9.2.1　向量的加减法(1) 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9.2.1　向量的加减法(1)
1. 借助实例和平面向量的几何表示，理解平面向量加法的定义及几何意义．
2. 熟练掌握平面向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作两个已知向量的和向量．
3. 理解平面向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用其进行向量计算．
活动一 理解平面向量的加法，掌握向量加法的运算法则及运算律
1. 问题引入：
如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B.
利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，由景点O到景点B的位移是，那么向量，，三者之间有何关系？
2. 向量的加法：
思考1
若向量a与b共线，则向量a＋b与向量a是否共线？
3. 向量加法的法则：
(1) 三角形法则：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
表示：＋＝________；
(2) 平行四边形法则：对于任意两个不共线的非零向量a，b，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和．分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作 OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和．我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则．
思考2
已知向量a，b，则向量a＋b与向量b＋a有何关系？
思考3
向量(a＋b)＋c与向量a＋(b＋c)有何关系？
4. 向量加法的运算律：
思考4
如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么向量？
活动二　掌握向量加法的简单应用　
例1　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1) ＋；
(2) ＋；
(3) ＋.
向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．
设a，b都是单位向量，则|a＋b|的取值范围是________．
例2　在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
对于实际生活中的矢量问题，应该先在平面上画出图形，再根据平面向量的加法法则去运算，最后回归到实际中去．　　
已知a表示“向东走了2 km”， b表示“向南走了2 km”， c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”．
(1) a＋d表示向________走了________km；
(2) b＋c表示向________走了________km；
(3) a＋c＋d表示向________走了________km；
(4) b＋c＋d表示向________走了________km.
1. (教材改编)“向量a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024北京期中)在平行四边形ABCD中，＋等于(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)如图，已知D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中正确的是(　　)
A. ＋＝
B. ＋＋＝0
C. ＋＝
D. ＋＝
4. (2024德州月考)设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________．
5. (2023白城通榆县毓才高级中学期中)如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且＋＝0.求证：＋＝＋.
9.2.1　向量的加减法(1)
【活动方案】
1. ＋＝
2. 略
思考1：共线
3. (1)
思考2：a＋b＝b＋a
思考3：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
4. 向量加法满足交换律、结合律．
思考4：零向量
例1　作图略．
(1) ＋＝.
(2) ＋＝.
(3) ＋＝0.
跟踪训练　[0，2]　当a，b同向时，|a＋b|取最大值2；当a，b反向时，|a＋b|取最小值0；当a，b不共线时，|a＋b|的取值范围为(0，2)，所以|a＋b|的取值范围是[0，2].
例2　如图，设 表示水流的速度， 表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，
所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，||＝||＝12.5，||＝25，
所以∠CAD＝30°，
所以渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
跟踪训练　(1) 东北　2　(2) 西南　2
(3) 北　2　(4) 西　2
【检测反馈】
1. A　当“向量a，b不共线”时，由向量三角形的性质可得“|a＋b|<|a|＋|b|”成立，即充分性成立；当“a，b方向相反”时，满足“|a＋b|<|a|＋|b|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故“向量a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的充分且不必要条件．
2. A　在 ABCD中，有＝，＝，所以＋＝＋＝.
3. ABC　＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝0，故B正确；＋＝＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC.
4. 3　因为|a＋e|≤|a|＋|e|，|a|＝2，e为单位向量，所以|a＋e|≤3，当且仅当a，e同向时，取得等号，故|a＋e|的最大值为3.
5. 因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，
所以＋＝＋.