9．4　向量应用 学案（2课时，含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

9．4　向 量 应 用
9.4.1　向量应用(1)
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题．
活动一 掌握向量在物理中的应用
物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的，因而它们都是向量．向量在物理学中最基本的应用就是力、速度、加速度、位移等的合成与分解，在物理中动量是向量的数乘，力所做的功是向量的数量积．
例1　如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在点A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大．
用向量法解决物理问题的一般步骤：
(1) 把物理问题中的相关量用向量表示；
(2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
(3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象．
在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向哪里？
活动二　掌握向量在平面几何中的应用　
阅读：
由于向量的数量积主要涉及向量的模及向量的夹角，因此平面几何中涉及距离(线段长度)、垂直和夹角问题时，常利用向量的数量积运算及其性质来解决．
例2　已知⊥，⊥，求证：⊥.
思考
你能否画一个几何图形来解释例2
　　
向量在平面几何中的应用：
(1) 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：向量b＝(x2，y2)与非零向量a＝(x1，y1)共线 存在唯一实数λ使得b＝λa x1y2＝x2y1.
(2) 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3) 求夹角问题：
cos θ＝＝.
(4) 求线段长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式：
||＝.
已知D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
1. (教材改编)已知同一平面内的三个力F1，F2，F3作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态，若 |F1|＝3，|F2|＝4，且F1与F2的夹角为120°，则力F3的大小为(　　)
A. 37 B. C. 13 D.
2. (2024广州月考)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船在静水中的航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，水流的速度的大小为7.5 km/h，方向为正东方向，则小船实际航行速度的大小与方向分别为(　　)
A. km/h，正北
B. km/h，与水流方向的夹角为63.4°
C. km/h，与水流方向的夹角为41°
D. km/h，垂直于河岸
3. (多选)(2024苏州月考)已知△ABC满足AB＝3，AC＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若点O为△ABC的重心，则＝＋
B. 若点O为△ABC的外心，则·＝
C. 若点O为△ABC的垂心，则＝＋
D. 若点O为△ABC的内心，则＝λ
4. 一个物体在力F＝(1，2)的作用下产生位移s＝(3，4)，那么力F所做的功为________．
5. (教材改编)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
9．4.2　向量应用(2)
掌握向量的应用，提高解决实际问题的能力．
活动 向量在平面几何中的应用
例1　在四边形ABCD中，若＝，|＋|＝|－|，试判断四边形的形状．
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1) 求边BC的长；
(2) 求边BC的中线AD的长．
平面几何的问题可以转化为向量问题，解决向量问题又有两种方法：一是利用向量的几何方法解决；二是建系解决．
例2　在边长为2的等边三角形ABC中，D为边AB的中点，若P为线段CD上的动点，求(＋)·的最小值．
向量中的最值问题可以用代数方法解决，主要是列出函数表达式，也可以用几何方法，主要是画出适合条件的图形．
(2023宁波期中)已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，P为边DC上的动点(不包括端点).
(1) 求·的最小值；
(2) 设线段AP与DE的交点为G，求·的最小值．
1. (教材改编)在△ABC中，D是边BC的中点，∠BAC＝120°，AB＝3，AD＝，则AC的长为(　　)
A. 5 B. 6 C. D.
2. (2024枣庄期中)在△ABC中，若非零向量与满足(＋)·＝0，·＝0，则△ABC为(　　)
A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
3. (多选)(2024佛山月考)在日常生活中，我们常常会看到，两个人共提一个行李包．假设行李包所受的重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　)
A. θ越小越省力，θ越大越费力 B. |F1|的最小值为|G|
C. 当θ＝时，|F1|＝|G| D. 当θ＝时，|F1|＝|G|
4. (2023淮安期中)已知在等腰三角形ABC中，底边BC的长为2，腰长为，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的最小值是________．
5. (教材改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝3，点D在线段BC上，且 BD＝DC.
(1) 求AD的长；
(2) 求cos ∠DAC的值．
9．4　向 量 应 用
9.4.1　向量应用(1)
【活动方案】
例1　设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，
则a＋b＋c＝0.
因为a，b的合力为c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|.
如图，在 OB′C′A′中，
因为⊥，＝，
所以||>||，||>||，
即|a|>|b|，|a|>|c|，
故细绳OA受力最大．
跟踪训练　如图，设表示水流的速度，表示船在静水中的速度，表示船实际垂直过河的速度．
因为＋＝，
所以四边形OACB是平行四边形．
在Rt△OBC中，||＝40，||＝||＝20，
所以∠BOC＝30°，
所以要船垂直到达对岸，其航向与水流方向的夹角应为120°.
