17.1 勾股定理 同步练习题 （含答案）人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 17.1 勾股定理 同步练习题 （含答案）人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 887.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-09 09:56:18 | ||
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文档简介
勾股定理 同步练习题
知识点梳理
1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
2、要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式： ，，
一、单选题
1．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．，， B．1，2，3 C．，， D．9，40，41
2．在直角中，，如果，那么的长度为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
4．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别以，，为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积s的值为（ ）
A．64 B．8 C．2 D．34
6．如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．对于边长为的等边三角形建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长32厘米，在杯口内壁离杯口距离4厘米的处有一滴蜜糖，一只小虫在杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面4厘米的处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬（ ）厘米才能到达蜜糖所在的位置．
A．16 B．18 C．20 D．25
二、填空题
9．若一个三角形的三边长为，则使此三角形是直角三角形的的值是 ．
10．点和点的距离为 ．
11．如图，在中，，，是的中点，在斜边上有一动点．从点出发，沿着的方向以每秒1cm的速度运动，当点运动到点时，停止运动．设动点的运动时间为s，连接，若为等腰直角三角形，则的值为 ．
12．在平面直角坐标系中，点A，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 ．
13．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．
三、解答题
14．如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
(1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，；
(2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长．
16．如图，点D在的边上，交于点F，．
(1)求证：．
(2)若．
①求的度数（用含m的代数式表示）．
②当时，求的长．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．
(1)请利用“赵爽弦图”证明：；
(2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
18．如图，在中，，，点为边上一点，且，点和点关于直线对称，连接．
(1)当时，的形状为_____________；
(2)当时，的形状为______________，试用等式表示和之间的数量关系，并说明理由．（提示：可连接；
(3)若可沿的方向平移后与重合，则此时的度数为_______°，此时可看作是绕点逆时针旋转______°得到的．
参考答案：
1．D
2．D
3．C
4．D
5．B
6．A
7．C
8．C
9．或4
10．3
11．或/或
12．或/或
13．
14．（1）证明：点是的中点，是边上的高．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：设，则，
，
是边上的高，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
15．（1）解：根据题意得：，
是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形，
,
解得：，
，且点在方格纸上的格点上，
等腰直角三角形如图所示：
（2）解：依题意，,
①取，连接，如图所示，
，
取的中点N，过点N作，交于点G，
根据格点的特点，
点G为的中点，连接，
，
，
，
，
故不符合题意，
②取连接，如图所示，
，，
取的中点Q，作交于点G，
根据格点的特点，，
点G为的中点，连接，
，
，
，
，
符合题意，符号题意，且点F在格点上，
连接，
，
③以为底，作的垂直平分线，如图所示，
不符合题意，
等腰三角形如图所示，
．
16．（1）证明：，
，
，
，
又∵，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴
；
②过点A作于点M，如图所示：
∵,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
17．（1）解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，
小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积，
，
，
；
（2）解：由题意可得：，
即，
，
故一个直角三角形的面积为．
18．（1）解：，，，
，，
，
，
点和点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2），
理由：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
连接，则，
，
是等边三角形，
，
故答案为：等腰直角三角形．
（3）如图2，连接，
可沿的方向平移后与重合，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
此时可看作是绕点逆时针旋转得到的，
故答案为：72，108．
知识点梳理
1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
2、要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式： ，，
一、单选题
1．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．，， B．1，2，3 C．，， D．9，40，41
2．在直角中，，如果，那么的长度为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
4．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别以，，为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积s的值为（ ）
A．64 B．8 C．2 D．34
6．如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．对于边长为的等边三角形建立如图直角坐标系，其中顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长32厘米，在杯口内壁离杯口距离4厘米的处有一滴蜜糖，一只小虫在杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面4厘米的处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬（ ）厘米才能到达蜜糖所在的位置．
A．16 B．18 C．20 D．25
二、填空题
9．若一个三角形的三边长为，则使此三角形是直角三角形的的值是 ．
10．点和点的距离为 ．
11．如图，在中，，，是的中点，在斜边上有一动点．从点出发，沿着的方向以每秒1cm的速度运动，当点运动到点时，停止运动．设动点的运动时间为s，连接，若为等腰直角三角形，则的值为 ．
12．在平面直角坐标系中，点A，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 ．
13．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．
三、解答题
14．如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
(1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，；
(2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长．
16．如图，点D在的边上，交于点F，．
(1)求证：．
(2)若．
①求的度数（用含m的代数式表示）．
②当时，求的长．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．
(1)请利用“赵爽弦图”证明：；
(2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
18．如图，在中，，，点为边上一点，且，点和点关于直线对称，连接．
(1)当时，的形状为_____________；
(2)当时，的形状为______________，试用等式表示和之间的数量关系，并说明理由．（提示：可连接；
(3)若可沿的方向平移后与重合，则此时的度数为_______°，此时可看作是绕点逆时针旋转______°得到的．
参考答案：
1．D
2．D
3．C
4．D
5．B
6．A
7．C
8．C
9．或4
10．3
11．或/或
12．或/或
13．
14．（1）证明：点是的中点，是边上的高．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：设，则，
，
是边上的高，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
15．（1）解：根据题意得：，
是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形，
,
解得：，
，且点在方格纸上的格点上，
等腰直角三角形如图所示：
（2）解：依题意，,
①取，连接，如图所示，
，
取的中点N，过点N作，交于点G，
根据格点的特点，
点G为的中点，连接，
，
，
，
，
故不符合题意，
②取连接，如图所示，
，，
取的中点Q，作交于点G，
根据格点的特点，，
点G为的中点，连接，
，
，
，
，
符合题意，符号题意，且点F在格点上，
连接，
，
③以为底，作的垂直平分线，如图所示，
不符合题意，
等腰三角形如图所示，
．
16．（1）证明：，
，
，
，
又∵，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴
；
②过点A作于点M，如图所示：
∵,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
17．（1）解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，
小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积，
，
，
；
（2）解：由题意可得：，
即，
，
故一个直角三角形的面积为．
18．（1）解：，，，
，，
，
，
点和点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2），
理由：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
连接，则，
，
是等边三角形，
，
故答案为：等腰直角三角形．
（3）如图2，连接，
可沿的方向平移后与重合，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
此时可看作是绕点逆时针旋转得到的，
故答案为：72，108．