第一章 §1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1.如右图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( )
A．1.5 s B．2 s
C．2.5 s D．3 s
【答案】 C
【解析】 若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.
2．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．无法确定
【答案】 A
【解析】 f＝f＝f＝f＝f＝1.
3．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯，那么第90盏灯是( )
A．红灯 B．蓝灯
C．黄灯 D．绿灯
【答案】 A
【解析】 按顺序每4盏灯又重复前面的顺序，是周期性的．又90＝4×22＋2，所以第90盏灯是红灯．
4．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )
A．五 B．六
C．日 D．一
【答案】 C
【解析】 因为每星期含有7天，而58＝7×8＋2，即58天后是再过8个星期后第2天，即星期日，故选C.
5．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( )
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
【答案】 B
【解析】 由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋3)，如图表示该函数在区间[－2,1]上的图象，则f(2 024)＋f(2 023)等于( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】 A
【解析】 f(2 024)＋f(2 023)＝f(674×3＋2)＋f(674×3＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(3－1)＋f(1)＝f(－1)＋f(1)＝2＋1＝3.故选A.
二、填空题
7．把扑克牌按照红桃2张，梅花3张，方块1张，黑桃2张的顺序连续排列着，则第76张牌的花色是______.
【答案】 梅花
【解析】 2张红桃，3张梅花，1张方块，2张黑桃按顺序排列，每隔8张又重复出现，又76＝8×9＋4，所以第76张是梅花．
8．定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[－4,0]时f(x)＝x＋1，则f(25)＝________.
【答案】 0
【解析】 因为定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8.当x∈[－4,0]时，f(x)＝x＋1，
所以f(25)＝f(8×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋1＝0.
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________.
【答案】 0
【解析】 f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.
三、解答题
10．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a是不为零的常数)，证明：2a是函数y＝f(x)的一个周期．
【证明】 ∵定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a是不为零的常数)，∴f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，∴2a是函数y＝f(x)的一个周期．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为( )
A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm
C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm
【答案】 D
【解析】 由图象可知，重复一次所需时间T＝2 s，当t＝25 s时，因为25＝2×12＋1，所以25 s时的高度与1 s时的高度相同，即20 mm.
2．(多选)下列是周期现象的有( )
A．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化
B．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象
C．做简谐运动的物体的位移变化情形
D．连续掷一枚均匀骰子，出现点数为1,2,3,4,5,6的情况
【答案】 ABC
【解析】 D不是周期现象，A，B，C均为周期现象．
3．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(4)＝2，则f(2 024)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
【答案】 A
【解析】 ∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2 024)＝f(4)＝2.
4．(多选)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋8)＝f(x)，f(x)的图象关于x＝2对称，且在区间[0,2]上是增函数，若关于x的方程f(x)＝m在区间[－8,8]上有根，则所有根的和为( )
A．0 B．±4
C．8 D．－8
【答案】 ABCD
【解析】 由周期性，奇偶性，对称性，作图如下：
由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知，关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.
二、填空题
5．已知地球的自转周期约为24小时，其绕太阳的公转周期约为365天．木星的自转周期约为10小时，公转周期约为12年．
(1)如果地球自转5周，那么木星自转________周；
(2)如果在木星上生活10年，那么等于在地球上生活________年．
【答案】 (1)12 (2)120
【解析】 (1)5×＝12.
(2)10×＝120.
6．如图所示的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，则振子的振动周期T＝________s.
【答案】 4
【解析】 设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O运动到B的时间为，而振子以相同的速度通过M、N的时间为t1＝1 s，则O到N的时间为，又向右经N—B—N的时间为t2＝1，则N到B的时间为，
∴＝＋＝＋＝1.
∴T＝4 s.
