第十九章矩形、菱形与正方形同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章矩形、菱形与正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
2．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（ ）
A．有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形
B．有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形
C．有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形
D．有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形
4．如图，用含x的代数式表示矩形的面积，为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点 F，连接，． 若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2．
A．6 B．8 C．16 D．不能确定
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（ ）
A．30° B．37.5°
C．45° D．50°
10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　)

A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
11．如图，在四边形中，对角线相交于点O．下列说法不正确的是（ ）

A．如果，那么可得矩形；
B．如果是菱形，那么可得；
C．如果，那么可得正方形；
D．如果，那么可得矩形；
12．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（ ）
A．16 B．32 C． D．
二、填空题
13．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于 ．
14．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形．
15．如图所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为 ．（只写出符合要求的一个即可）
16．如图．在矩形中，，．点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ．
17． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得 ABCD为正方形．
三、解答题
18．在正方形中：
(1)已知：如图①，点E、F分别在、上，且，垂足为M，求证：．
(2)如图②，如果点E、F、G分别在、、上，且，垂足M，那么、相等吗？证明你的结论．
(3)如图③，如果点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足M，那么、相等吗？证明你的结论．
19．如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？
20．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由）
21．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形．
22．如图，由两个全等的梯形可以拼成一个菱形吗？符合什么条件的两个全等梯形可以拼成一个菱形？
23．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
(1)若ADBC，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换(1)中的“ADBC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 (填写满足要求的所有条件的序号)．
24．如图，矩形的两边的长分别为3、8.边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．
(1)直接写出AE的长；
(2)若，求反比例函数的解析式．
《第十九章矩形、菱形与正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B B A C A
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键；由矩形性质及中点，由易得，从而有；再由可证明；由可证明，从而有，最后可得到全等的直角三角形的对数．
【详解】解：∵E是中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
在和中
，
∴，
∵，
∴，
即，
故全等三角形有：，，共4对．
故选C．
2．C
【分析】①正确．证明,得到，结合可得结果．
②错误．可以证明，不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明，即可．
④错误．证明，求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
∴，
，，
，故正确，
设，
在中，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：，
∴，
，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．D
【详解】试题分析：根据全等图形的定义及特点，结合各选项进行判断即可．
解：A、有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；
B、有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；
C、有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；
D、两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形，是真命题，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了全等图形的知识，注意掌握全等图形的定义，属于基础题．
4．D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据矩形的面积列式，再结合多项式乘多项式展开计算，即可作答．
【详解】解：∵矩形的面积等于长×宽
∴矩形的面积等于
故选：D
5．C
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、互相垂直且平分是解题的关键．
6．B
【详解】试题解析：阴影部分的面积=S△ADC=S正方形ABCD=×42=8（cm2）．
故选B．
7．B
【分析】根据矩形的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据勾股定理求出线段BN的长，过M作交BC于点H，证明求得NH的长，再利用矩形的性质求得AM 的长．
【详解】解：连接，过M作交BC于点H，MN交于点I，
由翻折可知：，，
设，
正方形ABCD的边长为9，
，
在中，，
，即，
解得，
，
，
四边形ABHM为矩形，
，，
，
，即，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．
9．C
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠AEB=15°，
∴∠BED=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．A
【详解】解：如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠OAD+∠AOD=∠COE+∠AOD，
∴∠OAD=∠COE，
∵OC=OA，∠ODA=∠OEC=90°，
∴△OAD△OCE全等，
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1），
故选A．
11．C
【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；
∵四边形是菱形，
∴，故B选项正确，不符合题意；
若四边形是平行四边形，，则可得正方形，故C选项错误，符合题意；
∵，
∴四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式等知识，根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据三角形面积公式求出的面积，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的周长为32，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
13．5
【详解】试题分析：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，∠OCB=∠OBE45°，OB=OC，∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF（ASA）∴BF=AE=4，同理BE=CF=3，在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，∴EF=5．故答案为5．
