9．1　向量概念 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．1　向 量 概 念
1. 通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义．
2. 理解平面向量的几何表示和基本要素．
3. 理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量的夹角等概念．
活动一 了解向量的概念及表示
问题：(1) 甲，乙两车分别以40km/h，50km/h的速度同时从同一地点出发，均向北匀速行驶，2h后，它们相距________km；
(2) 甲，乙两车分别以40km/h，50km/h的速度同时从同一地点出发，甲车向北匀速行驶，乙车向南匀速行驶，2h后，它们相距________km.
思考1
在(1)中，甲，乙同时从同一地点同向出发，2h 后为何不在同一地点？比较(1)和(2)，甲，乙速度大小都没有改变，为何2h后距离相差那么大？
1. 向量的概念：
2. 向量的表示：
几何表示：
字母表示：
3. 特殊向量：
4. 向量的模：
思考2
在平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
活动二　理解共线向量、相等向量、相反向量及向量的夹角　
5. 向量间的关系：
观察正六边形ABCDEF，给图中的部分线段加上箭头，并写出你所标注的向量，说说向量之间有哪些关系？
平行向量(共线向量)：
规定：零向量与任一向量平行．
相等向量：
相反向量：
向量的夹角：
活动三　理解向量的有关概念　
例1　下列命题中，正确的个数为(　　)
①若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线；
②若非零向量a与b共线，则a＝b；
③若四边形ABCD是平行四边形，则||＝||；
④若a∥b，则a，b方向相同或相反．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
零向量的方向是任意的；平行向量的概念指的是方向相同或相反的向量，通过平移可以移到同一条直线上，不是平面几何中的平行．
下列说法中，正确的个数是(　　)
①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例2　已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，在所标出的向量中：
(1) 找出与共线的向量；
(2) 找出与相等的向量；
(3) 向量与相等吗？
根据平面向量的有关概念，共线向量只要它们的方向相同或相反，而相等向量要求方向与模都要相同，相反向量要求模相同方向相反，所以理解向量的有关问题都要从向量的两个方面入手，方向与模．
在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，AB的中点，如图所示．
(1) 写出与向量共线的向量；
(2) 求证：＝.
1. 下列说法中，错误的是(　　)
A. 若a＝0，则|a|＝0
B. 零向量与任一向量平行
C. 零向量是没有方向的
D. 若两个相等的向量起点相同，则终点必相同
2. (教材改编)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若a＝b，则a与b共线 B. 若a与b是平行向量，则a＝b
C. 若|a|＝|b|，则a＝b D. 共线向量的方向必相同
3. (多选)(2023滨州月考)下列说法中，错误的是(　　)
A. 零向量与零向量共线
B. 若a＝b，b＝c，则a＝c
C. 温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
D. 单位向量的方向相同或相反
4. (教材改编)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出________个共线非零向量．
5. (2024山东月考)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长均为1.
(1) 试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2) 在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
9．1　向 量 概 念
【活动方案】
问题：(1) 20　(2) 180
思考1：因为甲，乙两车速度不相等，所以2h后不在同一地点．(1)是同向而行，(2)是反向而行，所以距离相差较大．
1. 既有大小又有方向的量．
2. 向量的表示：常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
几何表示：或
字母表示：a，b，c或.
3. 零向量、单位向量．
4. 向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||.　
思考2：单位圆．
5. 图略，平行，相等，共线，相反．
平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量．
向量的夹角：对于两个非零向量a和b，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向；
当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
例1　B　①若非零向量与共线且直线AB与CD平行，则A，B，C，D四点不共线，所以①错误；②若非零向量a与b共线，可能是方向相同，也可能是方向相反，模不一定相等，所以②错误；③若四边形ABCD是平行四边形，则＝，由相等向量的定义可知 ||＝||，又||＝||，则||＝||，所以③正确；④若a为非零向量，b＝0，则b的方向是任意的，所以④错误．故选B.
跟踪训练　C　由向量平行的定义知，方向相同或相反的两个非零向量平行，故①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；不妨设a为零向量，则a与b共线，和a与b不共线矛盾，故③正确．故选C.
例2　(1) ，　(2) 　(3) 不相等
跟踪训练　(1) ，，.
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
又因为E，F分别为边CD，AB的中点，
所以BF＝ED，且BF∥ED，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE＝FD，且BE∥FD，
所以＝.
【检测反馈】
1. C　对于A，零向量的模长为0，故A正确；对于B，零向量与任一向量平行，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，相等向量若起点相同，则终点相同，故D正确．
2. A　对于A，相等向量必是共线向量，故A正确；对于B，a与b是平行向量，如a为非零向量，而b＝0，显然a≠b，故B错误；对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即a＝b不一定成立，故C错误；对于D，共线向量的方向可以相反，故D错误．
3. CD　对于A，零向量与任意向量共线，故A正确；对于B，向量相等，意味着方向相同，长度相等，若a＝b，b＝c，则a＝c，故B正确；对于C，温度是只有大小没有方向的量，故不是向量，故C错误；对于D，设a为单位向量，存在向量b满足条件 a⊥b，且|b|＝1，故D错误．故选CD.
4. 6　根据题意，可得所有共线非零向量有，，，，，，共有6个．
5. (1) 根据相等向量的定义，向量b与向量a平行，且长度相等，则可作向量b如图所示．
(2) 可作向量c如图所示，由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆．