19.2菱形同步练习（含解析）

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19.2菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
2．如图，在中，对角线、交于点，并且．点是边上一动点，延长交于点．当点从点向点移动过程中（点与点不重合），则四边形的形状变化依次是（ ）

A．平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形
B．平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形
C．平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形
D．平行四边形矩形菱形正方形平行四边形
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连结菱形各边中点，得到矩形，再顺次连结矩形各边中点，得到菱形，…，这样继续下去．则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片沿折叠，使点与重合．有下列语句：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在中，下列条件中不能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的面积是（ ）

A．24 B．48 C． D．12
7．一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（ ）
A．10 B．12 C．24 D．26
8．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
9．菱形具有而平行四边形没有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等
10．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；
②四边形是菱形；
③垂直平分线段；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
12．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE=DF，EF与BD相交于点O，连结AO．若∠CBD=35°，则∠DAO的度数为（　　）
A．35° B．55° C．65° D．75°
二、填空题
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为 .
15．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
16．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ．
17．菱形的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为 ．
三、解答题
18．如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的长．
19．如图，四边形中，，，连接，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
20．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．
21．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求：
(1)的度数．
(2)的度数．
22．如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC．

23．已知，四边形是菱形，延长到点，使，连接、相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过作于点．
①已知，，求的长；
②点是对角线上一点，，若是锐角三角形，求的取值范围．
24．如图，已知在菱形中，对角线与交于点O，延长到点E，使，延长到点F，使，顺次连接点B，E，F，D，若，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的周长为多少．
《19.2菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A D C C B C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，ADBC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选∶D．
2．C
【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形的判定的应用，熟练掌握行四边形，矩形，菱形的判定是解题的关键．先判断出点在移动过程中，四边形始终是平行四边形，再得出当，是菱形，当时，是矩形，即可得到结论．
【详解】解：对角线、交于点，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当时，，
，
，
四边形是菱形，
当时，四边形是矩形，
，
，
，
即当时，四边形是矩形，
综上所述，当点从点向点移动过程中（点与点不重合），则四边形的形状变化依次是平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形．
故选：C．
3．B
【分析】根据，，可知第n个菱形的面积，故可推出第2022个菱形面积．
【详解】解：根据题意得：
，
，
故规律为：，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查寻找，归纳，总结，应用规律的能力，以及菱形的面积，能够准确找到面积之间的规律是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得BH=DH=GD=BG，即可判定①正确；若设AG=x，则BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的长，因此可判定②；连接BD，利用菱形的面积相等，可求得GH的长，从而可判定③；根据对②的判定可确定∠ABG是否为30°即可判定④．
【详解】根据折叠的性质得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°
∴∠DGH=∠BHG
∴∠DGH=∠DHG
∴GD=DH
∴BH=DH=GD=BG
∴四边形是菱形
即①正确
设AG=x，则BG=GD=8-x
在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得：
解得：
即AG的长
故②正确
如图，连接BD
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵，GD=AD-AG=
∴
∴GH=7.5
故③正确
∵BG=GD=
∴
∵∠A=90°
∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60°
∵∠BGH=∠DGH
∴∠BGH+∠DGH≠120°
从而∠BGH≠60°
即④不正确
故正确的有3个
故选：C．
【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．
5．A
【分析】根据菱形的判定逐项分析即可.
【详解】解：A. 不能使成为菱形，符合题意；
B.根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得是菱形，故不符合题意；
C. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得是菱形，故不符合题意；
D. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得是菱形，故不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
6．D
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积公式对角线乘除的一半，求出另一条对角线的长即可．
【详解】解：由题意，菱形的另一条对角线的长为；
故选C．
8．C
【详解】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是平行四边形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是平行四边形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的判定．
9．B
【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意；
C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意；
D、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】根据，则，根据点是的中点，证明，判断①；根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断②；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断④．
【详解】解：在矩形中，，
∴，
∵点是的中点
∴
∵
∴
∴，
故①正确；
在矩形中，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴平行四边形是菱形．
