(共34张PPT)
第一章 三角函数
§6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝sin(ωx＋φ)的图象．
2．理解并掌握函数y＝sin(ωx＋φ)图象的平移与伸缩变换．
3．掌握ω、φ对图象形状的影响. 1.通过学习ω对y＝sin ωx的图象的影响重点培养学生数学抽象，逻辑推理素养．
2．通过学习φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，重点提升学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
频率
(1)在函数y＝sin(ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为________，ωx＋φ为________.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)(φ≠0)的图象，是将y＝sin ωx的图象上所有的
点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平移______个单位长度得到的．
初相
相位
向左
向右
关键能力 攻重难
【答案】 C
题型一
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象变换
[归纳提升]
归纳提升：
(1)变换的要点：
〉对点训练1
【答案】 A
题型二
函数y＝sin(ωx＋φ)中φ的求法
[归纳提升]
归纳提升：
确定y＝sin(ωx＋φ)中参数φ的方法
(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．
〉对点训练2
(1)用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象．
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)说明此函数图象可由y＝sin x的图象经怎样的变换得到．
题型三
函数y＝sin(ωx＋φ)的性质与图象的应用
【分析】 (1)根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期的大致图象即可；
(2)根据正弦函数的单调性即可求解；
(3)由图象变换过程描述平移变换、伸缩变换即可．
【解析】 (1)列表如下：
f(x)在一个周期内的图象如图所示：
[归纳提升]
归纳提升：
函数y＝sin(ωx＋φ)单调性问题的解题策略
求y＝sin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围.
〉对点训练3
课堂检测 固双基
【答案】 D
2．函数y＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 2第一章 §6 6.1 6.2
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝sin的相位是( )
A．2 B．
C．3 D．x＋3
【答案】 D
2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离m cm和时间t s的函数关系式为m＝sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
【答案】 A
【解析】 T＝＝＝2π.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相为( )
A． B．
C． D．π
【答案】 A
【解析】 因为图象过(0,1)点，
∴sin 2φ＝，∵－<2φ<，∴2φ＝，φ＝.故选A.
4．将函数y＝sin 2x的图象( )，可以得到函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】 D
【解析】 由于函数y＝sin＝sin 2，则将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，可得到函数y＝sin的图象．故选D.
5．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．sin(2x－1) B．sin(2x＋1)
C．sin(2x－2) D．sin(2x＋2)
【答案】 C
【解析】 f(x)＝sin2x的图象向右平移1个单位后得到g(x)＝f(x－1)＝sin 2(x－1)＝sin(2x－2)的图象．
6．函数y＝sin的单调递减区间是( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【答案】 C
【解析】 y＝－sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调递减区间是(k∈Z)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是________.
【答案】 2
【解析】 由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.∴|x1－x2|min＝＝2.
8．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得________的图象．
【答案】 y＝sin 6x
【解析】 依题意知将y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的后可得y＝sin 6x的图象．
9．函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为____________________，对称中心为____________________，奇偶性为 .
【答案】 x＝＋(k∈Z) (k∈Z) 奇函数
三、解答题
10．函数y＝sin.
(1)求对称轴方程及对称中心；
(2)求周期及单调递增区间．
【解析】 (1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝sin的图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)T＝＝π，
令μ＝2x＋，由2kπ－≤μ≤2kπ＋，
即2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋，
∴单调递增区间为(k∈Z)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】 C
【解析】 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin.
2．函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( )
A．98π B．98.5π
C．99.5π D．100π
【答案】 C
【解析】 使y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则T＝·≤1.
解得ω≥π.
故ω的最小值为99.5π.
3．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，不正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
【答案】 AD
【解析】 φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数，所以A错误，C正确；φ＝时，f(x)＝sin＝cos x是偶函数，所以B正确，D错误．
4．(多选)关于函数f(x)＝sin＋1，x∈R，下列命题正确的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于点对称
B．若f(x1)＝f(x2)＝1，则x1－x2＝kπ(k∈Z)
C．函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝cos＋1
D．y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
【答案】 ACD
【解析】 对于A，将x＝－代入可得sin ＝sin＝0，f＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点对称；对于B，由f(x1)＝f(x2)＝1可得sin＝sin＝0，即x1，x2是函数y＝sin的零点，所以x1，x2相差半周期的整数倍，即x1－x2＝k·＝(k∈Z)，所以B错误；对于C，利用诱导公式可得sin＋1＝cos ＋1＝cos＋1＝cos＋1，所以函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝cos＋1，故C正确；对于D，y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后可得f1(x)＝sin ＋1＝sin＋1＝sin＋1＝－cos 2x＋1为偶函数，即所得图象关于y轴对称，所以D正确．故选ACD.
二、填空题
5．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________.
【答案】 －
【解析】 函数的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ－，又因为－<φ<，
所以当k＝0时，φ＝－.
6．函数y＝sin的图象可由函数y＝sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y＝sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：①图象上所有点向右平移个单位；②图象上所有点向右平移个单位；③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)；④图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)．
请按顺序写出两次变换的代表序号：________.
【答案】 ④①或②④
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin.
(1)用“五点法”作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(2)解不等式f(x)≥.
【解析】 (1)列表
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
又当x＝0时，f(0)＝－，当x＝π时，f(π)＝－，
描点作图，如图所示：
(2)因为f(x)＝sin≥，所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故不等式的解集为.
8．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
【解析】 (1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin.
(2)令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，则4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)，又x∈[0,3π]，所以x∈，f(x)单调递增，x∈，f(x)单调递减，x∈，f(x)单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1，当x＝0时，y＝，当x＝3π时，y＝－.
故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1,1}．
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