9．3.3　向量平行的坐标表示 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．3.3　向量平行的坐标表示
能用坐标表示的平面向量共线的条件．
活动一 掌握向量平行的坐标表示
思考1
在平面直角坐标系中作出向量a＝(1，－4)与b＝(－2，8).
(1) 观察它们是否平行？
(2) 观察它们的坐标间满足什么关系？
(3) 由此可以得到什么结论？能再举一些例子吗？
思考2
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，x1，y1不同时为零，如果a∥b，那么相应向量的坐标间有什么关系？如果它们的坐标满足上述关系，那么向量a，b平行吗？
活动二　掌握向量平行的坐标表示的应用　
例1　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．
根据两个向量平行的充要条件x1y2－x2y1＝0去解决问题，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标．
已知a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a＋2b与2a－b平行，则实数x的值为________．
例2　已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义．
向量a＝(x1，y1)(a≠0)与b＝(x2，y2)平行，可以表示为x1y2－x2y1＝0，也可以表示为b＝λa.
已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1) 当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2) 若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求实数m的值．
例3　已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).
(1) 求实数x的值，使向量与共线；
(2) 当向量与共线时，点A，B，C，D是否在同一条直线上？
已知点A(0，－2)，B(2，2)，C(3，4)，求证：A，B，C三点共线．
1. (教材改编)已知向量m＝(1，1)，n＝(3，λ)，若m∥n，则实数λ的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 3 D.
2. (教材改编)已知A(1，2)，B(2，4)，C(m，6)三点共线，则实数m的值为(　　)
A. －5 B. 5 C. －3 D. 3
3. (多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8)
4. (2024滨州月考)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，6)，若a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
5. 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2) 若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥(a－b)，求d.
9．3.3　向量平行的坐标表示
【活动方案】
思考1：作图略．
(1) 平行．
(2) 1×8－(－4)×(－2)＝0.
(3) 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.举例略．
思考2：x1y2－x2y1＝0，平行．　
例1　由题意，得ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
所以3k－6＝－7，解得k＝－，
此时ka－b＝－(7，3)＝－(a＋3b)，它们是反向的．
跟踪训练　　由题意，得a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，则3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝.
例2　假设存在常数t，使得＋t＝，则t＝(－t，2t)＝－＝(－2，－3)，t无解，
所以不存在常数t，使得＋t＝成立．
几何意义：与不共线．
跟踪训练　(1) ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2) ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m).
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
解得m＝.
例3　(1) 因为＝(x，1)，＝(4，x)，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
(2) ＝(2－2x，x－1).
①当x＝2时，＝(2，1)，＝(－2，1)，
所以点A，B，C，D不在同一条直线上；
②当x＝－2时，＝(－2，1)，＝(6，－3)，
所以＝－，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，
所以点A，B，C，D在同一条直线上．
跟踪训练　由题意，得＝(2，4)，＝(3，6)，
所以＝，且有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
【检测反馈】
1. C　因为m＝(1，1)，n＝(3，λ)，且m∥n，所以3－λ＝0，解得λ＝3.
2. D　由题意，得＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)，＝(m，6)－(2，4)＝(m－2，2).因为A(1，2)，B(2，4)，C(m，6)三点共线，所以∥，则1×2－2(m－2)＝0，解得m＝3.
3. BD　设b＝(x，y)，因为a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，所以解得或故选BD.
4. 　因为a＝(1，－2)，b＝(－2，6)，所以a＋λb＝(1，－2)＋λ(－2，6)＝(1－2λ，－2＋6λ).因为a与a＋λb的夹角为锐角，所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线．由a·(a＋λb)>0，得1－2λ＋(－2)×(－2＋6λ)>0，则λ<；由a与a＋λb共线，得－2×(1－2λ)－(－2＋6λ)＝0，则λ＝0，此时a与a＋λb同向共线，故λ≠0.综上，实数λ的取值范围为{λ|λ<，且λ≠0}．
5. (1) a＋kc＝(4k＋3，k＋2)，2b－a＝(－5，2)，
所以8k＋6＝－5k－10，解得k＝－.
(2) d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，
d＋c＝(x＋4，y＋1)，a－b＝(4，0).
由(d－c)∥(a＋b)，得4x－16＝2y－2，
由(d＋c)∥(a－b)，得4y＋4＝0，
所以所以d＝(3，－1).