(共30张PPT)
第一章 三角函数
§3 弧度制
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．
2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．
3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1．借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养．
2．应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
度
1
圆心角
rad
弧度
弧度
知识点2 角度制与弧度制的换算
(1)常见角度与弧度互化公式如下
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
|α|·R
关键能力 攻重难
1.将下列角度与弧度进行互化：
题型一
角度制与弧度制互化
[归纳提升]
归纳提升：
角度制与弧度制互化的原则和方法
〉对点训练1
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．
2.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【分析】 本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界．
题型二
用弧度制表示终边相同的角
[归纳提升]
归纳提升：
1．无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．
2．用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，注意2kπ是π的偶数倍．
〉对点训练2
用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．
题型三
弧长公式和扇形面积公式的应用
[归纳提升]
归纳提升：
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．
〉对点训练3
已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则此扇形的面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．8 cm2
【答案】 B
课堂检测 固双基
A．－300° B．－600°
C．－900° D．－1 200°
【答案】 B
2．与1°角终边相同的角的集合是( )
【答案】 C
【答案】 C
4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是( )
【答案】 D第一章 §3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】 D
【解析】 由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确；用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 由于r＝10，α＝，所以弧长l＝r·α＝.
3．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 D
【解析】 ∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．
4．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
【答案】 D
【解析】 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
又2π rad＝360°，315°＝π rad.
故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.
5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．(k∈Z)
【答案】 D
【解析】 阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．
6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( )
A．tan 1 B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.
在Rt△AOC中，OA＝＝.
∴扇形的面积S＝×2×＝.
二、填空题
7．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为__________.
【答案】 －8π＋
【解析】 ∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，
∴应填－8π＋.
8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为________.
【答案】
【解析】 连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
9．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50 cm，内弧线的长为15 cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14 cm，则该扇环的面积为________cm2.
【答案】 455
【解析】 如图，作出包含扇环ABDC的两个扇形OAB和OCD，依题意，的长为50 cm，的长为15 cm，AC＝BD＝14 cm，不妨设扇形OAB的半径为r，则扇形OCD的半径为r＋14，设圆心角∠AOB＝α，则解得于是扇环ABDC的面积为S扇形OCD－S扇形OAB＝α[(r＋14)2－r2]＝××(400－36)＝455 cm2.故答案为455.
三、解答题
10．设α＝510°，β＝π.
(1)将α用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；
(2)将β用角度表示出来，并在－360°～360°内找出与它们终边相同的所有的角．
【解析】 (1)因为1°＝rad，所以α＝510°＝510×＝π＝2π＋π，
所以α的终边在第二象限．
(2)β＝π＝×°＝144°，设θ＝k·360°＋144°(k∈Z)，
因为－360°≤θ<360°，所以－360°≤k·360°＋144°<360°，所以k＝－1或k＝0，
所以在－360°～360°内与β终边相同的角是－216°，144°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
【答案】 D
【解析】 ∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D.
2．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
【答案】 D
【解析】 ∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，
∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
3．(多选)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
【答案】 BC
【解析】 α＝＝＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC.
4．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
【答案】 ABD
【解析】 67°30′＝67.5×＝，A正确；－＝－×＝－600°，B正确；－150°＝－150×＝－，C错误；＝×＝15°，D正确．故选ABD.
二、填空题
5．已知θ∈，则θ的终边所在的象限是____________________.
【答案】 第一或第二象限
【解析】 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
6．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是____________dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是________dm2.
【答案】
【解析】 所在的圆的半径是2，所对圆心角为，
所在的圆的半径是1，所对圆心角为，
所在的圆的半径是，所对圆心角是.
点A走过的路程是3段圆弧长之和，即
＋＋＝(dm)；
3段弧所对应的扇形总面积为
＋＋＝(dm2)．
三、解答题
7．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
【解析】 设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.
8．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．
【解析】 (1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，
所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.
由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，
所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.
(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.
所以两种方案中的扇形面积一样大．
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