第一章 §5 5.1
素养作业 提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．使得函数y＝sin x为减函数，且值为负数的区间为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由y＝sin x的图象与性质可知x∈时，函数单调递减，且函数值为负数．故选C.
2．下列函数具有奇偶性的是( )
A．y＝sin x(x>0) B．y＝2sin x(x<0)
C．y＝sin(x≠0) D．y＝
【答案】 C
【解析】 对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称；对于选项B，定义域为(－∞，0)，不关于原点对称；对于选项C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，并且f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，所以为奇函数；对于选项D，定义域不关于原点对称．
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 画出y＝|sin x|的图象即可解决．借助图象不难看出C符合题意．
4．函数y＝10sin x与函数y＝x的图象的交点个数是( )
A．3 B．6
C．7 D．9
【答案】 C
【解析】 y＝10sin x的最小正周期是2π，y＝10sin x∈[－10,10]，y＝x∈[－10,10]时，x∈[－10,10]，作出函数y＝10sin x和y＝x的图象，只要观察x∈[－10,10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选C.
5．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 由图象得：x的取值范围是.
6．已知函数f(x)＝ax5＋bsin x＋c，若f(－1)＋f(1)＝2，则c＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．
【答案】 C
【解析】 因为f(－1)＋f(1)＝2，所以－a－bsin 1＋c＋a＋bsin 1＋c＝2，
所以c＝1.故选C.
二、填空题
7．函数y＝sin2x－2sin x的值域是________.
【答案】 [－1,3]
【解析】 y＝(sin x－1)2－1，∵－1≤sin x≤1，
∴－2≤sin x－1≤0，
∴0≤(sin x－1)2≤4，可得－1≤y≤3.
8．y＝的定义域为____________________，单调递增区间为____________________.
【答案】 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) ，k∈Z
【解析】 ∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增．
∴其递增区间为：，k∈Z.
9．若函数f(x)＝sin x＋3|sin x|，x∈[0,2π]的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是________.
【答案】 (2,4)
【解析】 f(x)＝sin x＋3|sin x|＝
则f(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为，，又f(0)＝f(π)＝f(2π)＝0，f＝4，f＝2，又函数f(x)的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是2
故答案为(2,4)．
三、解答题
10．比较大小：
(1)sin与sin；
(2)sin(－320°)与sin 700°.
【解析】 (1)∵sin＝sin＝sin，
0<<<，y＝sin x在上是增加的，
∴sin(2)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°，
sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)．
又函数y＝sin x在上是增加的，
∴sin 40°>sin(－20°)，即sin(－320°)>sin 700°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°【答案】 C
【解析】 sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°，由于正弦函数y＝sin x在区间[0°，90°]上为增函数，所以sin 11°2．方程sin x＝lg x的实根个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
【答案】 C
【解析】 在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sin x＝lg x的解．
3．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上的最大值为1，则ω的值可以为( )
A．2 B．4
C． D．
【答案】 ABD
【解析】 因为ω>0，当－≤x≤时，－≤ωx≤，
又因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上的最大值为1，
则－≤2kπ＋≤(k∈Z)，若k≥0，则ω≥8k＋2(k∈N)，此时，有ω≥2，A、B、D合乎条件；若k<0，则ω≥－6k－，又因为k∈Z，则－6k－≥，即ω≥.D合乎题意．故选ABD.
4．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x．设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．aC．c【答案】 D
【解析】 由已知函数f(x)在上是增函数，又因为π－2∈，π－3∈，π－3<1<π－2，所以f(π－3)二、填空题
5．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________________________________.
【答案】
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－6．函数y＝的值域为________.
【答案】
【解析】 y＝＝1＋，因为－1≤sin x≤1，所以1≤sin x＋2≤3，所以≤≤1，所以≤1＋≤2，所以y＝的值域是.
三、解答题
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
【解析】 (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又∵当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如下图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.
8．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
【解析】 首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．设y1＝sin x，x∈，y2＝.y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤<1，即－121世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
素养目标 定方向
课标要求 核心素养
1．借助单位圆能画出正弦函数的图象．
2．了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．
3．借助图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质. 通过学习正弦函数图象及正弦函数的性质，重点提升学生的逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
知识点1 正弦函数的图象
知识点2 正弦函数的性质
(1)定义域：R.
(2)值域：[－1,1]．
关键能力 攻重难
1.用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
题型一
正弦函数的图象
【解析】 按五个关键点列表
描点连线得：
(1)由图象可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y>1，在y＝1下方的部分y<1，
所以当x∈(－π，0)时，y＞1，当x∈(0，π)时，y<1.
[归纳提升]
(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
(3)仔细观察图象，找出函数图象与y＝1，y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
〉对点训练1
【解析】 取值列表如下：
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
2.(1)比较下列各组数的大小：
题型二
正弦函数的单调性及应用
[归纳提升]
归纳提升：
利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．
(2)二比较：利用函数的单调性比较大小．
〉对点训练2
比较大小：
3.求函数f(x)＝sin(π＋x)＋sin2x－1的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
题型三
正弦函数的值域与最值问题
[归纳提升]
归纳提升：
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解．
(2)求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．
〉对点训练3
函数y＝asin x＋b(a，b∈R)的最大值为3，最小值为－1，则ab的值为________.
【答案】 2或－2
【分析】 作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解．
题型四
利用正弦函数的图象解不等式
[归纳提升]
归纳提升：
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出定义域内的解集.
课堂检测 固双基
1.在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )
【答案】 B
【解析】 正弦曲线相邻最低点与最高点之间是半个周期．
2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
【答案】 A
【解析】 由sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，得|a|＝0，故a＝0.
3．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
【答案】 A
【解析】 在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象，可知它们关于x轴对称．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 B