9．3.2　向量坐标表示与运算 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．3.2　向量坐标表示与运算(1)
1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
活动一 平面向量的正交分解及其坐标表示
问题：如图：
(1) i，j为互相垂直的单位向量，请用i，j表示图中的向量，，，这三个向量是否相等？如何用坐标表示一个向量？
(2) 写出各个向量的起点和终点的坐标；
(3) 探究各个向量的起点坐标、终点坐标与向量坐标之间的关系．
例1　如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
从原点引出的向量的坐标(x，y)就是点M的坐标．
如图，取与x轴，y轴相同方向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
活动二　平面向量线性运算的坐标表示　
1. 平面向量的坐标运算．
根据平面向量坐标表示的几何意义及向量的运算性质思考下列问题：
思考1
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，求a＋b，a－b.
思考2
已知a＝(x，y)和实数λ，求λa.
2. 平面向量坐标运算的应用．
例2　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(－1，3)，B(1，－3)，C(4，1)，D(3，4)，求向量，，，的坐标．
思考3
例2中的四边形OCDA是平行四边形吗？为什么？
一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
已知a＝(3，4)，b＝(－1，4)，求a＋b，a－b，2a－3b的坐标．
已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
1. (教材改编)已知O为坐标原点，若向量＝(3，2)，＝(－4，5)，则点A的坐标为(　　)
A. (－1，7) B. (7，－3) C. (－1，－3) D. (7，7)
2. (2024成都期中)已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是线段AB上靠近点A的三等分点，则点P的坐标为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024张家口期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2，2)，(－2，4)，(0，0)，则另一个顶点的坐标可以是(　　)
A. (0，－6) B. (0，6) C. (4，－2) D. (－4，2)
4. (2024北京期中)已知O为坐标原点，点A(3，－6)，B(－5，2)，＝(＋)，则点C的坐标为________．
5. 已知a＝(2，－4)，b＝(－1，3)，c＝(6，5)，p＝a＋2b－c，试用a，b表示p.
9．3.2　向量坐标表示与运算(2)
1. 能用坐标表示平面向量的数量积及夹角．
2. 能用坐标表示平面向量垂直的条件．
活动一 掌握平面向量数量积的坐标表示
1. 两个非零平面向量垂直的等价条件：
2. 设i，j分别是与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，则i·i＝________，j·j＝________，i·j＝j·i＝________．　
3. 探究：若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，i，j分别是与x轴，y轴正方向相同的单位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示；
(2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b；
(3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b.
4. 平面向量数量积的坐标表示．
(1) 平面向量数量积的坐标表示：
根据上述探究，如果两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么平面两向量数量积的坐标表示为：
特别地，设a＝(x，y)，则a·a的几何意义是什么？你能得到什么结论？(|a|2＝？即|a|＝？)
(2) 平面内两点间的距离公式：
①已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求；
②能否用(1)的结论求||
③||的几何意义是什么？
根据①②③得出A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式为：
(3) 两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)：
①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角是θ，根据向量数量积的定义，如何用向量a和b的坐标来表示它们夹角的余弦？
②特别地，若a⊥b，则向量a和b的坐标满足什么条件？
③反之，向量a和b的坐标满足上述条件，则a⊥b成立吗？
由此得出：a⊥b a·b＝0 _____________.
活动二　掌握平面向量数量积的坐标表示的应用　
例1　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：△ABC是直角三角形．
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标．
在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求k的值．
例2　已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，求满足x·a＝9与x·b＝4的向量x.
已知a＝(4，3)，则与a垂直的单位向量的坐标是____________________．
例3　已知平面向量a＝(－，)，b＝(－，－1).
(1) 求证：a⊥b；
(2) 若存在不同时为零的实数k，t，使得x＝a＋(t2－2)b，y＝－ka＋t2b，且x⊥y，试把k表示为t的函数．
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系式，从而解决一些相关问题．
在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(，－1)，b＝(cos 60°，sin 60°).
(1) 求证：|a|＝2|b|，且a⊥b；
(2) 设向量x＝a＋(t＋4)b，y＝a＋tb，且x⊥y，求实数t的值．
1. (教材改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|等于(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. (2024芜湖期中)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则b与a＋b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D. －
3. (多选)(教材改编)已知向量a＝(－1，3)，b＝(x，2)，且(a－2b)⊥a，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＝(1，2)
B. |2a－b|＝25
C. 向量a与向量b的夹角是45°
D. 向量a在向量b上投影向量的坐标是(1，2)
4. (2023潍坊四中月考)已知O为坐标原点，且＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________．
5. (2024株洲月考)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1) 求·；
(2) 若实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
9．3.2　向量坐标表示与运算(1)
【活动方案】
问题：(1) ＝＝＝4i＋2j.
存在有序实数对(x，y)使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)称为向量a的直角坐标．
(2) ：A(－5，－4)，B(－1，－2)；
：O(0，0)，C(4，2)；
：D(2，4)，E(6，6).
(3) 向量坐标＝终点坐标－起点坐标．
例1　设点A的坐标为(x，y)，
则x＝OA·cos 60°＝2，
y＝OA·sin 60°＝6，
即点A的坐标为(2，6)，
所以＝(2－0，6－0)＝(2，6).
