第十八章平行四边形同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）
A．150° B．130° C．120° D．100°
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）．
A．BO=DO B．CD=AB C．∠BAD=∠BCD D．AC=BD
4．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ）
A．2s B．s C．4s D．5s
5．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角相等，另一组对角互补
6．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）．
A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
8．如图，在中，，对角线相交于点，则的长可以是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分交于点E，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F，连接．
则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）

14．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB=6，∠BAC=40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 °．
16．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ．
17．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
三、解答题
18．如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD，求证：∠1＝∠2.
19．如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，设，．
（1）试用、表示和；
（2）试用、表示和．
20．如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度．
21．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
22．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
23．如图，在 RtAOB中，OAB=90°， OA=AB，将AOB绕点O沿逆时针方向旋转 90°得到 ，连结 ，求证：四边形是平行四边形．
24．如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为 　　；
②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
《第十八章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B C A C B B B
题号 11 12
答案 C C
1．C
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选：C．
2．D
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE OC=，，代入可得结论．
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=，
∴BD=2OD=，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB=BC，BC=AD，
∴OE=AB=AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=，
∴S△AOE=S△EOC=OE OC=××，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
3．D
【分析】根据平行四边形的性质判断即可
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB（平行四边形的对边相等），正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD（平行四边形的对角相等），正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意．
故选D．
4．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形，
∵在边上运动，
∴，
∵以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴，
分以下情况：①点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不符合题意．
②点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；符合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；不合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不合题意．
故选：B．
5．C
【分析】根据平行四边形的判别方法可逐项进行辨别．
【详解】解：A.一组对边相等另一组对边平行，可画出等腰梯形，所以A选项错误；
B.一组对角互补不能确定四边形是平行四边形，所以B选项错误；
C.一组邻角互补可确定一组对边平行，一组对角相等与一组邻角互补等量代换可得另一组对边平行.这样两组对边分别平行，能确定四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D.一组对角互补不能确定四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判别方法可逐项进行辨别．
6．A
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【详解】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般．
7．C
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理判断即可．
【详解】解：A. 由相邻的角互补可得两组对边分别平行，可确定是平行四边形；
B和D是平行四边形的判定定理，可确定是平行四边形；
C选项有可能是等腰梯形，
故选C.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
8．B
【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围．
【详解】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
10．B
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
11．C
【分析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．
【详解】解：根据三角形内角和，
，
，
由题意得：垂直平分，
∴FB=FC，
，
而，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
12．C
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AMCN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：添加：，理由如下：
连接交于点，如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
14．8
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的周长，
故答案为：．
15． 6 40．
【分析】由两个三角形关于点O中心对称可得AD=BC，AB=CD，则可证明四边形ABCD为平行四边形.
【详解】解：由题意得AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA=40°.
故CD的长度为6，∠ACD的度数为40°．
【点睛】本题结合中心对称考查了平行四边形的判定及性质.
16．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案．
【详解】∵将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．（2+2，4）或（12，4）．
【详解】
如图，∠APB=90°，∠ABP=90°，∠BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形，故本题应该对这三种情况分别进行讨论.
(1) ∠APB=90°，如图①.
过点P作PG⊥OB，垂足为G.
∵点A的坐标为(0, 8)，点B的坐标为(4, 0)，
∴OA=8，OB=4.
∴在Rt△AOB中，.
∵点M，N分别是OA，AB的中点，
∴MN∥OB，，.
∵MN∥OB，PG⊥OB，
∴PG=OM=4.
设PN=x，则MP=MN+PN=2+x，
∵OG=MP=2+x，
∴BG=OG-OB=2+x-4=x-2.
∵在Rt△AMP中，AP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2，
在Rt△BGP中，BP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16，
又∵在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，
∴16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.
∴x=，即PN=.
∵OG=2+x=，PG =4.
∴点P的坐标为(, 4).
(2) ∠ABP=90°，如图②.
过点P作PG⊥OB，垂足为G.
设PN=x，则MP=OG=2+x，BG=x-2.
∵，AM=4，PG=4，
又∵在Rt△AMP中，AP2=16+(2+x)2，
在Rt△BGP中，BP2=(x-2)2+16，
∴在Rt△APB中，AB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]==80.
∴x=10即PN=10.
∵OG=2+x=2+10=12，PG=4.
∴点P的坐标为(12, 4).
(3) ∠BAP=90°，如图③.
由图③可以看出，在此种情况下点P不在射线MN上，不符合题意.
综上所述，点P的坐标为(, 4)或(12, 4).
故本题应填写：(, 4)或(12, 4).
点睛：
本题综合考查了直角三角形和相似三角形的相关知识. 本题的一个难点在于对直角三角形直角顶点的分情况讨论. 在求解点P的坐标的时候，可以利用平面直角坐标系中诸多直角三角形通过勾股定理求解，也可以通过相似三角形的相关知识进行求解. 另外，三角形的中位线也是解决本题的重要工具.
18．见解析
【详解】试题分析：根据已知条件AB∥CD,所以∠A=∠C,AM=CN，AB=CD.可以得出△ABM≌△CDN,得出∠AMB=∠CND,∠BMN=∠DNM,BM=DN.证明四边形BNDM是平行四边形,从而∠1=∠2.
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD, AM=CN，
∴△ABM≌△CDN，
∴∠AMB=∠CND,BM=DN，
∴∠BMN=∠DNM，
∴BM∥DN，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴∠1=∠2.
19．（1），；（2），．
【分析】（1）运用平行四边形的性质和三角形法则解答；
（2）运用平行四边形的性质和三角形法则解答．
【详解】解：（1）如图，
，
，
∵在 ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
，
又点M是AB的中点，
，
，
，
（2）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，，
，
∴DN=2BN．
，
，
同理可得，
，
，
故答案是：（1），．
（2），．
【点睛】考查了平面向量和平行四边形的性质，解题时，需要熟练运用三角形法则来求相关向量间的数量关系．
20．其他三边的长为9m，16m，9m．
【分析】根据平行四边形的对边相等利用周长和一边的长求得其余各边的长度即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵周长为50，
∴AB+BC=25，
∵一边长为16m，
∴另一边长为9m，
∴其他三边的长为9m，16m，9m．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．
21．四边形PCDE面积的最大值为1．
【分析】先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
22．(1)详见解析；(2)详见解析.
【详解】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°
∴∠EAD－∠BAD＝∠BAC－∠BAD
即：∠EAB＝∠DAC
∴△ABE≌△ACD（SAS）
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝DC，∠EBA＝∠DCA，
又∵BF=DC，∴BE=BF.
∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，
∴△BEF为等边三角形.
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°,
∴∠ABC=∠EFB,
∴EF∥BC,即EF∥DC
∵EF＝BF，BF＝DC，
∴EF＝DC
∴四边形EFCD是平行四边形.
23．详见解析
【分析】可证明OA且相等，即可证明四边形是平行四边形；
【详解】解：证明：∵在 RtΔOAB中，OAB=90°， OA=AB，
∴AOB=B=45°，
根据题意得：
OA=AB=， =90° ， =BOA=45°， =B=45°，
∴+=180° ，
∵OA，
∵四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24．(1)，见解析
(2)①；②，见解析
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
（1）利用证明，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得．
【详解】（1），
证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
（2）①当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
△，
，
又为正三角形，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)