浙江中考复习——集训精选题（四）（含解析）

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浙江中考复习——集训精选题（四）
一、选择题
1．（2025·金华模拟）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·瓯海模拟）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（　　）
A．B．C．D．
3．（2025九下·武义月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·浙江模拟）如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　）
A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长
二、填空题
5．（2025·金华模拟）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是　 　
6．（2024·南浔模拟）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是　 　．
7．（2024·杭州二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g，则此时：（甲的质量40＋秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是　 　克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是　 　克．
图1 图2
8．（2025·临平模拟）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　.
三、尺规作图
9．（2025·金华模拟）尺规作图问题：
如图，已知，用尺规作图方法作以为邻边的平行四边形．
（1）如图，根据作图痕迹，判定四边形为平行四边形的依据是什么？
（2）在图中，请你再作一个平行四边形（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）
10．（2024·杭州二模）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中画一个△ADE，使得D，E在格点上，，且相似比为1∶2．
（2）在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得．
四、一次函数与反比例函数
11．（2024·杭州二模）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点．
（1）求双曲线和直线的表达式：
（2）在双曲线上任取两点和，若，试比较和的大小，并写出推理过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
12．（2024九下·浙江模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点．
13．（2025·嘉兴模拟）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
五、概率与统计
14．（2025·杭州模拟）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）通过计算补全条形统计图，并求出在扇形统计图中C类的圆心角度数；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
15．（2025九上·苏州月考）5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在学校参加竞赛学生的成绩（用表示）分为四组：组组组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）通过计算补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为 ；
（3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？
六、解直角三角形
16．（2024九下·南浔模拟）如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．
（1）求出遮阳棚前端到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
（结果精确到0.01，参考数据：，，，）
17．（2024·杭州模拟）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，米，米.
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，求AG
（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1，则点G的上升高度为米.
18．（2024九下·浙江模拟）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
（1）如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离；
（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据）
七、二次函数
19．（2024·南浔模拟）已知二次函数．
（1）若它的图象经过点和点．
①求该二次函数的表达式；
②当自变量的值满足时，求的取值范围．
（2）若它的图象经过点，且，求的取值范围．
20．（2025·龙湾模拟）已知二次函数的解析式为．
（1）若点在该二次函数的图象上，求的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当时，函数有最大值和最小值，求证：．
21．（2025九上·仙居期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
八、圆的几何图形
22．（2025·龙湾模拟）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
23．（2024九下·浙江模拟）如图，四边形是的内接四边形，．
（1） ．
（2）如图，若半径．
①求证：；
②若，求的值；
③如图，过作于点，交于点的延长线恰好经过点，若，，求的长．
24．（2024·拱墅模拟）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连接．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、，，，过作于点，
由正六边形的性质得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，即点、、共线，
同理：点、、共线，
∴、、、共线，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
同理：，
∴，，
∴，
同理可得，
∴四边形是菱形，是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形的面积为．
故答案为∶．
【分析】连接、，，，过作于点，得到、、、共线，根据勾股定理求出，即可得到四边形是菱形，是等边三角形，然后根据勾股定理求出AJ长解题即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，
∴根据平衡条件可得：，
整理得：，
∴y是的正比例函数，
把代入得：，
∴图象经过点，
∴C选项的函数图象符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平衡条件可得y与x之间的函数解析式，再把x=5代入求得的函数关系式计算可得图象经过点（5，200），然后再结合各选项判断即可求解．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过作于，则，
＝5．
．
故答案为：D
【分析】过作于，根据勾股定理可得AC=5，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，取中点，连接，在上取一点，使，连接，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，
∵以为顶点作一个的角交、边于、两点，
∴，
，
，
，
，，
∵点为边上的中点，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵点是中点，点是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
，
，
，
即为周长的一半，
故答案为：B．
【分析】取中点，连接，在上取一点，使，连接，易证 是等边三角形，根据等边三角形的性质得，从而得，进而证明，得、，根据，得出，证得，得到，，然后可证，得出，接下来证出是等边三角形，得，于是得，可证明，得到，即可得出，据此即可求解.
