2024—2025学年高二下学期期中综合测试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.范围：（选择性必修第5-6章）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
2．函数f(x)＝x＋2sin x在区间[－π，0]上的最小值是( )
A．－ B．2 C.＋ D．－－
3．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )
A．72 B．120 C．192 D．240
4．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
5．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．243 B．27 C．1 D．－1
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(－1，b)处的切线平行于直线3x＋y＝0，则该切线方程为( )
A．3x＋y－1＝0 B．3x＋y＋1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．3x＋y－2＝0
7．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于( )
A．0 B．5 C．0或5 D．以上都不对
8．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若对任意x∈，m－≥f(x)恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的单调递增区间是，
B．函数f(x)的单调递增区间是，
C．x＝－2是函数的极小值点
D．x＝2是函数的极小值点
10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则( )
A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2
11．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝，则下列结论不正确的是( )
A．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极大值 D．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为 .
13．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为________．
14．“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
16．(15分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的图象在点A(1，16)处的切线方程．
17．(15分)已知集合A＝{x|1
(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
18．(17分)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，求a的取值范围．
19．(17分)设函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋a.
(1)求函数f(x)在区间[－2，2]上的最值；
(2)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的值．2024—2025学年高二下学期期中综合测试
数学试题解析
1．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有( B )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
解析 先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，共有A33种排法，所以不同的放法共有A33×＝18种．故选B.
2．函数f(x)＝x＋2sin x在区间[－π，0]上的最小值是( D )
A．－ B．2 C.＋ D．－－
解析： f′(x)＝1＋2cos x．当x∈[－π，0]时，令f′(x)＝0得x＝－，
又f(－π)＝－π，f＝－－，f(0)＝0，故最小值为－－.故选D.
3．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( D )
A．72 B．120 C．192 D．240
解析：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C21A53＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A55＝120.故共有120＋120＝240个不同的偶数．故选D.
4．设函数f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：由函数f(x)＝xex，得f′(x)＝(1＋x)ex，令(1＋x)ex＝0，可得x＝－1，
当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选D.
5．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( D )
A．243 B．27 C．1 D．－1
解析：由题意得|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－2)5＝－1.故选D
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(－1，b)处的切线平行于直线3x＋y＝0，则该切线方程为( B )
A．3x＋y－1＝0 B．3x＋y＋1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．3x＋y－2＝0
解析 由题意得f′(x)＝3x2＋2ax，
∵曲线在点P(－1，b)处的切线平行于直线3x＋y＝0，
∴曲线在点P处的切线斜率k＝－3，即k＝f′(－1)＝3－2a＝－3，
解得a＝3，此时f(x)＝x3＋3x2，b＝f(－1)＝－1＋3＝2，
即切点为P(－1，2)，则切线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. 故选B.
7．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于( C )
A．0 B．5 C．0或5 D．以上都不对
8．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若对任意x∈，m－≥f(x)恒成立，则实数m的取值范围是( A )
A. B. C. D.
解析 ∵f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，∴f′(x)＝x2－2f′(1)x＋8，
∴f′(1)＝1－2f′(1)＋8，解得f′(1)＝3，∴f(x)＝x3－3x2＋8x，
∵对任意x∈，m－≥f(x)恒成立，即对任意x∈，m≥x3－3x2＋8x＋恒成立，
令g(x)＝x3－3x2＋8x＋，x∈，则g′(x)＝x2－6x＋8，
令g′(x)＝x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
易得g(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故g(x)max＝g(2)＝7，
故实数m的取值范围是[7，＋∞)．故选A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( BD )
A．函数f(x)的单调递增区间是，
B．函数f(x)的单调递增区间是，
C．x＝－2是函数的极小值点
D．x＝2是函数的极小值点
解析： 由图可得函数y＝xf′(x)的零点为－2，0，2，
当x<－2时，y<0，∴f′(x)>0，故f(x)在上单调递增；
当－20，∴f′(x)<0，故f(x)在上单调递减；
当0当x>2时，y>0，∴f′(x)>0，故f(x)在上单调递增，
∴x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点．故选BD.
10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则( BC )
A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2
解析：由题意可知，
a1＝1，a2＝a1＋2＝1＋2，a3＝a2＋3＝1＋2＋3，…，an＝an－1＋n＝1＋2＋3＋…＋n，
故an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以S4＝1＋3＋6＋10＝20，故A错误；
因为an＋1＝an＋n＋1，故B正确；因为a100＝＝5 050，故C正确；
因为2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，anan＋2＝，所以2an＋1≠anan＋2，故D错误．
故选BC
11．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝，则下列结论不正确的是( ABC)
A．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极大值 D．g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝，即[xf(x)]′＝，
因为g(x)＝xf(x)，所以由g′(x)＝>0得x>1；由g′(x)<0得0即g(x)＝xf(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值，为g(1)＝f(1)＝.故选ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为
解析 (x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项的系数即分别取每个括号中x项的系数乘以剩余括号的常数所得结果再相加，故展开式中的一次项系数为1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12.
13．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为__1_____．
14．“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为________．
解析： “仁、义、礼、智、信”排成一排，总排法有A55种，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有A22A33种，故所求概率为＝.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解析 展开式的通项为Tk＋1＝Cnk(x2)n－k·(－)k＝(－1)k()n－kCnkx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6()4C106＝.
(3)要使2n－k即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
16．(15分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的图象在点A(1，16)处的切线方程．
解析 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
因为f(x)在x＝3处取得极值，所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.经检验，符合题意．所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)由(1)可知点A在f(x)的图象上，f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16.
17．(12分)已知集合A＝{x|1(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
解析 由1(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数的个数为A63＝120.
(2)若从集合A中取元素3，则3不能是千位上的数字，满足题意的自然数有C53C31A33＝180(个)．
若不从集合A中取元素3，则四位数的组成数字有5组：4，5，6，7；4，6，7，8；4，5，6，8；4，5，7，8；5，6，7，8.分别全排列，满足题意的自然数有5A44＝120(个)．
所以满足题意的自然数共有180＋120＝300(个)．
18．(17分)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，令f′(x)＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，则Δ＝36(1－a)．
①若a≥1，则Δ≤0，f′(x)≥0，所以f(x)在R上是增函数．
②因为a≠0，故当a<1时，Δ>0，f′(x)＝0有两个根，即x1＝，x2＝，
若00，故f(x)在(－∞，x2)，(x1，＋∞)上单调递增；
当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)上单调递减．
若a<0，则当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，故f(x)在(x1，x2)上单调递增．
(2)当a>0，x>0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，所以当a>0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增．
当a<0时，若f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f′(1)≥0且f′(2)≥0， 解得－≤a<0.
22．(12分)设函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋a.
(1)求函数f(x)在区间[－2，2]上的最值；
(2)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的值．
解析 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0可得x＝1或x＝3.因为x∈[－2，2]，
所以当x∈[－2，1)时，f′(x)>0，f(x)在[－2，1)上单调递增；
当x∈(1，2]时，f′(x)<0，f(x)在(1，2]上单调递减．
又因为f(1)＝4＋a，f(－2)＝－50＋a，f(2)＝2＋a， 所以f(x)min＝－50＋a，f(x)max＝4＋a.
(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x.
设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，
x，g′(x)，g(x)的变化情况如表：
x (－∞，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) ? 极小值－4 ? 极大值0 ?
又当x→－∞时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以g(x)的大致图象如图所示，
要使f(x)有且只有两个零点，
只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同交点，
所以a＝－4或a＝0.