(共27张PPT)
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.3 诱导公式与对称
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2．了解诱导公式的推导过程．
3．能利用有关公式解决三角函数的求值，化简或证明问题. 通过本节课公式的推导和学习，重点培养学生的逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点 诱导公式
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于______对称
公式 sin(－α)＝_______，cos(－α)＝______，v＝sin α是奇函数，u＝cos α是偶函数
x轴
－sin α
cos α
终边关系 图示
角α－π与角α的终边关于________对称
角α＋π与角α的终边关于________对称
公式 sin(α＋π)＝________，
cos(α＋π)＝________，
sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α
原点
原点
－sin α
－cos α
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于______对称
公式 sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝__________
y轴
sin α
－cos α
关键能力 攻重难
1.求下列各三角函数式的值：
题型一
利用诱导公式给角求值
[归纳提升]
归纳提升：
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”．
(2)“大化小”：用公式将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
〉对点训练1
(1)求下列各式的值：
sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；
【答案】 (1)0 (2)见解析
题型二
利用诱导公式解决化简、求值问题
[归纳提升]
归纳提升：
三角函数式化简的常用方法
①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
〉对点训练2
题型三
种用诱导公式给值(或式)求值问题
[归纳提升]
归纳提升：
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
〉对点训练3
【答案】 (1)D (2)见解析
课堂检测 固双基
1.sin 1 215°＝( )
【答案】 A
2．若cos α＝m，则cos(－α)＝( )
A．m B．－m
C．|m| D．m2
【答案】 A
【解析】 cos(－α)＝cos α＝m.第一章 §4 4.3
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．sin 2 024°的值为( )
A．sin 44° B．－sin 44°
C．sin 48° D．－sin 48°
【答案】 B
【解析】 sin 2 024°＝sin(5×360°＋224°)＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°.故选B.
2．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 原式＝sin230°＋sin245°－2sin 30°＋cos245°＝2＋2－2×＋2＝.
3．sin(π－2)＋cos(π－2)的值为( )
A．sin 2＋cos 2 B．sin 2－cos 2
C．－sin 2＋cos 2 D．－sin 2－cos 2
【答案】 B
4．已知sin＝，则sin的值为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】 C
【解析】 ∵sin＝，
∴sin＝sin
＝sin＝.
5．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β
B．sin(α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β
D．cos(2π－α)＝－cos β
【答案】 C
【解析】 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
6．已知函数f(x)＝cos，则下列等式成立的是( )
A．f(2π－x)＝f(x) B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x) D．f(－x)＝f(x)
【答案】 D
【解析】 对于A，f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，A不成立；对于B，f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，B不成立；对于C，f(－x)＝cos＝cos＝f(x)≠－f(x)，C不成立，D成立．故选D.
二、填空题
7．sin 780°＝________.
【答案】
【解析】 sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝.
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
【答案】
【解析】 由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
9．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 018)＝－1，则f(2 019)的值为________.
【答案】 1
【解析】 因为f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝－1，
所以f(2 019)＝a·sin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝asin [π＋(2 018π＋α)]＋bcos [π＋(2 018π＋β)]＝－[asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)]＝1.
三、解答题
10．已知＝3，求sin(－α)的值．
【解析】 ∵
＝
＝＝3.
∴sin α＝－.
又sin(－α)＝－sin α，∴sin(－α)＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列各式错误的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin α
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
【答案】 B
【解析】 对于B，cos(－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos(α－β)，B错误，由诱导公式知A、C、D都正确，故选B.
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是( )
A．{－1,1，－2,2} B．{1，－1}
C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2}
【答案】 C
【解析】 当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}．
3．(多选)在△ABC中，给出下列四个式子：其中为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos(A＋B)＋cos C
C．sin(2A＋2B)＋sin 2C
D．cos(2A＋2B)＋cos 2C
【答案】 BC
【解析】 A．sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
B．cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C．sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D．cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos [2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.故选BC.
4．(多选)下列三角函数中与sin的值相同的是( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin(n∈Z)
【答案】 BD
【解析】 A．sin＝(－1)nsinπ＝(－1)n＋1·sin；B.cos＝cos＝sin；C.cos＝cos＝－cos＝－sin；D.sin＝sin＝sin，故选BD.
二、填空题
5．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________.
【答案】 －1
【解析】 ∵cos(π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos(π－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1.
6．若sin(π－α)－cos(π＋α)＝，0<α<π，则sin(π＋α)＋cos(2π－α)等于________.(注：对任意角α，有sin2α＋cos2α＝1)
【答案】 －
【解析】 sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α＋cos α＝.两边平方，化简得sin αcos α＝－<0，由α∈(0，π)，得α∈，又sin(π＋α)＋cos(2π－α)＝－sin α＋cos α，(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－.
三、解答题
7．已知角α终边上一点P(－4,3)，求
的值．
【解析】 方法一：点P到原点O的距离
|OP|＝＝5.
根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－.
＝
＝
＝＝×＝－.
方法二：据三角函数定义tan α＝－，
原式＝＝tan α＝－.
8．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f.
【解析】 (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)知f＝sin2
＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