跟踪训练　＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－＝－4i＋2j.　
所以＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).
思考1：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2).
思考2：λa＝(λx，λy).
例2　＝(－1，3)，＝(1，－3)，＝(1，－3)，＝(－1，3).
思考3：是，因为与为相等向量且不重合，所以OA∥CD，OA＝CD，所以四边形OCDA是平行四边形．
跟踪训练1　a＋b＝(2，8)，a－b＝(4，0)，2a－3b＝(9，－4).
跟踪训练2　设a＝mb＋nc，则a＝(3m－2n，m＋3n)，即解得所以a＝2b－2c.
【检测反馈】
1. B　因为＝(3，2)，＝(－4，5)，所以＝－＝(3，2)－(－4，5)＝(7，－3)，所以点A的坐标为(7，－3).
2. B　因为＝(2，3)，＝(6，－3)，所以＝－＝(4，－6).因为P是线段AB上靠近点A的三等分点，所以＝＝，则＝＋＝，可得点P的坐标为.
3. BCD　记点(2，2)，(－2，4)，(0，0)分别为A，B，O，第4个顶点为C.当线段AB为平行四边形的对角线时，＝＝(2，2)，可得点C的坐标为(0，6)，故B正确；当线段OB为平行四边形的对角线时，＝＝(－4，2)，可得点C 的坐标为(－4，2)，故D正确；当线段OA为平行四边形的对角线时，＝＝(4，－2)，可得点C的坐标为(4，－2)，故C正确．故选BCD.
4. (－1，－2)　由＝(＋)，得C为线段AB的中点．又A(3，－6)，B(－5，2)，则C(－1，－2).
5. 由题意，得p＝a＋2b－c＝(－6，－3).
设p＝ma＋nb，
则解得
所以p＝－a－15b.
9．3.2　向量坐标表示与运算(2)
【活动方案】
1. a·b＝0
2. 1　1　0
3. (1) a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2) a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.　
(3) a·b＝x1x2＋y1y2.
4. (1) a·b＝x1x2＋y1y2.
a·a的几何意义是向量a在向量a上的投影向量与向量a的数量积．
|a|2＝x2＋y2，即|a|＝．
(2) ①＝(x2－x1，y2－y1).
②||＝.
③表示A，B两点间的距离．
AB＝.
(3) ①cos θ＝.
②x1x2＋y1y2＝0.
③成立．
x1x2＋y1y2＝0
例1　由题意，得＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝0，即AB⊥AC，
所以△ABC是直角三角形．
跟踪训练　由题意，得＝－＝(－1，k－3).
①当A＝90°，
即·＝2＋3k＝0时，k＝－；
②当B＝90°，
即·＝－2＋3k－9＝0时，k＝；
③当C＝90°，
即·＝－1＋k2－3k＝0时，k＝.
综上，k的值为－或或或.
例2　设x＝(m，n)，
则解得
所以x＝.
跟踪训练　或　设单位向量为(x，y)，则解得或所以所求的单位向量为或(－，).
例3　(1) 因为a·b＝·(－，－1)＝－＝0，所以a⊥b.　
(2) |a|2＝＋＝1，|b|2＝3＋1＝4，
x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0，
即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0，
所以k＝4t4－8t2.
跟踪训练　(1) 由题意，得b＝，|a|＝2，
则|b|＝1，所以|a|＝2|b|.
因为a·b＝－＝0，所以a⊥b.
(2) 因为x⊥y，所以x·y＝0.
由(1)得x·y＝[a＋(t＋4)b]·(a＋tb)＝a2＋t(t＋4)b2＝t2＋4t＋4＝(t＋2)2＝0，
解得t＝－2.
【检测反馈】
1. D　因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.
2. A　设b与a＋b的夹角是θ，因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，即m＝2，所以b＝(2，1)，可得a＋b＝(3，－1)，所以cos θ＝＝＝＝.
3. ACD　由a＝(－1，3)，b＝(x，2)，得a－2b＝(－1－2x，－1).由(a－2b)⊥a，得2x＋1－3＝0，解得x＝1.对于A，b＝(1，2)，故A正确；对于B，2a－b＝(－3，4)，则|2a－b|＝＝5，故B错误；对于C，设向量a与向量b的夹角是θ，易得|a|＝，|b|＝，a·b＝－1×1＋3×2＝5，则cos θ＝＝＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为b＝b＝(1，2)，故D正确．故选ACD.
4. 　因为O为坐标原点，＝(1，2)，＝(－2，－1)，且2＝，所以P为线段AB的中点，则＝(＋)＝，所以||＝＝.
5. (1) 由题意，得＝(2，3)－(－1，－2)＝(3，5)，＝(－2，－1)－(－1，－2)＝(－1，1)，
所以·＝3×(－1)＋5×1＝2.
(2) 由题意，得－t＝(3，5)－t(－2，－1)＝(3＋2t，5＋t)，＝(2，3).
因为(－t)·＝0，
所以2(3＋2t)＋3(5＋t)＝0，
解得t＝－3.