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第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质. 通过探究正弦函数，余弦函数的基本性质．重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
必备知识 探新知
知识点1 正弦函数、余弦函数的基本性质
1．定义域
正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
2．最大(小)值，值域
3．周期性
(1)对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin α，α∈R；cos(α＋2kπ)＝cos α，α∈R.
(2)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α，均是周期函数．
(3)对任意k∈Z且k≠0,2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.
知识点2 正弦函数、余弦函数在各象限的符号
三角函数 象限
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
关键能力 攻重难
1.求下列函数的定义域：
题型一
正弦函数、余弦函数的定义域
[归纳提升]
归纳提升：
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
〉对点训练1
【答案】 (1)R (2)(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
【解析】 (1)由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1,1]，故定义域为R.
(2)由题意知sin x>0.又y＝sin x在[0,2π]内sin x>0满足0
2.判断下列三角函数值的符号．
(1)sin 4·cos 4；
(2)sin 8·cos 8.
【分析】 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定．
题型二
正弦、余弦函数值符号的确定
[归纳提升]
归纳提升：
对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．
〉对点训练2
A．一 B．三
C．一或三 D．任意象限角
(2)判断下列各式的符号：
①sin 3·cos 4·tan 5；
②α是第二象限角，sin α·cos α.
【答案】 (1)C (2)见解析
题型三
正弦函数、余弦函数的值域与最值
(2)当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，
得a＝2，
∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，
得a＝－2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
∴它的最小值为－1.
[归纳提升]
归纳提升：
(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正、余弦函数的单调性进行分析．
(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论．
〉对点训练3
4.(1)函数y＝cos x的一个递增区间为( )
题型四
正弦函数、余弦函数的单调性
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)y＝cos x的单调增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)令k＝1，得[π，2π]，即为y＝cos x的一个单调递增区间，而(π，2π) [π，2π]，故选D.
(2)欲求函数y＝sin 2x的单调递减区间．
根据正弦函数的性质，有
[归纳提升]
归纳提升：
利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．
求下列函数的单调区间．
(1)y＝sin x，x∈[－π，π]；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]．
〉对点训练4
课堂检测 固双基
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,1] D．[0,2]
【答案】 C
【答案】 B
4．函数y＝2－sin x的最小正周期为________.
【答案】 2π
【解析】 因为2－sin(2π＋x)＝2－sin x，所以y＝2－sin x的最小正周期为2π.第一章 §4 4.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，
C．，－ D．1，－
【答案】 C
【解析】 函数y＝sin x，x∈上为单调增函数，
所以ymin＝sin＝－，ymax＝sin＝.
2．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
【答案】 B
【解析】 因为sin x≥0且－cos x≥0，
所以x∈[2kπ，π＋2kπ]∩
＝，k∈Z.故选B.
3．若α是第四象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
【解析】 由于α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，所以P(sin α，cos α)在第二象限．
4．设a＝logcos 64°，b＝logsin 25°，c＝logcos 25°，则它们的大小关系是( )
A．aC．a【答案】 B
【解析】 ∵sin 25°5．下列各式正确的是( )
A．sin 1>sin B．sin 1C．sin 1＝sin D．sin 1≥sin
【答案】 B
【解析】 1和的终边均在第一象限，且大于1的正弦线，则sin 16．函数y＝的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【答案】 C
【解析】 令sin x＝t，则t∈[－1,0)∪(0,1]，
∴y＝的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
二、填空题
7．sin＝________.
【答案】
【解析】 sin＝sin＝sin ＝.
8．函数y＝log|sin x|取最小值时的所有x的取值集合是______________.
【答案】
【解析】 当sin x＝±1，x＝kπ＋时(k∈Z)，ymin＝log1＝0.
9．余弦函数u＝cos α，α∈的单调增区间为________，单调减区间为________.
【答案】 [－π，0]
【解析】 在单位圆中，当x由－π到时，u＝cos α由－1增大到1，再由1减小到.所以它的单调增区间为[－π，0]，单调减区间为.
三、解答题
10．求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
(1)y＝2sin x－1；
(2)y＝－sin2x＋sin x＋.
【解析】 (1)由－1≤sin x≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最小值，ymin＝－3.
(2)y＝－sin2x＋sin x＋＝－2＋，
因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 如图易知选B.
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是( )
A．f(x)在上是递增的
B．f(x)的最小值为－1
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
【答案】 ACD
【解析】 由正弦函数的性质易知，B正确，A、C、D错误．故选ACD.
3．设0<|α|<，则下列不等式中一定成立的是( )
A．sin 2α>sin α B．cos 2αC．sin 2αcos α
【答案】 B
【解析】 可利用举例进行排除，可知A、C、D均不正确．
4．当角α为第二象限时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
【答案】 C
【解析】 因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以－＝－＝2.
二、填空题
5．函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos＝________.
【答案】 1
【解析】 由条件知，a＝－＋2kπ，b＝＋2kπ，所以cos＝cos 2kπ＝1.
6．函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为________.
【答案】 [2,10]
【解析】 令t＝cos x，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
三、解答题
7．已知函数y＝－3sin x＋1，求函数在区间上的最值．
【解析】 因为正弦函数y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，所以(sin x)max＝1，(sin x)min＝－，所以ymax＝，ymin＝－2.
8．设函数f(x)＝.
(1)请指出函数y＝f(x)的定义域、周期性和奇偶性；(不必证明)
(2)请以正弦函数y＝sin x的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：y＝f(x)在区间上单调递减．
【解析】 (1)因为函数f(x)＝，所以sin x≠0，
所以x≠kπ，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
显然，f(x)的周期，即y＝sin x的周期，为2π.
由于满足f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)因为正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，且f(x)的值域为(0,1)，
设0所以f(x1)＝>＝f(x2)，
即f(x1)>f(x2)，
故y＝f(x)在区间上单调递减．
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