
② ．
即，
又和是弧所对的圆周角
③ ．
．
由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”）
2．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图1，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“”、“”或“”）；
(2)如图2，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
3．阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中，的半径为6，，求的长．
4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，，
(1)求：的长度
(2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离
模型04 隐圆问题
考｜向｜预｜测
隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动的轨迹。
答｜题｜技｜巧
隐圆问题一般有以下几种表现形式：
（1）根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；
（2）等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；
（3）四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；
模型01 定义型
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型02 直径所对的角为直角（直角模型）
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
模型03 等弦对等角模型
一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则
1.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
1．如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．
2.如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3
4．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
1．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
3．（2024·云南）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米．
4．（2023·贵州）如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ．
5．（2024·青海）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
1．一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②的最大值为4；
③的最小值为；
④当到的距离达到最大值时，．
你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
3．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ．
4．中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______．
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______．
(3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长．
5．小静所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板（）的锐角的顶点放在圆上的点处，进行如下实践探究活动．
(1)如图①，小静将直角三角板的直角顶点放在圆形纸片上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小亮将直角三角板摆放成如图②所示的情形，其中边，分别与交于点，，连接，若的半径为2，求的长．
6．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作．如图，在一个边长为的正方形中，点是边上的一个动点，将沿翻折到，他们想要探究点的运动情况：
由折叠的性质，线段的长度不变，即，因此点的对应点在一个以为圆心，以的长度为半径的圆弧上运动．
(1)当时，因为的圆周角所对的弦是直径，可以认为点在以为直径的圆上，在图中用直尺和圆规确定点、的位置，保留作图痕迹，不写作法；
(2)在（1）的条件下，利用图求的长；（不要破坏图尺规作图痕迹）
(3)当为等腰三角形时，请利用备用图探究并直接写出线段的长：_______．
7．如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
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