故②正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴垂直平分线段．
故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故④不正确．
综上所述，正确的有①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质．
11．B
【详解】分析：由△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，得到∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，根据角平分线的性质推出∠FDA=∠EAD，∠FAD=∠EDA，证出平行四边形AEDF，根据折叠得到AD⊥EF，根据菱形的判定即可得出答案
解答：解：∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FDA=∠EAD，∠FAD=∠EDA，
∴AE∥DF，DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，
∴∠AOE=∠DOE=90°，
即：AD⊥EF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
故选B．
12．B
【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，所以可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠CBD=35°，则可以求出∠DAO的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠OEB=∠OFD，∠EBO=∠ODF，
∵BE=DF，
∴在△BOE和△DOF中
，
∴△BOE≌△DOF，
∴BO=OD，
∴AO⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵∠CBD=35°，
∴∠ADO=35°，
∴∠DAO=55°，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明出AO⊥BD是解题的关键．
13．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式求解即可得．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴OA=，OB==3，
∴AB=，
∴，
解得OH=．
故答案为.
【点睛】此题主要考查了菱形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
14．-6
【详解】解：因为四边形OABC是菱形,
所以对角线互相垂直平分,
所以点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上,
设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),
因此AC=－2x，OB=，
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,
解得
故答案为：-6．
15．DF∥AB
【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．
【详解】解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB．
16．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，可得答案．
【详解】
∵四边形OACB为菱形，
∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD．
∴OC=4，点B的纵坐标为1，
∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为 1．
故答案为：(2， 1)
【点睛】本题考查了菱形的性质，做题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分．
17．8
【分析】本题考查了菱形各边长相等的性质，菱形面积的计算，勾股定理在直角三角形中的运用．设对角线长分别是、，则菱形对角线互相垂直平分，根据对角线长的一半即可求得边长与对角线长的关系，列出方程组即可求得、的值．
【详解】解：设对角线长分别是、，
∵菱形周长为20，
∴菱形边长是5，
菱形对角线互相垂直平分，
，
∵菱形面积为24，即．
由①②解得，，
所以对角线长为8，6．
故答案为：8．
18．(1)见解析
(2)1
【分析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
（1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形．
（2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长．
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
．
又，
是等边三角形，
，
．
19．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据DE＝EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形，再根据菱形的判定求解即可；
（2）根据菱形的性质得到BD＝DF＝BC＝2，根据勾股定理可得AB，根据线段的和差关系可得AF，再根据勾股定理可得BF的长．
【详解】解：（1）∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
∵点E为CD的中点，
∴DE=EC，
在△BCE与△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE；
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∵BD=BC，
∴四边形BCFD是菱形；
（2）∵四边形BCFD是菱形，AD=1，BC=2，
∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB=
∵AF=AD+DF=1+2=3，
在Rt△BAF中，BF=．
【点睛】本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．
20．证明见解析.
【详解】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
,
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
考点：菱形的性质．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可；
（2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）连接，如图所示：
∵四边形和四边形都是菱形，，，
∴，，
∴．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
22．证明见解析
【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，从而得到OCED是矩形，由勾股定理即可求出BC=OE．
【详解】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°．
∴四边形OCED是矩形．∴DE=OC．
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴．
∴BC=OE．
23．（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）利用菱形的性质，求得，再利用三角形中位线的性质，即可得证；
（2）①为菱形的高，求得菱形的面积，利用等面积法即可求得的长度；②利用角之间的关系求得为等边三角形，是锐角三角形，从而求得的取值范围．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，∴，
∴是的中位线，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴菱形的面积为
∵菱形的面积．
∴
②∵，，
又∵，∴，
∵四边形是菱形，∴，
∴，∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，∴，
∴
∵是锐角三角形，
∴，
∵，∴
【点睛】此题主要考查了菱形的有关性质，涉及了三角形中位线的性质、等面积法求线段长度、锐角三角形的性质，熟练掌握并灵活运用相关基础知识是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由三角形中位线定理得，则，得，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出的长，再由矩形的性质得，．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可知，是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形的周长＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
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