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第一章 三角函数
§2 任意角
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．
2．掌握终边相同角的含义及其表示．
3．会用集合表示象限角，会判断一个角是第几象限角. 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
必备知识 探新知
知识点1 任意角
(1)角的概念
如图，平面内____________绕着它的端点O按箭头所示方向_______到终止位置OB，形成角α.点O是角α的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
一条射线OA
旋转
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型 定义
正角 按______________旋转形成的角
负角 按______________旋转形成的角
零角 如果一条射线没有作任何旋转，称这样的角为________.零角的始边与终边重合
逆时针方向
顺时针方向
零角
知识点2 象限角
(1)象限角的概念
在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
非负半轴
(2)象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
(3)轴线角的集合表示
轴线角 角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角
终边落在x轴的非正半轴上的角
终边落在x轴上的角
终边落在y轴的非负半轴上的角
终边落在y轴的非正半轴上的角
终边落在y轴上的角
终边落在坐标轴上的角
{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·90°，k∈Z}
知识点3 终边相同的角
给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝__________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
关键能力 攻重难
1.下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
【分析】 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
【答案】 C
题型一
任意角的概念
【解析】 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[归纳提升]
归纳提升：
关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
〉对点训练1
(1)下列说法，正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
【答案】 (1)B (2)B
【解析】 (1)对A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确；对C中钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；对D,0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．
2.(1)在－360°～0°内与角1 250°终边相同的角是________.
(2)求θ，使θ与－1 190°的终边相同，且－720°≤θ<0°.
【答案】 (1)－190° (2)见解析
题型二
终边相同的角
【解析】 (2)令θ＝－1 190°＋k·360°(k∈Z)，
因为－720°≤θ<0°，
所以－720°≤－1 190°＋k·360°<0°，
取k＝2,3就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即－1 190°＋2×360°＝－470°，－1 190°＋3×360°＝－110°.
所以θ为－470°，－110°.
[归纳提升]
归纳提升：
1．求适合某种条件且与已知角终边相同角的方法
先求出与已知角终边相同的角的一般形式；再依条件构建不等式求出k的值即可．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
〉对点训练2
已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，求角α.
【解析】 如图，因为120°角与－120°角的终边关于x轴对称，所以角α的终边与120°角的终边相同，
所以α＝k·360°＋120°(k∈Z)．
因为－360°<α<360°，
【解析】 (1)因为α是第二象限角，
所以90°＋k×360°＜α<180°＋k×360°，180°＋2k×360°<2α
<360°＋2k×360°，k∈Z.
题型三
象限角的确定
[归纳提升]
归纳提升：
1．象限角的判定方法
(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
〉对点训练3
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】 B
4.已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
题型四
区域角的表示
【解析】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[归纳提升]
归纳提升：
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
【解析】 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的角范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α
≤k·360°＋225°，k∈Z}．,
〉对点训练4
课堂检测 固双基
1.已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则下面正确的是( )
A．M＝N＝P B．M P
C．M∩P＝N D．以上都不对
【答案】 D
【解析】 M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，N＝{θ|0°<
θ<90°}，P＝{θ|θ<90°}，故选D.
2．2 024°是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】 C
【解析】 由于2 024°＝360°×5＋224°，而224°是第三象限角，则2 024°也是第三象限角．
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【答案】 C
【解析】 －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C.
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
【答案】 D
【解析】 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D.
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
【解析】 (1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．第一章 §2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列各角中，与370°角终边重合的是( )
A．300° B．30°
C．－300° D．10°
【答案】 D
【解析】 与370°角终边重合的角的集合是{α|α＝370°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，α＝10°.故选D.
2．给出下列四个命题：
①－75°角是第四象限角；
②260°角是第三象限角；
③475°是第二象限角；
④－315°角是第一象限角．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 D
【解析】 ①②显然为真命题；③为真命题，∵475°角与115°角的终边相同，115°角是第二象限角，∴475°角是第二象限角；④为真命题，∵－315°角与45°角的终边相同，45°角是第一象限角，∴－315°角是第一象限角．故真命题有4个．故选D.
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】 A
【解析】 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．
综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．
4．在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】 C
【解析】 －20°是第四象限的角；
－400°＝－360°－40°与－40°角的终边相同，是第四象限的角；
－2 000°＝－6×360°＋160°与160°角的终边相同，是第二象限的角；
600°＝360°＋240°与240°角的终边相同，是第三象限的角．
5．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α【答案】 C
【解析】 在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C.
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【答案】 D
【解析】 因为α终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D.
二、填空题
7．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是_________、_________、_________.
【答案】 390° －150° 60°
【解析】 由图1所示的角α是OA按逆时针方向绕O点旋转至OB而成的，故所成的角α＝360°＋30°＝390°；
图2：由于角β是OA按顺时针绕O点旋转至OB1而成的，则β＝－360°＋210°＝－150°；
由于γ角是OA按逆时针绕O点旋转至OB2而成的，则γ＝210°－150°＝60°.
8．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝ .
【答案】 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z})
【解析】 点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
9．终边在直线y＝x上的角的集合S＝ .
【答案】 {β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}
【解析】 在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°，210°(如图)，所以终边在y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}．
三、解答题
10．在[0°，360°)内找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)3 290°；(2)－545°30′；(3)－210°；
(4)－1 300°.
【解析】 (1)因为3 290°＝9×360°＋50°，所以50°角与3 290°角终边相同，它是第一象限角；
(2)因为－545°30′＝－720°＋174°30′，所以174°30′与－545°30′角终边相同，它是第二象限角；
(3)因为－210°＝－360°＋150°，所以150°与－210°角终边相同，它是第二象限角；
(4)因为－1 300°＝－1 440°＋140°，所以140°与－1 300°角终边相同，它是第二象限角．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
【答案】 C
【解析】 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴k·180°<α2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
【答案】 C
【解析】 令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C.
3．(多选)下列与412°角的终边相同的角是( )
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
【答案】 ACD
【解析】 因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k·360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°.综上，ACD正确．
4．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
【答案】 BD
【解析】 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A、C都不满足条件．
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是________，最大负角是________.
【答案】 220° －140°
【解析】 与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈____________________.
【答案】 {α|n·180°＋30°<α【解析】 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
【解析】 (1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令－1 910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
8．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
【解析】 (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；
60°＋3×180°＝600°.
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