20.3数据的离散程度同步练习（含解析）

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20.3数据的离散程度
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则样本标准差为（ ）
A．2 B．10 C． D．
2．在一次科技作品制作比赛中，某小组8件作品的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是9 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是7
3．为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取50株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且，则下列说法正确的是（　　）
A．甲品种麦苗长得更整齐
B．乙品种麦苗长得更整齐
C．甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
4．为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（ ）
A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
5．一组数据2，3，2，3，5的方差是（ ）
A．6 B．3 C．1.2 D．2
6．甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量（单位：个）如表：
时间 次品个数 机床 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 1 1 1 0 2
乙 0 1 2 0 2
甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为，，方差分别为，，则正确的结论是
A． B．
C． D．
7．一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班 50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖．
视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 7 9 14 11
下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据均无关的是（ ）
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
9．已知一组数据，的平均数为3，方差为3，新的数据，这两组数据的方差是（ ）
A．9 B．27 C． D．
10．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是12.7% B．众数是15.3%
C．平均数是15.98% D．方差是0
12．已知一组数据x、y、的平均数为3，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
二、填空题
13．八(2)班组织了一次经典朗读比赛，甲.乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制)：
甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙 8 8 7 9 8 10 10 9 10 9
那么乙队的平均成绩是 ，方差是 ．
14．数据，，，的平均数为，标准差为5，那么各个数据与之差的平方和为 ．
15．自月日新“国五条”细则出台，三周以来我市二手房交易市场持续火爆．根据我市网上房地产数据显示，我市二手住宅成交量连续三周环比上涨，成交套数分别为套、套和套．而细则出台前一周，我市二手住宅成交量仅为套．这四周我市二手住宅成交量的极差是 套．
16．已知一个样本数据为1，4，2，5，3，那么这个样本的方差是 ．
17．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但 ，所以确定 去参加比赛．
三、解答题
18．某单位要买一批直径为60mm的螺丝，现有甲、乙两个螺丝加工厂，它们生产的螺丝的材料相同，价格也相同，该单位分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20个螺丝，它们的直径（单位：mm）如下：
甲厂：60，59，59.8，59.7，60.2，60.3，61，60，60，60.5，59.5，60.3，60.1，60.2，60，59.9，59.7，59.8，60，60；
乙厂：60.1，60，60，60.2，59.9，60.1，59.7，59.9，60，60，60，60.1，60.5，60.4，60，59.6，59.5，59.9，60.1，60．
你认为该单位应买哪个厂的螺丝？
19．某校从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中小学生运动会的男子100米跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8
甲的成绩（秒） 12 12.3 13 12.9 13.1 12.5 12.4 12.6
乙的成绩（秒） 12.1 12.4 12.8 13 12.2 12.7 12.3 12.5
为了衡量这两名选手100米跑的水平，你认为可进行怎样的数据分析？
20．甲、乙两个组各10名同学进行英语口语会话测试，每个人测试5次，每个同学合格的次数分别如下：
甲组：4 1 2 2 1 3 3 1 2 1；
乙组：4 3 0 2 1 3 3 0 1 3．
（1）如果合格3次以上（含3次）为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高；
（2）请你比较两个小组口语会话的合格次数谁比较稳定．
21．某校举办了一次汉字听写竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100； 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b 116 90%
(1)以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分
(2)小亮同学说：“这次竞赛我得了69分，在我们小组中属中游偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
(3)计算乙组成绩的优秀率，如果你是该校汉字听写竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加决赛，你会选择哪一组？并说明理由．
22．有甲、乙、丙三名射击运动员，要从中选拔一名参加比赛，在选技赛中每人打10发，环数如下：
甲：10、10、9、10、9、9、9、9、9、9，
乙：10、10、10、9、10、8、8、10、10、8，
丙：10、9、8、10、8、9、10、9、9、9.
根据以上环数谁应参加比赛
23．世界最大的水利枢纽三峡工程，在年5月日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分别为（m）：
．
而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）：
．
(1)分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到）．
(2)利用什么统计量可以说明大坝不闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？
24．两人练习百米跑步，甲的成绩为13、12、14、12、12；乙的成绩为12、11、13、14、12，问谁的成绩好一些 谁的成绩稳定一些 (单位为s)
《20.3数据的离散程度》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C A B A B A
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】考查的是样本平均数与标准差的计算，熟练掌握方差和标准差的计算公式是解题的关键；
先由平均数的公式计算出x的值，根据方差的公式计算出方差，再计算出标准差．
【详解】数据1，3，2，5，x的平均数是3，
，
解得：，
这组数据的方差是：
数据的标准差等于；
故选C．
2．A
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法计算即可．
【详解】解：8件作品的成绩（单位：分）按从小到大的顺序排列为：7、7、8、8、9、9、9、10，
9出现了3次，次数最多，故众数为9，
中位数为（8+9）÷2=8.5，
平均数=（7×2+8×2+9×3+10）÷8=8.375，
方差S2=[2×（7-8.375）2+2×（8-8.375）2+3×（9-8.375）2+（10-8.375）2]=0.984375．
所以A正确，B、C、D均错误．
故选A．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数与方差的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
3．A
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义判断即可．
【详解】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．
故答案为：A．
4．A
【详解】解：∵3.5＜10.9，
∴甲秧苗出苗更整齐．
故选A．
5．C
【分析】先求得这组数据的平均数，再根据方差公式求解即可.