三、解答题
7．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中轮心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化， 以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)你与地面的距离随时间变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多长时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，你距地面是多少？
【解析】 (1)是周期现象，周期为12分钟．
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．
(3)第一次距地面最高需＝6(分钟)，
而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．
(4)因为60÷12＝5，所以转60分钟时你距地面与开始时刻距地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．
8．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家．有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，…，G如下表所示)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
13 12 11 10 9 8
14 15 16 17 18 19
25 24 23 22 21 20
…
【解析】 发现数“2,3,4，…，1 997,1 998,1 999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，而1 999－1＝12×166＋6，也就是说循环出现166次后，再从B数6个，所以数到1 999的那根柱子的标号是G.
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第一章 三角函数
§1 周期变化
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．
2．了解周期函数的概念与最小正周期的意义. 通过具体实例，让学生感知周期变化，得到周期函数的定义从而培养学生的直观想象素养，提升学生的逻辑推理素养.
必备知识 探新知
知识点1 周期变化
(1)定义：自然界许多运动都是周而复始，这些运动称为_________.
(2)判断方法：看每隔相同间隔是不是重复出现．
知识点2 周期函数
(1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x∈D，都有____________且满足f(x＋T)＝______，那么函数y＝f(x)，x∈D称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
(2)如果在周期函数y＝f(x)，x∈D的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)，x∈D的______________.如果不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．
周期变化
x＋T∈D
f(x)
最小正周期
关键能力 攻重难
1.下列现象是周期现象的是__________________(填序号)．
(1)地球上一年四季的变化；
(2)钟表的秒针的运动；
(3)某十字路口红绿灯的变换；
(4)月亮的圆缺变化；
(5)地球的自转．
【分析】 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)
题型一
生活中的周期现象
【解析】 (1)地球上一年分为春、夏、秋、冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象．
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因而是周期现象．
(3)十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有重复性，因而是周期现象．
(4)月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复，因而是周期现象．
(5)地球的自转每24小时转一圈，并且每一个24小时总是重复前一个24小时的动作，因而是周期现象．
[归纳提升]
归纳提升：
“每间隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象．”这里的“一段时间”即为周期现象的周期.
〉对点训练1
下列现象不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．“哈雷彗星”的运行时间
D．某同学每天上数学课的时间
【答案】 D
【解析】 对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象；对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象．故选D.
2.(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
题型二
周期函数
(2)在如图所示的y＝f(x)的图象中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝__________.
【答案】 (1)D (2)3
【解析】 (1)对于D，函数图象不是经过相同单位长度后，图象重复出现；而A、C中经过一个单位长度，图象重复出现；B中图象每经过2个单位长度，图象重复出现．所以A、B、C中的函数是周期函数，D中函数不是周期函数．
(2)由图象知周期为0.02，
所以f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3.
[归纳提升]
归纳提升：
1．观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．
2．用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)．
〉对点训练2
(2)如图是一个单摆振动的函数图象，根据图象，回答下面问题：
①单摆的振动函数图象是周期变化吗？
②若是周期变化，其振动的周期是多少？
③单摆离开平衡位置的最大距离是多少？
【答案】 (1)丁 戊 (2)见解析
【解析】 (2)①观察图象可知，图象从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期变化；
②振动的周期为0.8 s；
③由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.
3.已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f(4.5)的值为( )
A．2 B．－1
题型三
周期函数的应用
【答案】 D
【解析】 已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f(4.5)＝f(0.5)＝2－1＝1.
[归纳提升]
归纳提升：
确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”，就可以把问题转化到一个周期内来解决.
〉对点训练3
(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
【答案】 AB
课堂检测 固双基
1.下列现象是周期现象的有( )
①太阳的东升西落
②潮汐现象
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 D
【解析】 上面这4种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象．
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】 C
3．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是______色．
【答案】 红
【解析】 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．
4．设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(2 024)＝__________.
【答案】 1
【解析】 因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(1 012×2)＝f(0)，又因为x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，所以f(2 024)＝f(0)＝(0－1)2＝1.
5．已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示，
(1)求函数的周期；
(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象．
【解析】 (1)T＝2.
(2)把y＝f(x)向左平移一个单位长度得y＝f(x＋1)的图象，即如图所示．