5．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点，
∵
∴
∴是直角三角形，
依题意，为的重心
∴
在中，
∴
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到为的重心，连接并延长交于点，根据勾股定理求得长，根据重心定理解题即可．
6．【答案】
【解析】【解答】解：∵满足方程组（为常数） ，
即，
∴，
∴a+4=0，b-1=0，
即a=-4，b=1，
∴点Q的坐标为（-4，1），
∵定义的影子点为，点的影子点是，点正好落在一次函数的图象上，
∴点的影子点的坐标为（-4，4），
代入，得-4k+2=4，
即.
故答案为：.
【分析】将方程组变形得到，即可得到，求出a、b的值，即可得到点Q的坐标与点的影子点的坐标，将点的坐标代入一次函数，即可得到答案.
7．【答案】4；100
【解析】【解答】解：设秤盘的质量为x克，秤砣的质量为y克，
∴
解得：
设这把秤杆的秤星E对应的刻度为m克，
∴
∴
故答案为：4，100.
【分析】设秤盘的质量为x克，秤砣的质量为y克，根据杠杆平衡原理以及题中的图片信息得到方程组，求出x和y的值，最后再根据"（甲的质量40＋秤盘质量）秤砣质量"，即可求出这把杆秤的秤星E对应的刻度.
8．【答案】
【解析】【解答】解：如图2，延长CE交AB的延长线于点D，
在 中， 作 于G点，
即
中，
故答案为：
【分析】根据题意，延长CE交AB的延长线于点D，得到 再分别求出CD，AD长，即可得到结果.
9．【答案】（1）解：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
判定四边形为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示：
．
【解析】【分析】（1）根据作图，利用平行四边形的判定定理解答即可；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作图即可．
（1）解：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
判定四边形为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示：
．
10．【答案】（1）解：如图，即为所求，
.
（2）解：如图即为所求，
.
11．【答案】（1）解：∵在双曲线 上，
∴
∴
∴
∴
把代入直线，
∴
∴.
（2）解：由题意可知分两种情况讨论，
①当M、N在双曲线同一支上时，
∵双曲线k=-2<0，
∴在同一支上时函数值随x增大而增大，
∴当时，
②当M、N不在双曲线同一支上时，
∵，
∴
∴
此时，.
（3）不等式的解集为：，
【解析】【解答】解：（3）根据图象，即一次函数值大于反比例函数值
∵，
∴不等式的解集为：，
【分析】（1）先根据点B的坐标求出双曲线的解析式，进而求出点A的坐标，最后把代入直线，即可求出其解析式；
（2）由题意可知分两种情况讨论，①当M、N在双曲线同一支上时，②当M、N不在双曲线同一支上时，分别根据双曲线的增减性，分析即可求解；
（3）根据图象，即一次函数值大于反比例函数值，结合点A和点B的坐标即可求解.
12．【答案】（1）解：∵ 一次函数与反比例函数的图象相交于两点 ，
∴当时，，
，
，
，
，；
（2）解：由（1）可知一次函数与反比例函数的图象相交于，，
∴根据函数图象可知不等式的解集为：或；
（3）证明：由（1）可知，，，
根据题意可得，，
设直线解析式为，代入、坐标得：，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
∴直线经过原点．
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可得的值，根据反比例函数图象上点的坐标特征、结合的值可求出的值；
（2）根据一次函数与反比例函数的交点问题，结合（1）中的坐标可直接写出不等式解集；
（3）根据的坐标，结合题意可得，，然后用待定系数法求出直线解析式，再令，则，即可得证结论.
