重难点03 几何模型求最值（将军饮马模型、建桥选址模型、胡不归模型）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主。本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题。
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型。在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
答｜题｜技｜巧
1. 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移；
2. 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线；
3. 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点；
4. 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型；
1．（2024·黑龙江）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
1．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
2．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
4．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
1.（2023·南京）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
1. 已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
3.如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．
4.如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.
5.如图，已知为的直径，，是的切线，切点分别为点，，点为上的一个动点，连结，．若，，则的最小值是 ．
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
答｜题｜技｜巧
1. 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
2. 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
3. 利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
4. 数形结合解题
1．（2023·安徽）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
1．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
3．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
1.（2023·四川）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
2. （2024·安徽）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．
3．（2023·浙江）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
6．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．
问题探究：
(2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；
问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．
3.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
6．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．2
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题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主。本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题。
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型。在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
答｜题｜技｜巧
1. 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移；
2. 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线；
3. 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点；
4. 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型；
1．（2024·黑龙江）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形和都是矩形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
故选：B．
1．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
2．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
4．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明；
（2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）解：过点N作于点F，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即，
∴在中，，
∴的最小值为．
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
1.（2023·南京）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
1. 已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．
2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3.如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．
【答案】.
【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】解：作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，
，，，
，
中，，，
中，，
，
即的最小值是．
故答案为：．
4.如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.
【答案】
【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要是四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，根据题意可得,即可求出CQ=，则BP=CB-PQ-CQ即可求解。
【详解】
解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵E为CD的中点，∴CE=2
∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH
∴△QCE∽△GHE,
∴,
∴，
∴CQ=，
∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案为．
5.如图，已知为的直径，，是的切线，切点分别为点，，点为上的一个动点，连结，．若，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点作于点，延长交于点，连接交于点，利用将军饮马模型可得此时最小，连接，，，利用相似三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理求得，再利用，求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，，，则，再利用勾股定理即可求得结论．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接交于点，如图，
为的直径，，
．
点与点关于对称．
，此时最小．
．
连接，，，
为的直径，，
．
，是的切线，
，，，．
，
．
，
．
．
．
．
设，则，
为的直径，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
．
．
，，
．
．
．
．
．
过点作于点，
则四边形为矩形，
，．
．
在中，
，
．
故答案为：．
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
答｜题｜技｜巧
1. 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
2. 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
3. 利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
4. 数形结合解题
1．（2023·安徽）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】过A作于F，过点P作于E，故，故，求出即可．
【详解】解：过A作于F，过点P作于E，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
1．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由四边形是菱形结合其性质，将进行转化，再由“垂线段最短”的思想进行求解即可得解．
【详解】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P
∵四边形是菱形
∴AM⊥OB，，，
∵
∴，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示
∵菱形的面积
∴
∴的最小值为4，
故选：A．
2．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
3．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵的对称轴为直线，而，
∴函数最小值为：，
当时，，
当时，，
∴函数值的范围为：；
（3）解：∵，
当时，，
∴，
当时，
解得：，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，
∴，
∴直线为，
∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，
∴，
∴在直线上，
如图，过作于，连接，过作于，
∵，，
∴，，
∵对称轴与轴平行，
∴，
∴，
∴，
由抛物线的对称性可得：，，
∴，
当三点共线时取等号，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：．
1.（2023·四川）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
【答案】
【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可．
【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四边形OMNH是平行四边形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O点关于BC的对称点是点K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵，
∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，
∴．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，
∴OK=AB=8．
∵OH= 2，，
∴，
∴OM+ON的最小值是．
2. （2024·安徽）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．
【答案】/
【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.
【详解】解：过点作，令
∵⊙O的周长为，∴⊙O的半径为∴
∵且∴四边形为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得：∴
∴故：当时，周长有最小值
此时：∴周长的最小值是故答案为：
3．（2023·浙江）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长，过点B作交于点P，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，
∵，∴，则，则，
同理可得：，∴，
∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小，
∵，∴．
故选：A．
4．（2023·四川）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，∴，∵＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，∴是等边三角形，∴，
在中，，∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为12，
故选：D．
5．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)，图和理由见解析
【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，
由勾股定理得， ，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：；
（2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，
则，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
6．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．
问题探究：
(2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；
问题解决：
(3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时，的值最小；
（2）解：如下图所示，
∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，
由题意易得：，
当D、P、E共线时，在中，根据勾股定理得，．
（3）解：如下图所示，分别作点P关于，的对称点，连接，交，于点，连接，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，
∴，
在中，
即周长的最小值等于．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
【解析】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BDCD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CDBC＝3．
【详解】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，
则B′F的长度即为BE+EF的最小值，
∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∴BDCD，
∵BDBB′，
∴BB′＝BC，
在△CDB与△B′FB中，
，
∴△CDB≌△BB′F，
∴B′F＝CDBC＝3．
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．
【解析】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
3.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．6
【解析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P′OP″＝60°即可求出P'P''；
【详解】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，
则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP'，OP''，
∵OP＝3，∠AOB＝30°，
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，
∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，
∴OP′＝OP''＝P'P''，
∴P'P''＝3；
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
【解析】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．
【详解】解：如图所示，连接BM，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，
故选：D．
5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【解析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．
【详解】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
6．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合．
故选：D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．2
【解析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．
【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故选：B．
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