例2　由题意，得
由②－①，得·(－)＝0，
即·＝0，所以⊥.
思考：点B是△AOC的垂心．
跟踪训练　由题意，得||2－||2＝||2－||2.
又||2－||2＝(＋)2－(＋)2＝||2－||2＋2·－2·，
所以2·－2·＝0，
所以·＝0，所以AD⊥BC.
【检测反馈】
1. D　由题意可知F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝F＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×4×cos 120°＋42＝13，故|F3|＝，即力F3的大小为.
2. A　如图，表示水流速度，表示小船在静水中的航行速度，设表示小船实际航行速度，E为渡口A在对岸对应的点，则∠AEC＝90°，∠CAE＝30°.在△ACE中，因为AC＝||＝15，所以CE＝AC＝7.5＝||，所以点E 和点D重合，则||＝AE＝＝＝(km/h)，所以小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向．
3. ABD　对于A，如图1，设D为线段BC的中点，当点O为△ABC的重心时，＝＝×(＋)＝＋，故A正确；对于B，如图2，设D为线段AC的中点，若点O为△ABC的外心，则OD为线段AC的垂直平分线，所以·＝(＋)·＝·＝||2＝8，同理，得·＝||2＝，则·＝·(－)＝·－·＝，故B正确；对于C，当B＝时，则点B为△ABC的垂心，点B，O重合，此时＝，故C错误；对于D，若点O为△ABC的内心，则点O在∠BAC的平分线上，所以＝λ(＋)＝λ(＋)，故D正确．故选ABD.
图1 图2
　　
4. 11　由数量积的物理意义可知，力F所做的功W＝F·s＝(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.
5. 由题意知，||＝||＝||，＝2.
因为＝＋，
所以＝－＝＋－2＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以⊥，即AC⊥BC.
9．4.2　向量应用(2)
【活动方案】
例1　由＝，得四边形ABCD为平行四边形．
将|＋|＝|－|两边同时平方得·＝0，
所以AB⊥AD.
所以四边形ABCD为矩形．
跟踪训练　(1) 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则点B(3，0)，C(1，)，
所以＝(－2，)，
所以||＝＝.
(2) 由(1)得点D，则＝，
所以||＝＝.　
例2　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(，3)，D(，0)，
所以＝(0，3).
设＝λ＝(0，3λ)，λ∈[0，1]，
则点P(，3－3λ)，＝(0，3λ－3)，
所以(＋)·＝2·＝18λ2－18λ.
令y＝18λ2－18λ，λ∈[0，1]，所以ymin＝－，
故(＋)·的最小值是－.
跟踪训练　(1) 设DP＝a(a∈(0，2))，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，D(0，1)，P(a，1)，B(2，0)，
所以＝(－a，－1)，＝(2－a，－1)，
则·＝－a(2－a)＋(－1)×(－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2，
当a＝1时，·有最小值，最小值为0.
(2) 易得△AEG∽△PDG，则＝＝，所以＝，
所以＝(a，1)，＝，
则·＝＋＝＝＝a＋1－＝(a＋1)＋－2≥2－2，
当且仅当a＋1＝，即a＝－1时取等号，
所以·的最小值为2－2.
【检测反馈】
1. A　如图，由题意可得＝(＋)，则||2＝(||2＋||2＋2·)＝，即＋AC2－AC＝，解得AC＝5.
2. A　由·＝0，得∠BAC的平分线与BC垂直，所以AB＝AC.又因为 ·＝0，所以AB⊥AC，故△ABC为等腰直角三角形．
3. AC　对于A，由题意，得G＝F1＋F2.又|F1|＝|F2|，则|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，解得|F1|2＝.当θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A正确；对于B，当θ∈(0，π)时，0<1＋cos θ<2，则|F1|2＝>|G|2，即|F1|>|G|，故B错误；对于C，当θ＝时，由|F1|2＝，得|F1|2＝|G|2，即|F1|＝|G|，故C正确；对于D，当θ＝时，由|F1|2＝，得|F1|2＝，即|F1|＝|G|，故D错误．故选AC.
4. －1　设D为BC的中点，建立如图所示的平面直角坐标系xDy，则A(0，)，设P(x，y)，由＋＝2，得·(＋)＝2·，而＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，则2·＝2×[x2＋(y－)2－]，所以当时，·(＋)取最小值－1.
5. (1) 设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，
所以||2＝＝a2＋2××a·b＋b2＝×1＋2××1×3×cos 120°＋×9＝，
故AD＝.
(2) 由题意，得cos ∠DAC＝
＝＝
＝＝.