9．2.3　向量的数量积 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．2.3　向量的数量积
9．2.3　向量的数量积(1)
1. 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积．
2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
活动一 掌握平面向量数量积的概念
1. 平面向量数量积的引入：
(1) 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？
(2) 一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？(在物理中这个问题是如何解决的？)
2. 向量数量积的概念：
注意：(1) 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角．如图，∠CAB不是向量与的夹角，∠DAB(即π－∠CAB)才是向量与的夹角；
(2) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，正负由cos θ决定；
(3) 两个向量的数量积与之前学过的数的乘法是有区别的，书写时绝不能混淆，符号“·”在向量运算中不能省略，也不能用“×”代替．
思考
实数与向量的积与向量的数量积的区别是什么？
例1　判断下列叙述的正误，并简要说明理由．
①a·0＝0；②0·a＝0；③a·b＝|a|·|b|；④若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0；⑤若a·b＝0，则a与b至少有一个为0；⑥对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑦若a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后的值由3个量决定．
若向量a∥b，且a·b＝0，则一定有______．(填序号)
①a＝0；
②b＝0；
③a＝b＝0；
④a＝0或b＝0.
活动二　掌握平面向量数量积的运算及应用　
例2　已知向量a与向量b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b：
(1) θ＝135°；
(2) θ＝60°；
(3) a∥b；
(4) a⊥b.
在求两个向量的数量积时，只要知道两个向量的模以及它们夹角的大小．注意两个向量平行时，夹角可能为0°，也可能为180°.
设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a与b的夹角θ.
例3　已知正三角形ABC的边长为2，设＝a，＝b，＝c，求a·b＋b·c＋c·a.
两个向量的夹角，需要把它们平移到同一个起点，否则容易搞错夹角的大小．
在△ABC中，AB＝AC，非零向量与满足·＝，试判断△ABC的形状．
活动三 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量．
　　
可以看到，通过投影，由向量a得到了与向量b共线和垂直的两个向量和，三个向量a，，构成一个直角三角形．向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积．
例4　已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量．
投影向量也是向量，相当于一个向量在另一个向量方向上的分解．
已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，且与向量a，向量b的同方向的单位向量分别为e1和e2.
(1) 向量a在向量e2方向上的投影向量为________；
(2) 向量b在向量e1方向上的投影向量为________．
1. (教材改编)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝5，且a·b＝5，则向量a与b夹角的大小是(　　)
A. B. C. D.
2. (教材改编)在△ABC中，B＝，AB＝BC＝1，则· 等于(　　)
A. 1 B. C. D. 2
3. (多选)(2024秦皇岛期末)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A. 当·<0时，△ABC为钝角三角形
B. 当·>0时，△ABC为锐角三角形
C. 当△ABC为锐角三角形时，·>0
D. 当△ABC为边长为2的等边三角形时，·＝2
4. (2023淮安淮阴中学月考)在梯形ABCD中，B＝60°，AB＝3，AD∥BC，BC＝6，且·＝－，则AD的长度为________．
5. 已知a·b＝16，若向量a在b上的投影向量为4b，求|b|.
9．2.3　向量的数量积(2)
进一步掌握平面向量数量积的概念及几何性质，掌握平面向量数量积的运算律，综合运用数量积的相关知识解决向量的模、夹角、向量垂直等问题．
活动一 向量数量积的运算律
思考1
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
思考2
你能证明以上运算律吗？
例1　我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
活动二　掌握向量的模　
例2　(1) 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为150°，求|a＋b|；
(2) 已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，求|a－4b|.
因为|a|2＝|a|·|a|cos 0°＝a·a，所以要求向量的模，先求模的平方．
求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
活动三　掌握向量的夹角
例3　已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，求a与b的夹角．
因为向量的数量积中涉及向量的夹角，所以求解向量的夹角时，联想到数量积的定义．但要注意夹角为锐角时，要同时满足a·b>0且a与b不同向，夹角为钝角时，要同时满足a·b<0且a与b不反向．
设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
活动四　掌握两个向量垂直的判断与应用　
例4　设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________．
两个向量垂直的充要条件是a·b＝0.
已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ的大小．
1. (教材改编)已知|a|＝1，|b|＝，a·b＝1，则|a－b|的值是(　　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
2. (2024武汉期中)已知a，b，c均为单位向量，且2a＝3b＋4c，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)(2024重庆长寿期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠DAB＝，F为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝＋
B. ·＝24
C. 在上的投影向量为
D. ||＝
4. (2023怀化期末)已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若≥(t∈R)，则θ的取值范围为__________.
5. (教材改编)已知|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为.
(1) 求|3a＋b|的值；
(2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
9．2.3　向量的数量积(1)
【活动方案】
1. (1) 能
(2) 设力F与物体位移s的夹角为θ，则F所做的功W应为W＝|F||s|cos θ.
2. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积，记作a·b.
思考：实数与向量的积是向量，向量的数量积是实数．
例1　a·0＝0，故①②错误；a·b＝|a||b|cos θ(a，b均为非零向量，θ是a与b的夹角)，故③错误；设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当cos θ＝0时，a·b＝0，故④⑤错误；向量的数量积不满足结合律，故⑥错误；显然⑦正确．
跟踪训练　④
例2　(1) －3　(2) 3　(3) 6或－6　(4) 0
跟踪训练　由a·b＝|a||b|cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
例3　a·b＋b·c＋c·a＝|a||b|cos 120°＋|b||c|·cos 120°＋|c||a|cos 120°＝3×＝－2×3＝－6.
跟踪训练　因为·＝，
所以·＝||||，
所以cos A＝，所以A＝.
