9.2.1　向量的加减法(2) 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．2.1　向量的加减法(2)
1. 理解平面向量减法的定义及几何意义．
2. 掌握平面向量的减法运算．
3. 熟练掌握平面向量减法的三角形法则，并能正确作出两个已知向量的差向量．
活动一 了解向量减法的概念
1. 复习回顾：
(1) 向量的加法运算法则是什么？
(2) 数的减法运算是如何定义的？
2. 向量减法的概念：
利用数的减法运算和向量加法运算的定义得到向量减法的定义：
活动二　掌握向量的减法运算　
例1　如图，已知向量a，b不共线，试作出向量a－b.　
思考1
如果a∥b，那么怎样作出a－b呢？
思考2
向量a－b＝a＋(－b)是否成立？请画图说明．
思考3
以上表明向量减法与向量加法的关系是怎样的？向量减法的几何意义是怎样的？
例2　已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若＝a，＝b，＝c.求证：b＋c－a＝.
在平面几何中解决向量问题，一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的，同时要注意向量的加减法满足交换律和结合律．
已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M为斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：
(1) |a－b|＝|a|；
(2) |a＋(a－b)|＝|b|.
例3　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
根据向量加减法的几何意义，可以由条件联想到用图形来解决问题．
已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若E为AC的中点，则等于　(　　)
A. 　　B. 　　C. 　　D.
例4　已知两个向量a，b不共线，求证：
(1) ||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|；
(2) ||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|.
　　
根据平面向量的加减法的三角形法则与三角形的特征(两边之和大于第三边)，易得到向量的加减法中模的性质．
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
1. (教材改编)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)
A. a＋b－c
B. a－b＋c
C. b－a＋c
D. b－a－c
2. (2023东莞月考)在△ABC中，若||＝||＝|－|，则△ABC的形状为(　　)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. (多选)(2024泰安期中)下列向量的运算中，结果正确的是(　　)
A. ＋＝ B. －＝
C. －＋＝0 D. －－＝0
4. (2024上海奉贤期中)已知四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，||＝1，则|－|＝________．
5. 化简：
(1) ＋＋－；
(2) －＋－－.
9．2.1　向量的加减法(2)
【活动方案】
1. (1) 三角形法则和平行四边形法则．
(2) 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算．
2. 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
例1　
思考1：设＝a，＝b.
①若a与b同向，则向量a－b如图所示．
②若a与b反向，则向量a－b如图所示．
思考2：成立，如图所示．
思考3：相反运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
例2　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＝.
跟踪训练　如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.
(1) 在△ACM中，＝－＝a－b.
由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2) 因为＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b).
由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.
例3　因为|a＋b|＝|a－b|，
所以|a|，|b|为一个矩形的两条邻边的长，
所以|a－b|＝＝10.
跟踪训练　B　因为向量，，，满足等式＋＝＋，所以－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，所以＝.
例4　设a＝，b＝，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OACB(如图)，则＝a＋b，＝a－b.
(1) 在△AOC中，|AO－AC|所以||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
(2) 在△AOB中，|OA－OB|所以||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
跟踪训练　|||－|||≤|－|，当且仅当与共线且同向时取等号；
|－|≤||＋||，当且仅当与共线且反向时取等号，所以|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以|－|的取值范围为[3，15].
【检测反馈】
1. C　依题意，得＝－＝＋－＝b＋c－a＝b－a＋c.
2. A　因为|－|＝||，||＝||＝|－|，所以||＝||＝||，所以△ABC为等边三角形．
3. AC　对于A，＋＝，故A正确；对于B，－＝＋＝，故B错误；对于C，－＋＝＋－＝－＝0，故C正确；对于D，－－＝－(＋)＝－＝2，故D错误．故选AC.
4. 1　如图， 连接BD.因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，||＝1，所以△ABD是边长为1的等边三角形，则 |－|＝|＋|＝||＝1.
5. (1) 原式＝＋＋＋＝.
(2) 原式＝－＋－＝.