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：添加（答案不唯一），
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
15．AB=BC
【分析】添加的条件是AB=BC，根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可推出结论．
【详解】添加的条件是AB=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=BC（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查对菱形的判定的理解和掌握，能灵活运用菱形的判定进行推理是解此题的关键．此题是一个开放性题目，题型较好．菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
16．
【分析】以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，根据矩形的性质得，根据，都是等边三角形得，，，可得，用SAS可证明，得，根据得，根据，，在中，设，则，根据勾股定理得，，进行计算得，，即可得点Q在射线上运动，根据得，根据，，得，根据垂线段最短，即可得当点与点重合时，的值最小，最小值为．
【详解】解：如图所示，以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴在中，设，则，根据勾股定理得，
，
，
，
，（舍），
∴，，
∴点Q在射线上运动，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题．
17．∠BAD＝90°(答案不唯一)
【详解】试题分析：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴ ABCD是菱形，当∠BAD=90°时， ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90°．
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
18．(1)见解析
(2)相等，证明见解析
(3)相等，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，进而得到，则，进一步根据全等三角形的性质进行证明；
（2）过点A作，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，由（1）的结论可知，所以；
（3）分别过点A、B作，，可证四边形、四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，由（1）的结论可知，所以．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵在和F中，
，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图②，过点A作，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：如图③，分别过点A、B作，，
∵，，
∴四边形、四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握正方形性质确定三角形全等的条件是解题的关键，（2）（3）两题通过作辅助线构造成（1）的形式是得解的关键．
19．(1)8
(2)四边形为菱形，理由见解析
(3)64
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，菱形的判定：
（1）先由矩形的性质得到，根据题意可得，则，再由当时，四边形为矩形，得到，据此可得答案；
（2）当时，，再证明四边形是平行四边形，利用勾股定理推出，据此可得结论；
（3）连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，即为矩形的面积的一半，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，
，
由已知可得，
，
在矩形中，，
∴当时，四边形为矩形，
，
解得：，
∴当时，四边形是矩形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
当时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
在中，由勾股定理得，
，
∴四边形为菱形；
（3）解：连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，
，
∴整个运动当中，线段扫过的面积．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法．
（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；
（2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：当时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又，
，
四边形是平行四边形，
由（1）知，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
21．证明见解析．
【分析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证EF=FG=GH=EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定．
【详解】解：连接BD，AC．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴AC=BD，
∴EF=AC，GH=AC，
同理，FG=BD，EH=BD
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
22．由两个全等梯形不一定能拼成一个菱形．当梯形上底与下底的和等于一腰长时，这样的两个全等梯形可以拼成一个菱形．
【分析】根据菱形的四边相等进行分析即可；
【详解】解：由两个全等梯形不一定能拼成一个菱形．当梯形上底与下底的和等于一腰长时，这样的两个全等梯形可以拼成一个菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，准确分析判断是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①②
【分析】（1）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再由ADBC，得到∠D+∠BCD=180°，从而得∠B+∠BCD=180°，所以ABCD，即可得四边形ABCD是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得出结论；
（2）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再分别加条件①②，证四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；加条件③，举反例，如铮形，满足条件，不能满足结论，即可说明加条件①②可以证明，加条件③不能证明．
【详解】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B=∠D，AB=AD，
∵ADBC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解： ∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC=∠ADC，AB=AD，
若选择的条件是①∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD =180°，
∴ADBC，ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选①；
若选择的条件是②AB＝CD；
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选②；
若选择的条件是③BC＝CD．
如图，铮形ABCD中，
△ABE≌△ADF，BC=CD≠AB，
四边形ABCD不是菱形，故选③不能证明四边形ABCD是菱形；
∴证明四边形ABCD是菱形，可以选择的条件是①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
24．(1)5
(2)
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x 3，1），代入求出x，再求出m，即可得出答案．
【详解】（1）∵矩形的两边的长分别为3、8，
∵点E为DC的中点，
∴CE=DE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝；
（2）∵AF AE＝2，
∴AF＝5＋2＝7，
∴BF＝8 7＝1，
设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x 3，1），
代入得：m＝4x＝（x 3） 1，
解得：x＝ 1，
即m＝ 4，
所以当AF AE＝2时反比例函数表达式是．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E点的坐标是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)