又AB＝AC，所以△ABC为等边三角形．
例4　当θ＝45°时，a在e上的投影向量为|a|cos 45°·e＝6×e＝3e；
当θ＝90°时，a在e上的投影向量为|a|cos 90°·e＝6×0×e＝0；
当θ＝135°时，a在e上的投影向量为|a|cos 135°·e＝6×e＝－3e.
跟踪训练　(1) －e2　设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以向量a在向量e2方向上的投影向量为|a|cos θe2＝－e2.
(2) －2e1　由(1)得，向量a与b的夹角为 θ＝，所以向量b在向量e1方向上的投影向量为|b|cos θe1＝－2e1.
【检测反馈】
1. A　设向量a与b的夹角是θ，由题意，得cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
2. B　在△ABC中，B＝，AB＝BC＝1，所以△ABC是等腰三角形，且A＝C＝，所以AC＝2AB cos A＝2×1×cos ＝，所以·＝||·||·cos A＝1××＝.
3. AC　对于A，因为·＝||||cos A<0，所以cos A<0，可得A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故A正确；对于B，因为·＝||||cos A>0，所以cos A>0，可得A为锐角，但不确定其他角的情况，故B错误；对于C，因为△ABC为锐角三角形，所以A为锐角，可得·＝||||cos A>0，故C正确；对于D，因为△ABC为边长为2的等边三角形，所以·＝||·||·cos 120°＝－2，故D错误．故选AC.
4. 1　在梯形ABCD中，因为B＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°，即向量与向量的夹角为120°.又AB＝3，则·＝||×||×cos 120°＝||×3×＝－，所以||＝1.
5. 设向量a，b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ＝16.
因为向量a在b上的投影向量为|a|cos θ＝4b，
所以|a|cos θ＝4|b|，所以|b|＝2.
9．2.3　向量的数量积(2)
【活动方案】
思考1：设向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
(1) a·b＝b·a；
(2) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3) (a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考2：由向量的数量积的定义不难验证运算律(1)(2)的正确性．
对运算律(3)，我们用投影向量的概念进行证明．
如图，任取一点O，作＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b.
设AA1⊥OC于点A1，BB1⊥OC于点B1，则向量a，b，a＋b在向量c上的投影向量分别为，和.当点O，A1，B1，C按从左到右的顺序排列时(如图)，有(a＋b)·c＝·c＝||·|c|＝(||＋||)|c|＝|||c|＋|||c|＝·c＋·c＝a·c＋b·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
对O，A1，B1，C的其他排列顺序，上式也成立．
例1　(1) (a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.
(2) (a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.
例2　(1) 因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 150°＝9＋16＋2×3×4×＝25－12，
所以|a＋b|＝.
(2) 因为|a－4b|2＝|a|2＋16|b|2－8|a||b|cos ＝4＋16－8×2×1×＝12，　
所以|a－4b|＝2.
跟踪训练　||2＋||2＝(＋)2＋(＋)2＝||2＋||2＋||2＋||2－2||·||·cos ∠ABC－2||·||·cos ∠BCD＝||2＋||2＋||2＋||2－2||·||·cos ∠ABC－2||||·cos (π－∠ABC)＝||2＋||2＋||2＋||2.
例3　设a与b的夹角为θ.
因为(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－cos θ＝0，
所以cos θ＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
跟踪训练　由题意，得(2te1＋7e2)(e1＋te2)＝2te＋7te＋(2t2＋7)·e1·e2＝8t＋7t＋(2t2＋7)×2×1×＝2t2＋15t＋7<0，
解得－7若2te1＋7e2与e1＋te2反向平行，则t2＝，
所以t≠±，
所以实数t的取值范围为(－7，－)∪(－，－).
例4　±　由题意，得(a＋λb)·(a－λb)＝|a|2－λ2|b|2＝0，所以9－25λ2＝0，则λ＝±.
跟踪训练　由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7a2－15b2＋16a·b＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝7a2＋8b2－30a·b＝0.②
由①②得b2＝2a·b，
代入①得a2＝2a·b，所以|a|＝|b|，
所以cos θ＝＝，
可得a与b的夹角θ为.
【检测反馈】
1. A　因为|a|＝1，|b|＝，a·b＝1，所以|a－b|＝＝＝＝1.
2. D　设向量a与向量b的夹角是θ，因为a，b，c均为单位向量，且2a＝3b＋4c，所以2a－3b＝4c，则4a2－12a·b＋9b2＝16c2，即4－12cos θ＋9＝16，解得cos θ＝－，即a与b夹角的余弦值为－.
3. AD　对于A，因为四边形ABCD是平行四边形，F为BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋，故A正确；对于B，因为AB＝2AD＝4，∠DAB＝，所以·＝·＝||2＋·＝42＋×4×2×cos ＝16＋2＝18，故B错误；对于C，在上的投影向量为·＝×＝，故C错误；对于D，因为＝＋，所以||2＝＝||2＋·＋||2＝16＋4×2×＋×4＝21，所以||＝，故D正确．故选AD.
4. 　因为e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，所以e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ.又≥，所以2＝e＋2te1·e2＋t2e＝t2＋2cos θ·t＋1＝(t＋cos θ)2＋sin2θ≥sin2θ≥.因为θ∈[0，π]，所以sinθ≥，所以θ∈.
5. (1) 因为|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×2×＝－4，
所以|3a＋b|＝＝＝2.
(2) 由(1)知，a·b＝－4，|a|＝4，|b|＝2，
因为(a＋2b)⊥(ka－b)，
所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
即k|a|2－a·b＋2ka·b－2|b|2＝0，
所以16k＋4－8k－8＝0，解得k＝，
故当k＝时，(a＋2b)⊥(ka－b).