【详解】这组数据的平均数 = （2+3+2+3+5）=3，
方差S2 = [（2-3）2 +（2-3）2 +（3-3）2 +（3-3）2 +（5-3）2 ]=1.2.
故选C．
【点睛】本题考查了方差的求法，熟练运用方差公式求方差是解决本题的关键.
6．A
【分析】本题考查平均数、方差，根据平均数及方差公式计算出，，，，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，．
故选：．
7．B
【分析】根据中位数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．
【详解】解：∵一组数据：3，4，4，6，的中位数为，若添加一个数据6，则这组数据变为3，4，4，6，6其中位数为4，
∴不发生变化的统计量是中位数，其他统计量均会发生变化，
故选B
【点睛】本题考查了求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据相关定义进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：及以下的人数为，
∴4.9的人数最多，众数为4.9，
排在第25和第26个的数据为4.9和4.8，
∴中位数为：，
故中位数，众数与被遮盖的数据均无关，平均数和方差受被遮盖的数据影响；
故选A．
9．B
【分析】根据方差的定义得到把数据，，，都扩大3倍，则方差扩大3的平方倍，然后每个数据减2，方差不变，于是得到，，的方差为27．
【详解】解：，，，的平均数是2，方差是3，
，，的方差，
，，的方差为27．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10．A
【分析】本题考查了方差的计算方法，方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数．
先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：平均数，
方差．
故选：A．
11．B
【详解】分析：直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．
详解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%，
故中位数是：15.3%，故此选项错误；
B、众数是15.3%，正确；
C、（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）=14.98%，故选项C错误；
D、∵5个数据不完全相同，
∴方差不可能为零，故此选项错误．
故选B．
点睛：此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
12．B
【分析】由题意知，x+y+z=9，根据平均数的定义即可求得数据，，的平均数，根据数据x、y、z的方差为4，及数据，，的平均数，根据方差的计算公式，即可求得数据，，的方差．
【详解】由于数据x、y、z的平均数为3，所以有x+y+z=9
则
由于数据x、y、z的方差为4，即
所以
即数据，，的方差仍为4
故数据，，的平均数和方差分别为1和4
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，关键是掌握平均数和方差的计算公式，充分利用原数据的平均数和方差．本题的结论是平均数和方差的性质：一组数据的每一个数都减去同一个数后，所得数据的平均数是原数据的平均数减去这个数，而方差则不变．
13． 9 1
【分析】先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算即可．
【详解】乙队的平均成绩是：，
方差是：．
【点睛】考核知识点：加权平均数，方差.
14．100
【分析】根据数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为5，得出 [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]=25，再进行变形即可．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为5，，
∴ [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]=25，
∴(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2=100
故答案为100．
【点睛】本题考查了标准差：用到的知识点是标准差的定义，标准差即方差的算术平方根，注意标差和方差一样都是非负数．
15．1486
【详解】试题分析：，成交套数分别为1175套、1587套和1735套．而细则出台前一周，我市二手住宅成交量仅为249套．这四周我市二手住宅成交量的极差=最大值-最小值=1735-249=1486
考点：极差
点评：本题考查极差，要求考生熟悉极差的概念，会求一组数据的极差，属基础题
16．2
【分析】由平均数的公式先求得数据的平均数，再由方差公式求解．
【详解】平均数=(1+4+2+5+3)÷5=3
方差S2甲=[(1 3)2+(4 3)2+(2 3)2+(5 3)2+(3 3)2]÷5=2，
故填2.
【点睛】本题考查了方差的概念，解题的关键是掌握概念进行解答.
17． ＞ 乙
【详解】平均数：，
S甲2= [（7-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（5-7）2+（9-7）2+（10-7）2+（7-7）2+（4-7）2]
＝3
S乙2= [（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7-7）2]
＝1.2
∵1.2＜3，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩更稳定，所以确定乙去参加比赛．
故答案是：>,乙.