13．【答案】（1），
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
∵，在直线上，
∴．
解得：．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：设乙车出发时，
∵在中，当时，，
∴，
∵乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
∴两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，
解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【解析】【解答】解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
14．【答案】（1）解：∵关注E种类有34人，占17%，
∴（人），
答：本次参与调查的居民有200人；
（2）解：选择B．“龙江肉”的学生人数为：（人）；
补全条形统计图如图所示：
在扇形统计图中C类的圆心角度数是.
（3）解：∵ 本次参与调查的关注“龙江杂粮”的有46人，
∴（人），
答：该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民约为920人．
【解析】【分析】（1）根据关注E种类的人数与占的百分比，可求得本次参与调查的人数；
（2）先根据关注B的占的百分比，可求出样本中选择B．“龙江肉”的人数，再可补全条形统计图，根据C类的人数，可求出在扇形统计图中C类的圆心角度数；
（3）根据本次参与调查的关注D．“龙江杂粮”的学生所占的百分比，可估计总体中选择D．“龙江杂粮”所占的百分比，从而求出相应的人数．
15．【答案】（1）解：根据题意，得参加竞赛学生总人数为：（人），
∴B组的人数为：（人）
∴补全频数分布直方图如下图：
（2）解：根据题意，得A组所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36°；
（3）解：（人），
∴估计全区参加竞赛的5000名学生中有3500人的成绩不低于80分．
【解析】【分析】（1）用C组人数除以C组所占百分比得参加竞赛学生的总人数，然后用总人数乘B组所占百分比得B组人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）用360°乘A组人数所占比即可求解；
（3）利用样本估计总体，将5000乘成绩不低于80分的人数所占比即可求解.
16．【答案】（1）解：如图，所示过点M作，垂足为N，
在，米，，
而，
∴米．
因此遮阳棚前端M到墙面的距离为米．
（2）解：如图所示，过点E作，垂足为H，
在，米，，
∴米，
∵米，
∴米，
由（1）可知米，
∵米，米，
米，
在中，米，
米．
因此加装的前挡板的宽度的长是米．
【解析】【分析】（1）在直角三角形AMN中，斜边AM已知，sin75°条件也给出，因此利用正弦值进行计算即可求出MN的长度；
（2）AB的长度已知，AN可以利用余弦值来求出，此时BN的长度即可计算得出；结合（1）的结论MN的长度已知，BC为阴影部分的长度也已知，即可计算出CH的长度。利用正切值计算出EH的长度，ME的长度即可计算得出。
17．【答案】（1）解：如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，
CF=DF=1.8米，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AG的长为4米，
（2）过点G作GF⊥DC于点F，过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHE=∠GFE=90°，如图所示：
∵CD=3.6米，DE：CE=5：1，
∴CE=0.6米，
∴EH=1.8-0.6=1.2米，
∴AE=米，
∵∠AEH=∠GEF，
∴△EAH∽△EGF，
∴，
∴，
解得：GF=，
∴点G上升的高度为（）米，
【解析】【分析】（1）连接AB，过点A作AF⊥CB于点F，用勾股定理求出AF的长，证△AFB∽△CFA，根据对应线段成比例求出BF的长，再用勾股定理求解即可；
（2）过点G作GF⊥DC于点F，过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHE=∠GFE=90°，先证出△EAH∽△EGF，可得，再将数据代入求出GF的长即可.
18．【答案】（1）解：如图1，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴点到墙面的距离为；
（2）解：如图2，延长光线交于点，延长交于点，
根据题意，可得，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
，
∴，
∴光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
【解析】【分析】（1）过点作于，在中，解直角三角形求出的值即可；
（2）延长光线交于点，延长交于点，易证四边形是矩形，得，，利用勾股定理求得，从而得，进而得，在中，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论．
19．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点和点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
②，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，；
（2）解：根据题意可知，对称轴为，
当x=0时，y=2，
∴图像经过点（0，2），
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小，
∴点（0，2），（6，n）在对称轴左侧或两侧，
当点（0，2），（6，n）在对称轴左侧时，
∵点（p-4，m）在对称轴左侧， 且 ，
∴p-4＞6，
即p＞10；
当点（0，2），（6，n）在对称轴两侧时，
∴（p，m），（6，n）在右侧，（0，2）在左侧，
∴，
即5综上所述，p＞10或5【解析】【分析】（1）①根据待定系数法即可求出二次函数的表达式；
②将表达式化为，再根据增减性即可得到答案；
（2）根据题意得到对称轴为，即图像过点（0，2），根据图象经过点，且，得到点（0，2），（6，n）在对称轴左侧或两侧，分别求出点与对称轴的距离即可得到答案.