18．买乙厂的螺丝
【分析】分别求出甲乙两厂螺丝的平均数，极差，方差，然后根据平均数，极差，方差综合选取即可．
【详解】解： mm，
mm；
，；
；
；
∴从甲、乙两厂抽取的10个螺丝直径的平均数都是60mm，
但甲厂20个螺丝直径的极差为2mm，方差为0.152；
乙厂20个螺丝直径的极差为1mm，方差为0.051．
因此在同等条件下应买乙厂的螺丝．
【点睛】本题考查了平均数，极差，方差，以及根据平均数，极差，方差做决策，熟练掌握计算平均数，极差，方差的方法是解本题的关键．
19．见解析
【分析】分别计算两名选手的平均数，中位数及方差即可．
【详解】为了衡量这两名选手米跑的水平，应选择平均数、方差、中位数这些统计量．
甲的平均数为：秒，
乙的平均数为：秒；
甲的中位数为秒，乙成绩的中位数为秒，
，
．
【点睛】本题考查了方差、平均数及中位数的知识，解题的关键是首先确定衡量这两个选手水平的统计量，并正确的计算．
20．（1）乙小组的及格率高；（2）甲组的口语会话的合格次数比较稳定．
【分析】（1）根据给出的数据先数出合格次数，然后计算出合格率即可得出答案；
（2）先求出平均数，然后代入方差公式 进行计算即可．
【详解】解：（1）∵甲组3名同学及格，乙组5名同学及格，
∴甲组的及格率是，乙组的及格率是，
∴乙小组的及格率高；
（2）甲组的平均数是：（4+1+2+2+1+3+3+1+2+1）=2次，
乙组的平均数是：（4+3+0+2+1+3+3+0+1+3）=2次，
S2甲= [（4-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2+…+（1-2）2]=1（次）2，
S2乙= [（4-2）2+（3-2）2+（0-2）2+（2-2）2+…+（3-2）]2≈1.8（次）2，
∵S2甲＜S2乙，
∴甲组的口语会话的合格次数比较稳定．
【点睛】本题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．(1)60，68；
(2)甲组，理由见解析；
(3)10%，选择甲组，理由见解析．
【分析】（1）计算甲组的中位数，乙组的平均数，进而得出答案，
（2）根据中位数的意义，可以判断所在的组的中位数小于69，因此得出在甲组，
（3）用优秀人数除以总人数即可求出乙组的优秀率，从优秀率、合格率以及个人单项第一等方面说明理由．
【详解】（1）甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即a＝60，
（50＋60×3＋70×4＋80＋90）÷10＝68分，即b＝68，
故答案为：60，68；
（2）乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此乙组的中位数是70，小亮得了69分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于69，因此在甲组；
（3）乙组达到90分及以上的只有一人，所以优秀率为：，
选择甲组，两组的合格率相等，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的优秀率高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．
22．甲
【分析】先计算甲、乙、丙的总命中环数，确定先淘汰丙，再计算甲、乙的方差，比较后根据方差的性质即可解答.
【详解】经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91，所以应先淘汰丙．
设甲、乙平均成绩分别为、，方差分别为、，则=，
==0.21，
==0.81
∵＜，
∴甲的发挥比较稳定，所以应派甲去参赛．
【点睛】本题考查了方差的运用，熟记方差的计算公式S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]是解决问题的关键.
23．(1)下闸蓄水前平均数为，方差为，标准差为；下闸蓄水后平均数为，方差为，标准差为
(2)平均数，这种景象在下闸前后海拔明显增加
【分析】（1）根据平均数，方差，标准差的定义计算即可；
（2）根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】（1）下闸蓄水前：
平均数，
方差，
标准差；
下闸蓄水后：
平均数，
方差，
标准差．
（2）利用平均数可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象，这种景象在下闸前后海拔明显增加．
【点睛】本题考查统计量的选择，平均数，方差，标准差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24．乙的成绩好 甲稳定一些
【分析】根据平均数、方差的计算公式分别求出甲、乙的方差和平均数，根据方差和平均数的性质解答即可．
【详解】 =（13+12+14+12+12）=12.6，=（12+11+13+14+12）=12.4，
∵＞，
∴乙的平均速度快，乙的成绩好一些；
= [（13-12.6）2+（12-12.6）2+（14-12.6）2+（12-12.6）2+（12-12.6）2]=0.64，
=[（12-12.4）2+（11-12.4）2+（13-12.4）2+（14-12.4）2+（12-12.4）2]=0.92，
∵＜，
∴甲的成绩稳定一些．
【点睛】本题考查的是方差和平均数的计算以及性质，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
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