20．【答案】（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，其中二次项系数，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，
又∵|-1-1|＞|2-1|，
∴ 当时
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，将代入，求解一元二次方程即可；
（2）先利用配方法将解析式配成顶点式，求出顶点坐标，由该抛物线顶点在x轴上可得顶点的纵坐标为零，据此建立方程求出c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（3）由二次项系数大于零，得抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，据此结合x的取值范围，求出二次函数的最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，
其中，对称轴为直线，
∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
21．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为.
（2）解：∵ 图象上的点称为函数的不动点，
∴，
解得：，，
∴这个函数不动点的坐标为和.
（3）解：∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
【解析】【分析】（1）先根据点（4，-1）及对称轴，得到关于b，c的方程组求解，再代回解析式，求得函数表达式；
（2）将点代入解析式中，得到关于x的方程求解，求出不动点的坐标；
（3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可．
（1）解：由题意，，解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：将代入中，得，
即，
解得，，
∴这个函数不动点的坐标为和；
（3）解：由（2）知，，
∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
22．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接CE，根据圆心角、弧、弦的关系可证明CE是直径，根据圆的切线垂直经过切点的半径得，由角平分线定义及三角形内角和定理求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，由直径所对的圆周角是直角得，由同旁内角互补，两直线平行，可证，由二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而由同位角相等，两直线平行，可得，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；
②延长BC、AD相交于H，由等角对等边得BE=CE，由等腰直角三角形性质求出，，由等弧所对的圆周角相等及平行线的性质可推出，由等角对等边得出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，代入数据即可求解．
（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：如图，连接，
，
，
，
∵，
∴，
，
故答案为：90°；
（2）①证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
；
②如图，连接，连接并延长交于点，
∵，
∴，
，
，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
；
③如图，过点作交于点，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
同②可得，，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
在和中，，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理、等腰三角形”等边对等角“的性质得，，然后由三角形内角和定理得，可推导出；
（2）①连接，根据平行线的性质得，根据圆周角定理、等腰三角形”等边对等角“的性质得，，然后由三角形内角和定理得，可得，接下来证出，进行等量代换可推导出；
②连接，连接并延长交于点，根据垂径定理的推论得，结合圆周角定理得，从而得，根据等腰三角形”等边对等角“性质得，即可证明，可推导出，设，则，利用勾股定理、三角形面积公式求出，，，即可得；
③过点作交于点，先证明，可得，再证明，得，从而得，进而证明，得，，则，设，，在和中，利用勾股定理得方程组，解方程即可求出，再求，可得，根据，最后求得，即可求.
24．【答案】解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
在△CFE和△BDG中
∴，
∴．
（3）①如图，连接．
∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．
∵，
∴．
∵，
在△CFE和△BDG中
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得，即可得到答案；
（2）由，得到，由同角的补角相等可得，结合已知用角边角可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解；
（3）①连接．利用已知求出，证得，得到，在中，根据锐角三角函数sin∠AGB=求出∠AGB的度数，由30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AG的长，由线段的和差EF=DG=AD-AG求出EF的长，在中，，由30度角所对的直角边等于斜边的一半求出EG及DE，在Rt△FED中，用勾股定理求出DF的长，然后三角形FGD的周长可求解；
②过点C作于H，由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，于是可得比例式，设，整理得，用勾股定理得到 ，求得，然后根据函数的性质即可求解．
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